TETs_Sobolev

которое совпадает с выражением (8.39).

Структурная схема фильтра, построенная из типовых звеньев по полученному выражению, представлена на рис. 8.122,a.

Рис. 8.122. Структурные схемы цифровых фильтров: a — ФНЧ; b — ФВЧ

Пример 2. Синтезировать цифровой фильтр верхних частот Баттерворта, отвечающий следующим требованиям:

частота дискретизации fд = 26 кГц;

нижняя граничная частота полосы пропускания fп = 4;7 кГц;

верхняя граничная частота полосы задерживания fз = 2 кГц;

максимальное ослабление в полосе пропускания Amax = 3 дБ;

минимальное ослабление в полосе задерживания Amin = 23 дБ.

Решение.

1. Рассчитываем период дискретизации

T= 1=fд = 1=26000 = 3;846 10 5 c = 38;46 мкс:

2.Рассчитываем угловые граничные частоты полос пропускания

изадерживания аналогового прототипа:

= 3;32 104 рад=с;

=1;28 104 рад=с:

3.Определяем порядок фильтра:

принимаем n = 3.

4. Порядок фильтра в этом примере совпадал с порядком, рассчитанным в предыдущем примере. Поэтому значения полюсов передаточной функции нормированного фильтра так же совпадают с соответствующими значениями из предыдущего примера: p2 = 0;5 + + j0;866; p3 = 1; p4 = 0;5 j0;866.

Передаточная функция аналогового прототипа ФВЧ записывается так же, как и для ФНЧ с той лишь разницей, что с целью преобразования частот оператор p заменяется выражением 1=p:

5.Как видим, выражение знаменателя передаточной функции в конечном счёте получилось таким же, как и в предыдущем примере, но изменился числитель.

6.Для получения выражения системной функции требуемого цифрового фильтра воспользуемся сначала системой Mathcad:

Заменяя переменную a выражением z 1 и нормализуя полученное выражение, т. е. деля первую скобку знаменателя на константу 2;51 1019, вторую скобку знаменателя на константу 2;57 1019, а числитель на произведение этих констант, приходим к выражению системной функции

Структурная схема фильтра, построенная из типовых звеньев по полученному выражению для H(z), представлена на рис. 8.122,b.

Пример 3. Синтезировать цифровой полосовой фильтр Баттерворта, отвечающий следующим требованиям:

частота дискретизации fд = 26 кГц;

нижняя граничная частота полосы пропускания fп2 = 2 кГц;

верхняя граничная частота полосы пропускания fп1 = 11 кГц;

верхняя граничная частота первой полосы задерживания fз2 =

=0;7 кГц;

нижняя граничная частота второй полосы задерживания fз1 =

=12;3 кГц;

максимальное рабочее ослабление в полосе пропускания Aр max =

=3 дБ;

минимальное рабочее ослабление в полосе задерживания Aр min =

=23 дБ.

Решение.

1.Полосовой фильтр можно представить в виде каскадного соединения ФНЧ и ФВЧ.

2.Несложно показать, что при заданных требованиях порядки упомянутых ФНЧ и ФВЧ n1 и n2 равны трём, как и в предыдущих примерах. Поэтому аналитические выражения операторных передаточных функций этих ФНЧ и ФВЧ (H1(p) и H2(p)) идентичны соответствующим выражениям, приведённым ранее. Для получения выражения системной функции требуемого цифрового фильтра воспользуемся сначала системой Mathcad:

Заменяя переменную a выражением z 1 и нормализуя полученные выражения, приходим к выражениям системных функций ФНЧ

Системная функция требуемого фильтра является произведением полученных выражений: H(z) = H1(z)H2(z).

Структурная схема фильтра, построенная из типовых звеньев, представлена на рис. 8.123.

Рис. 8.123. Структурная схема полосового фильтра

Пример 4. Синтезировать цифровой полосовой фильтр Баттерворта, отвечающий следующим требованиям:

частота дискретизации fд = 26 кГц;

нижняя граничная частота полосы пропускания fп2 = 3;5 кГц;

верхняя граничная частота полосы пропускания fп1 = 9;5 кГц;

верхняя граничная частота первой полосы задерживания fз2 =

=1;5 кГц;

нижняя граничная частота второй полосы задерживания fз1 =

=11;5 кГц;

максимальное рабочее ослабление в полосе пропускания Aр max =

=3 дБ;

минимальное рабочее ослабление в полосе задерживания Aр min =

=23 дБ.

Результаты основных этапов синтеза:

1. Порядок фильтра n = 3.

Системная функция требуемого фильтра является произведением полученных выражений: H(z) = H1(z)H2(z).

4. Конфигурация структурной схемы требуемого фильтра совпадает с конфигурацией схемы, представленной на рис. 8.123. Числовые значения констант на схеме другие (они определяются значениями коэффициентов, фигурирующих в полученных выражениях для системных функций при расчётах по заданию п. 8.6.3.5).

8.6.3. Задание для предварительного расчёта

ние передаточной АЧХ цифровой цепи, структурная схема которой приведена на рис. 8.107, при a0 = 1 и буквенных обозначениях остальных коэффициентов.

8.6.3.3. Построить нуль-полюсную диаграмму цепи, изображённой на рис. 8.120,b, при следующих значениях коэффициентов: a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0;5, b1 = 1;2, b2 = 0;3. Определить, устойчива ли эта цепь при новом значении коэффициента b2. Сравнить полученную нуль-полюсную диаграмму с диаграммой, представленной на рис. 8.121.

8.6.3.4.Рассчитать порядки ФНЧ и ФВЧ для цифрового полосового фильтра, отвечающего требованиям, указанным в задании третьего примера.

8.6.3.5.Синтезировать цифровой полосовой фильтр, отвечающий требованиям, указанным в задании четвёртого примера (рассчитать порядок фильтра, вывести выражения для операторной передаточной функции и системной функции, составить структурную схему фильтра).

8.6.4. Вопросы для самопроверки

1.Как, зная системные функции цифровых цепей, рассчитывают системные функции их каскадного и параллельного соединений?

2.Как, зная системную функцию цифровой цепи, строят её каноническую структурную схему?

3.Какой вид имеют выражения системных функций типовых звеньев первого и второго порядков?

4.Какой вид имеют структурные схемы типовых звеньев первого

ивторого порядков?

5.Как точки p-плоскости отображаются в z-плоскости?

6.Что такое нуль-полюсная диаграмма цифровой цепи?

7.Как найти значения нулей и полюсов передаточной функции цифровой цепи?

8.В чём заключается принципиальное различие в поведении отклика устойчивой и неустойчивой цепи?

9.Как формулируется критерий устойчивости цифровой цепи?

8.6.5. Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере

8.6.5.1.Синтезировать цифровые ФНЧ, ФПЧ и ПФ Баттерворта по заданным рабочим параметрам.

8.6.5.2.Получить выражения системных функций, нуль-полюс- ные диаграммы, АЧХ и частотные характеристики ослабления, а также импульсные характеристики синтезированных фильтров.

8.6.5.3.Убедиться в устойчивости и работоспособности исследуемых фильтров.

8.6.6. Порядок выполнения экспериментов

8.6.6.1.Получить выражение для системной функции цифрового фильтра нижних частот, синтезированного по рабочим параметрам, указанным в условии примера 1 (см. п. 8.6.2.6).

8.6.6.2.Найти значения нулей и полюсов системной функции и построить нуль-полюсную диаграмму. Сделать и записать в отчёт вывод об устойчивости исследуемого фильтра.

8.6.6.3.Получить графики АЧХ и частотной характеристики ослабления. Убедиться в том, что частотные свойства фильтра соответствуют заданным требованиям.

8.6.6.4.Получить график импульсной характеристики исследуемого фильтра.

8.6.6.5.Получить фрагмент выходной последовательности при входной последовательности, представленной мгновенными значениями сложного колебания (см. п. 8.6.7.3).

8.6.6.6.Повторить исследования, описанные в п. 8.6.6.1–8.6.6.5, для цифрового фильтра верхних частот, синтезированного по рабочим параметрам, указанным в условии примера 2 (см. п. 8.6.2.6).

8.6.6.7.Повторить исследования, описанные в п. 8.6.6.1–8.6.6.3, для полосового цифрового фильтра, синтезированного по рабочим параметрам, указанным в условии примера 3 (см. п. 8.6.2.6).

8.6.6.8.Повторить исследования, описанные в п. 8.6.6.1–8.6.6.5, для полосового цифрового фильтра, синтезированного по рабочим параметрам, указанным в условии примера 4 (см. п. 8.6.2.6).

8.6.6.9.Прокомментировать полученные результаты.

8.6.7. Методические указания

8.6.7.1.Экспериментальные исследования нужно выполнять в системе Mathcad.

8.6.7.2.Перед выполнением компьютерных экспериментов следует ознакомиться с программами для Mathcad, описанными в п. 8.6.2.6

ина рис. 8.125–8.142.

8.6.7.3.Выполняя задания по п. 8.6.6.5 при исследовании работоспособности цифровых ФНЧ и ФВЧ, нужно использовать в качестве входной последовательности фрагмент дискретизированного сигнала, соответствующий трём периодам колебания

u1(t) = 6 sin(2 f1t) + 3 sin(3 2 f1t);

где f1 = 1;5 кГц, а при исследовании работоспособности цифровых ПФ — фрагмент, соответствующий трём периодам колебания

u1(t) = 3 sin(2 f1t) + 6 sin(2 f2t) + 3 sin(2 f3t);

где f1 = 1;5 кГц; f2 = 3;5 кГц; f3 = 11;5 кГц.

8.6.7.4. При выполнении исследований по п. 8.6.6.8 целесообразно опираться на результаты, полученные в процессе предварительного расчёта (см. п. 8.6.3.5).

8.6.8. Графики

Результаты выполнения работы должны совпасть с распечатками, представленными на рис. 8.125–8.142.

Рис. 8.127. Результат, полученный по заданию в п. 8.6.6.3 (окончание)

Рис. 8.128. Результат, полученный по заданию в п. 8.6.6.4