TETs_Sobolev

Рис. 7.24. Зависимости, полученные по заданию в п. 7.3.6.15

Г л а в а 8

ЧАСТОТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

8.1. Синтез пассивных фильтров нижних и верхних частот

8.1.1. Цели изучения

1.Ознакомление с типами электрических фильтров.

2.Ознакомление с методикой синтеза фильтров нижних и верхних частот.

3.Изучение основных свойств фильтров нижних и верхних час-

тот.

8.1.2. Основные теоретические положения

8.1.2.1.Электрическим частотным фильтром называется четырёхполюсник, ослабление которого в некоторой полосе частот мало, а

вдругой полосе частот велико. Первую из упомянутых полос называют полосой пропускания, а вторую полосой задерживания.

8.1.2.2.По полосе пропускания фильтры делятся на:

фильтры нижних частот (ФНЧ);

фильтры верхних частот (ФВЧ);

полосовые фильтры (ПФ);

режекторные, или заградительные фильтры (РФ, или ЗФ). Условные графические обозначения вышеперечисленных фильт-

ров и их частотные характеристики приведены на рис. 8.1, где Hр(!) — рабочая передаточная АЧХ (в относительных единицах), а Aр(!) — частотная характеристика рабочего ослабления (в децибелах, дБ). На графиках Hр(!) штриховка нанесена в полосах пропускания (ПП), а на графиках Aр(!) — в полосах задерживания (ПЗ).

В аппаратуре связи электрический фильтр обычно включается между двумя каскадно-соединёнными блоками (рис. 8.2,a, вертикальная пунктирная линия указывает место разрыва для включения фильтра). Выходную цепь блока 1 можно представить в виде эквивалентного источника с ЭДС E и внутренним сопротивлением Zи,

Рис. 8.1. Условные обозначения и идеальные частотные характеристики электрических фильтров

а входную цепь блока 2 — в виде нагрузочного сопротивления Zн (рис. 8.2,b). Эквивалентная схема с включённым фильтром приведена на рис. 8.2,v. Обычно сопротивления Zи и Zн являются резистивными (Zи = Rи, Zн = Rн). При Rи Rн или Rи Rн говорят об односторонне нагруженном фильтре, при одинаковом десятичном порядке Rи и Rн — о двусторонне нагруженном фильтре. Рабочая АЧХ двусторонне нагруженного

фильтра определяется выражением

√

а частотная характеристика рабочего ослабления определяется выражением

Как правило, до включения фильтра блоки 1 и 2 согласованы друг с другом, поэтому в дальнейшем будем рассматривать включения фильтров при Rи = Rн. В этом случае рабочая АЧХ описывается так:

Hр(!) = 2U2(!); E(!)

Рис. 8.3. Частотные характеристики ослабления реальных фильтров

а частотная характеристика рабочего ослабления описывается так:

E(!)

Aр(!) = 20 lg 2U2(!) дБ:

На рис. 8.1 представлены частотные характеристики идеальных фильтров. Такие характеристики недостижимы на практике. У реальных фильтров полосы пропускания и задерживания не примыкают друг к другу, между ними расположена промежуточная область — полоса перехода. Примеры Aр(!) реальных ФНЧ и ФВЧ приведены на рис. 8.3, где !п и !з — граничные частоты полос пропускания

изадерживания, Aр max — максимальное ослабление в полосе пропускания, Aр min — минимальное ослабление в полосе задерживания, запретные области для значений Aр отмечены штриховкой. Графики частотных характеристик не имеют строго вертикальных перепадов

иабсолютно плоских участков.

По способу реализации фильтры делятся на

пассивные RC-фильтры;

пассивные LC-фильтры;

активные RC-фильтры (ARC-фильтры);

пьезоэлектрические (кварцевые) фильтры;

магнитострикционные фильтры;

электромеханические фильтры на поверхностных акустических волнах (ПАВ);

фильтры с переключаемыми конденсаторами (ПК);

цифровые фильтры (ЦФ).

Наиболее часто в технике связи используются пассивные LC- фильтры, активные RC-фильтры и цифровые фильтры. Пьезоэлектрические фильтры используют при предъявлении высоких требований к избирательности на ВЧ, а магнитострикционные при высоких требованиях к избирательности на НЧ. В аналоговых микроэлектронных устройствах используют ARC-фильтры и фильтры с переключаемыми конденсаторами, в цифровых системах связи — цифровые фильтры.

8.1.2.3. Рассмотрим основные типы пассивных LC-фильтров. По

способу построения схем и правилам расчёта эти фильтры делятся на мостовые и лестничные. Последние можно рассчитывать или по характеристическим параметрам, или по рабочим параметрам (по заданным значениям рабочего ослабления на граничных частотах полос пропускания и задерживания). Остановимся на наиболее распространённых лестничных фильтрах, рассчитываемых по рабочим параметрам. По типу аппроксимирующего полинома они делятся на:

фильтры с характеристикой Баттерворта ;

фильтры с характеристикой Чебышёва;

фильтры с характеристикой Золотарёва.

Порядком фильтра называют число, равное количеству реактивных элементов в фильтрах нижних или верхних частот.

УФНЧ Баттерворта рабочее ослабление монотонно увеличивается с ростом частоты. Чем выше порядок фильтра n, тем круче график характеристики в полосе задерживания и меньше ослабление в полосе пропускания. Ослабление на нулевой частоте равно нулю (рис. 8.4,a).

УФНЧ Чебышёва характеристики в полосе задерживания имеют монотонный, а в полосе пропускания колебательный характер. Количество экстремумов (максимумов и минимумов вместе взятых) в полосе пропускания равно порядку фильтра (рис. 8.4,b). Ослабление на нулевой частоте равно нулю только у фильтров нечётных порядков. Графики характеристик в полосе задерживания более крутые по сравнению с графиками характеристик фильтров Баттерворта (при одинаковых порядках).

Рис. 8.4. Частотные характеристики ФНЧ Баттерворта (a), Чебышёва (b)

иЗолотарёва (v)

Эти фильтры иногда не совсем корректно называют фильтрами с плоской характеристикой.

У ФНЧ Золотарёва характеристики в полосе пропускания имеют колебательный, а в полосе задерживания не монотонный характер (рис. 8.4,v). Графики характеристик в полосе задерживания более крутые по сравнению с графиками характеристик фильтров Чебышёва (при одинаковых порядках).

В дальнейшем ограничимся рассмотрением фильтров Баттерворта и Чебышёва.

8.1.2.4.Исходными данными для расчёта фильтра являются следующие характеристики:

тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ или РФ);

диапазон частот полосы пропускания;

диапазон частот полосы задерживания;

ограничение на ослабление в полосе пропускания;

ограничение на ослабление в полосе задерживания;

внутреннее сопротивление источника Rи и сопротивление нагрузки Rн.

8.1.2.5.Рассмотрим методику расчёта ФНЧ с характеристикой

Баттерворта при значении рабочего ослабления на граничной частоте полосы пропускания Aр max = 3 дБ. Последовательность расчёта такова:

1. Определяют порядок фильтра по формуле

где n — рассчитываемый порядок фильтра (выбирается наименьшее целое значение); Ω = fз=fп — нормированная частота; fп — задаваемое значение граничной частоты полосы пропускания; fз — задаваемое значение граничной частоты полосы задерживания; Aр min — задаваемое минимальное допустимое значение ослабления на граничной частоте полосы задерживания.

2. Составляют схему фильтра из чередующихся емкостей и индуктивностей, общее количество которых равно рассчи-

танному порядку n. Ёмкости помещают в поперечных, а индуктивности — в продольных ветвях. При нечётном значении

порядка фильтра CLCLС...-структура (рис. 8.5,a) предпочтительнее LCLCL...-

структуры (рис. 8.5,b), так как первая содержит меньшее количество менее технологичных индуктивных элементов, обла-

дающих к тому же значительными паразитными параметрами, ухудшающими частотные характеристики. В схеме фильтра используется единая (сквозная) нумерация элементов: C1, L2, C3, L4, C5,...

306 Г л а в а 8

3. Рассчитывают значения параметров элементов прототипа Km, т. е. значения ёмкостей и индуктивностей элементов ФНЧ при Rи =

где m = 1; 2; 3; :::; n. Величины Km называются также нормированными (по сопротивлению и частоте) параметрами. Это безразмерные величины. Формула (8.2) справедлива только для Aр max = 3 дБ. При других значениях Aр max используют иные, более сложные формулы (или пользуются таблицами, приводимыми в справочниках).

4. Рассчитывают постоянные преобразования по формулам:

где R = Rи = Rн. Величины C и L имеют размерности ёмкостей и индуктивностей и показывают, во сколько раз нужно увеличить ранее рассчитанные нормированные значения параметров элементов Km, чтобы получить значения параметров элементов рассчитываемого фильтра.

5. Производят денормирование, т. е. рассчитывают значения параметров элементов требуемого фильтра по формулам:

при LCLCL-структуре, где n = 1, 2, 3,...

6. Рассчитывают характеристику рабочего ослабления требуемо-

8.1.2.6. Пример. Рассчитаем ФНЧ Баттерворта, отвечающий следующим требованиям. Минимальное допустимое ослабление Aр min = 20 дБ на граничной частоте полосы задерживания fз =

=16 кГц. Максимальное допустимое ослабление Aр max = 3 дБ на граничной частоте полосы пропускания fп = 10 кГц. Внутреннее сопротивление источника и сопротивление нагрузки равны Rи = Rн =

=R = 1 кОм.

Решение.

1. Определяем порядок фильтра по формуле (8.1):

20

n > 20 lg(16=10) = 4;90:

Принимаем порядок фильтра n = 5.

2. Схема фильтра представлена на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Схема ФНЧ Баттерворта 5-го порядка

3.Значения параметров элементов прототипа, рассчитанные по формуле (8.2), представлены в табл. 8.1.

4.Рассчитываем постоянные преобразования по формулам (8.3):

5. Производим денормирование, т. е. рассчитываем значения ёмкостей и индуктивностей, входящих в требуемый фильтр, по формулам (8.4):

C1 = C5 = C K1 = 15;9 0;618 = 9;83 нФ;

C3 = C K3 = 15;9 2;00 = 31;8 нФ;

L2 = L4 = L K2 = 15;9 1;618 = 25;7 мГн:

6. Частотная характеристика рабочего ослабления требуемого фильтра, рассчитанная по формуле (8.5), представлена в табл. 8.2 и на рис. 8.7.

8.1.2.7. Расчёт фильтров верхних частот Баттерворта аналогичен расчёту фильтров нижних частот Баттерворта, отличия состоят

вследующем:

ёмкости помещаются в продольных, а индуктивности в поперечных ветвях,

нормированная частота определяется так:

308 Г л а в а 8

характеристика рабочего ослабления рассчитывается по формуле

8.1.2.8. Пример. Рассчитаем ФВЧ Баттерворта, отвечающий следующим требованиям. Минимальное допустимое ослабление Aр min = = 20 дБ на граничной частоте полосы задерживания fз = 10 кГц. Максимальное допустимое ослабление Aр max = 3 дБ на граничной частоте полосы пропускания fп = 16 кГц. Внутреннее сопротивление источника и сопротивление нагрузки равны Rи = Rн = R = 1 кОм.

Решение.

1. Расчёт порядка фильтра по формуле (8.1) с учётом поправки (8.6) и расчёт нормированных параметров элементов по формуле (8.2) дают те же результаты, что и в предыдущем примере (см. п. 8.1.2.6): n = 5; K1 = K5 = 0;618; K2 = K4 = 1;618; K3 = 2;00.

2. Рассчитываем постоянные преобразования по формулам (8.3):

3.Схема фильтра представлена на рис. 8.8.

4.Производим денормирование, т. е. рассчитываем значения ёмкостей и индуктивностей, входящих в требуемый фильтр, по формулам (8.7):

C1 = C5 = C =K1 = 9;95=0;618 = 16;1 нФ;

C3 = C =K3 = 9;95=2;00 = 4;98 нФ;

L2 = L4 = C =K2 = 9;95=1;618 = 6;15 мГн:

5. Частотная характеристика рабочего ослабления требуемого фильтра, рассчитанная по формуле (8.8), представлена в табл. 8.3 и на рис. 8.9.

8.1.2.9. На практике значения нормированных параметров Km не рассчитывают по формулам, а выбирают из таблиц каталогов, приводимых в справочной литературе. Примером одной из таких таблиц является табл. 8.4, составленная для Aр max = 3 дБ. В каталогах имеются

таблицы нормированных параметров и для других значений ослабления Aр max.

8.1.2.10. Рассмотрим методику расчёта ФНЧ с характеристикой Чебышёва. Последовательность расчёта такова:

1. Определяют порядок фильтра по формуле

√

где ∆A — максимальная допустимая неравномерность ослабления в полосе пропускания (∆A Aр max); Ω = fз=fп — нормированная частота.

2.Составляют схему фильтра (ёмкости в поперечных, индуктивности в продольных ветвях).

3.По табл. 8.5 определяют значения нормированных параметров элементов фильтра.

4.Рассчитывают значения постоянных преобразования по формулам (8.3).

5.Производят денормирование, т. е. рассчитывают значения ёмкостей и индуктивностей требуемого фильтра по формулам (8.4).

6.Рассчитывают частотную характеристику рабочего ослабления по формулам:

Ради краткости здесь приведены значения нормированных параметров только для нечётных значений n.