TETs_Sobolev
.pdf
220 |
Г л а в а 6 |
Частоты, соответствующие нулям огибающей спектра, определяются длительностью импульса tи:
2
Ωk = k tи :
В частности, частота первого нуля Ω1 = 2 =tи.
Несложно показать, что если скважность, определяемая как S = = T=tи, является целым числом, то частота нулей огибающей совпадает с частотами некоторых гармоник, причём первый нуль приходится на гармонику с номером, равным скважности, второй нуль — на гармонику с номером в два раза б´ольшим и т. д.
Если скважность не является целым числом, то частота первого нуля огибающей амплитудного спектра не совпадает с частотой какойлибо из гармонических составляющих сигнала.
6.2.2.5. Густота заполнения графика спектра определяется длительностью периода повторения импульсов, а огибающая амплитудного спектра — формой импульсов (точнее формой графика функции, описывающей один период сигнала).
Если T ! 1, то ∆! = 2 =T ! 0 и в пределе спектр из дискретного (линейчатого) превращается в сплошной.
Если tи ! 0, то Ω1 = 2 =tи ! 1 и в пределе амплитудный спектр становится равномерным.
Эти выводы справедливы не только для последовательности прямоугольных импульсов. Они распространяются на сигналы любой формы:
спектр периодического сигнала дискретный, спектр непериодического сигнала (T = 1) сплошной;
амплитудный спектр бесконечно узкого импульса или последовательности бесконечно узких импульсов равномерный.
Основные сведения о спектральном анализе непериодических сигналов см. в приложении 3.
6.2.3. Задание для предварительного расчёта
6.2.3.1. Рассчитать значения скважности S для последовательностей прямоугольных импульсов, характеризующихся временными´ параметрами, представленными в табл. 6.2. Результаты расчётов занести в ту же таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
T , мс |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,5 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tи, мс |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,25 |
0,1 |
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектральный анализ периодических сигналов |
|
|
|
|
221 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Umk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.3.2. Рассчитать значения амплитуд и начальных фаз тринадцати гармонических составляющих спектра последовательности прямоугольных импульсов, характеризующейся следующими временны´- ми параметрами: Um = 1 B, T = 0;5 мс, tи = 0;25 мс, t0 = 0: Результаты расчёта занести в табл. 6.3.
6.2.4. Вопросы для самопроверки
1.Как по аналитическому выражению u(t) рассчитать амплитуды гармонических составляющих периодического сигнала?
2.Как по аналитическому выражению u(t) рассчитать начальные фазы гармонических составляющих периодического сигнала?
3.Что такое частотная форма представления сигнала?
4.Можно ли, зная лишь амплитудный спектр периодического сигнала, получить аналитическое выражение для его временн´ого представления?
5.Как, зная амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала, получить аналитическое выражение для его временн´ого представления?
6.Как влияют длительность импульса, максимальное значение сигнала, период повторения импульсов и скважность на форму графика спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов?
7.Какие гармоники отсутствуют в спектрах последовательностей прямоугольных импульсов при скважностях S = 3 и S = 2;5?
8.Что происходит с формой графика амплитудного спектра при уменьшении длительности импульсов и сохранении неизменным периода их повторения?
9.Что происходит с формой графика амплитудного спектра при увеличении периода повторения импульсов и сохранении неизменной их длительности?
10.Чем отличаются друг от друга графики спектров одиночного импульса и бесконечной последовательности таких же импульсов?
11.У каких сигналов спектры дискретные и у каких сплошные?
6.2.5. Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере
6.2.5.1. Изучить влияние временн´ого сдвига на фазовый спектр периодического сигнала.
222 |
Г л а в а 6 |
6.2.5.2.Изучить влияние на амплитудный спектр различных параметров последовательности прямоугольных импульсов (длительности импульсов, периода их повторения, скважности).
6.2.5.3.Для последовательности прямоугольных импульсов со скважностью S = 2 определить амплитуды 13 начальных гармоник.
6.2.6.Порядок выполнения экспериментов
6.2.6.1.Сконструировать на рабочем поле редактора схему, изображённую на рис. 6.20. Обеспечить ключом K1 напряжение на резисторе в виде прямоуголь-
|
ного импульса, возникающего в момент |
|
|
t0 = 0;1 мс, с амплитудой, равной 10 B, |
|
|
и длительностью tи = 0;1 мс. Задать |
|
Рис. 6.20. Электрическая |
длительность периода разложения T = |
|
= 0;5 мс. Получить и занести в отчёт |
||
цепь, генерирующая пря- |
||
моугольный импульс на- |
график временн´ой зависимости напряже- |
|
пряжения на резисторе R1 |
ния и графики его амплитудного и фазо- |
|
|
вого спектров. |
6.2.6.2. Повторить получение графиков, упомянутых в предыдущем пункте, предварительно задав момент возникновения импульса t0 = 0;2 мс.
6.2.6.3.Повторить получение аналогичных графиков, предварительно заменив момент возникновения импульса на t0 = 0. Сравнив графики, полученные при выполнении пп. 6.2.6.1–6.2.6.3, сделать вывод о том, как влияет на форму амплитудного и фазового спектров временн´ой сдвиг анализируемого сигнала. Записать полученный вывод в отчёт.
6.2.6.4.Получить и занести в отчёт график амплитудного спектра последовательности прямоугольных импульсов со следующими временными параметрами tи = 0;05 мс и T = 1 мс. По полученному спектру определить значение скважности и сравнить его со значением, полученным в процессе предварительного расчёта (см. табл. 6.2).
6.2.6.5.Повторить эксперимент, описанный в предыдущем пункте, при tи = 0;05 мс и T = 2 мс.
6.2.6.6.Повторить эксперимент, описанный в п. 6.2.6.4, при tи =
=0;05 мс и T = 3 мс.
6.2.6.7.Повторить эксперимент, описанный в пункте 6.2.6.4, при tи = 0;05 мс и T = 4 мс. Сравнив друг с другом графики, полученные при выполнении пп. 6.2.6.4–6.2.6.7, сделать выводы о том, как влияет на форму амплитудного спектра длительность периода повторения прямоугольных импульсов и к какому виду стремится форма графика амплитудного спектра при T ! 1. Занести полученные выводы в отчёт.
Спектральный анализ периодических сигналов |
223 |
6.2.6.8.Задать следующие параметры последовательности прямоугольных импульсов: Um = 1 B, tи = 0;25 мс, T = 0;5 мс. Получить
изанести в отчёт график временн´ой зависимости заданного напряжения и графики его амплитудного и фазового спектров. Определить по полученному амплитудному спектру значение скважности и сравнить его со значением, полученным в процессе предварительного расчёта (см. табл. 6.2). Определить по полученным спектрам значения амплитуд и начальных фаз всех гармоник, отражаемых на экране, и сравнить эти значения со значениями, полученными в процессе предварительного расчёта (см. табл. 6.3).
6.2.6.9.Сконструировать на рабочем
поле редактора три схемы, изображённые на рис. 6.21. Обеспечить ключами K1, K2
иK3 на резисторах R1, R2 и R3 напряжения с амплитудами Um = 10 B и длительностями импульсов tи, равными 0,1, 0,05 и 0,025 мс соответственно, возникающие в момент времени t0 = 0. Задать длительность периода разложения, равную периоду повторения импульсов T = 1 мс. Получить и занести в отчёт графики трёх временных´ зависимостей заданных напряжений и определить по ним значения скважностей, сравнив их со значениями, полученными после предварительного расчёта (см. табл. 6.2).
6.2.6.10.Получить и занести в отчёт графики амплитудных спектров сигналов, сформированных в предыдущем пункте. Определить по ним значения скважностей
исравнить их со значениями, полученными при выполнении п. 6.2.6.9. Сделать вывод о том, как влияет на форму амплитудного спектра длительность прямоугольных импульсов и к какому виду стремится форма графика амплитудного спектра при tи ! 0. Занести полученные выводы в отчёт.
6.2.7. Методические указания
Рис. 6.21. Электрические цепи, генерирующие прямоугольные импульсы различной длительности
6.2.7.1. При выполнении экспериментов следует снимать опцию Auto Scale Ranges, а требуемые граничные значения диапазонов на осях выдаваемых графиков задавать в полях X Range и Y Range
окна Transient Analysis Limits.
224 |
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пункт |
ЭДС источ- |
Ключ |
P |
X Exp- |
Y Exp- |
X |
Y |
Time |
|
ника, E, В |
(ключи) |
|
ression |
ression |
Range |
Range |
Range |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
v(2) |
0.5m |
11, 1e-6 |
|
6.2.6.1 |
10 |
T,0.1m,0.2m |
2 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
4 |
0.5m |
|
|
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(2))) |
50k |
180,-180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
v(2) |
0.5m |
11, 1e-6 |
|
6.2.6.2 |
10 |
T,0.2m,0.3m |
2 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
4 |
0.5m |
|
|
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(2))) |
50k |
180,-180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
v(2) |
0.5m |
11, 1e-6 |
|
6.2.6.3 |
10 |
T,0,0.1m |
2 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
4 |
0.5m |
|
|
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(2))) |
50k |
180,-180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.6.4 |
10 |
T,0,0.05m |
1 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
1 |
1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.6.5 |
10 |
T,0,0.05m |
1 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
0.5 |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.6.6 |
10 |
T,0,0.05m |
1 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
0.4 |
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.6.7 |
10 |
T,0,0.05m |
1 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
0.3 |
4m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
v(2) |
0.5m |
1.1, 1e-6 |
|
6.2.6.8 |
1 |
T,0,0.25m |
2 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
0.7 |
0.5m |
|
|
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(2))) |
50k |
10,-90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T,0,100u |
1 |
T |
v(2) |
1m |
11 |
|
6.2.6.9 |
10 |
T,0,50u |
2 |
T |
v(4) |
1m |
11 |
1m |
|
|
T,0,25u |
3 |
T |
v(6) |
1m |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T,0,100u |
1 |
F |
HARM(v(2)) |
50k |
2 |
|
6.2.6.10 |
10 |
T,0,50u |
2 |
F |
HARM(v(4)) |
50k |
2 |
1m |
|
|
T,0,25u |
3 |
F |
HARM(v(6)) |
50k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.7.2.Амплитуды импульсов в конструируемых схемах соответствуют ЭДС источников, а длительность импульсов задаётся ключом. Период повторения указывается в графе Time Range.
6.2.7.3.Граничное значение диапазона, указываемое в графе X Range для временных´ зависимостей, выдаваемых на экран, должно соответствовать задаваемому периоду повторения импульсов в графе
Time Range.
6.2.7.4.Значение параметра Maximum Time Step при выполнении каждого пункта задания следует задавать равным 0.1u.
6.2.7.5.Остальные параметры процедуры анализа и параметры элементов используемых схем при выполнении экспериментов по каждому пункту следует задавать в соответствии с табл. 6.4.
6.2.8. Графики
В результате выполнения экспериментов должны быть получены графики, представленные на рис. 6.22–6.31.
Спектральный анализ периодических сигналов |
225 |
Рис. 6.22. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.1
Рис. 6.23. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.2
Рис. 6.24. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.3
226 |
Г л а в а 6 |
Рис. 6.25. Зависимость, полученная по заданию в п. 6.2.6.4
Рис. 6.26. Зависимость, полученная по заданию в п. 6.2.6.5
Рис. 6.27. Зависимость, полученная по заданию в п. 6.2.6.6
Спектральный анализ периодических сигналов |
227 |
Рис. 6.28. Зависимость, полученная по заданию в п. 6.2.6.7
Рис. 6.29. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.8
Рис. 6.30. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.9
228 |
Г л а в а 6 |
Рис. 6.31. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.2.6.10
6.3. Исследование спектров периодических и квазипериодических сигналов разной формы
6.3.1. Цели изучения
1.Изучение влияния формы импульсного периодического сигнала на его амплитудный и фазовый спектры.
2.Ознакомление с понятием коэффициента гармоник.
3.Выяснение причин искажения фронтов и вершин передаваемых прямоугольных импульсов.
4.Исследование временн´ого и спектрального представления амп- литудно-модулированного сигнала.
6.3.2. Основные теоретические положения
6.3.2.1. Периодические функции, представленные графиками на
рис. 6.32, описываются следующими выражениями: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
u1 |
(t) = Um cos(!1t |
=2) = Um sin(!1t); |
|
|
|
|
|
(6:20) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8Um |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
u2 |
(t) = |
|
|
|
[cos(!1t+ ) + |
|
|
|
cos(3!1t+ ) + |
|
|
|
cos(5!1t |
+ ) + :::] = |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
32 |
52 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8Um |
[cos !1t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ :::]; |
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
cos 3!1t + |
|
cos 5!1t |
|
(6:21) |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
32 |
52 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4U |
|
[cos (!1t |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
)+:::] = |
||||||||||||||
u3 |
(t) = |
|
|
m |
|
|
)+ |
|
cos (3!1t |
|
)+ |
|
|
cos (5!1t |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
4U |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
m |
(sin !1t + |
|
|
sin 3!1t + |
|
sin 5!1t + :::): |
|
(6:22) |
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Выражения (6.21) и (6.22) получены разложением соответствующих функций в ряд Фурье.
Из совместного рассмотрения периодических функций, приведённых на рис. 6.32,a, b, v, и выражений (6.20), (6.21), (6.22), а также
Спектральный анализ периодических сигналов |
229 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.32. Периодические сигналы
из сопоставления упомянутых выражений друг с другом можно сделать следующий вывод: чем резче изменяется сигнал во времени, тем больше значения амплитуд его высших гармоник.
6.3.2.2. В качестве меры насыщенности амплитудного спектра высшими гармоническими составляющими обычно используют коэффициент гармоник . Он определяется как отношение корня квадратного из суммы квадратов амплитуд высших гармоник к амплитуде
первой гармоники: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um2 |
2 + Um2 3 + Um2 4 + ::: |
U22 |
+ U32 + U2 |
+ ::: |
||||
Kг = |
√ |
Um1 |
= |
√ |
U1 |
4 |
|
: |
||
Как видим, коэффициент гармоник можно рассчитывать как через амплитуды, так и через действующие значения гармонических составляющих. Нередко коэффициент гармоник выражается в процентах.
Если амплитуды гармоник быстро уменьшаются с возрастанием их номера, то при расчёте Kг можно ограничиться учётом нескольких составляющих.
6.3.2.3.Можно показать, что искажения переходной характеристики системы передачи в области малых времён связаны с искажением высокочастотной части спектра передаваемого сигнала, а искажения переходной характеристики в области больших времён —
сискажением его низкочастотной части. Поэтому для уменьшения искажений фронтов передаваемых импульсов следует по возможности точно передавать высокочастотные составляющие спектра, а для уменьшения искажений плоских вершин импульсов — низкочастотные составляющие.
6.3.2.4.Модуляцию применяют с целью перенесения спектра передаваемого сигнала из области низких частот в область высоких частот. Амплитудно-модулированный сигнал — это высокочастотное (несущее) колебание, амплитуда которого изменяется по закону низкочастотного (информационного) сигнала:
uАМ(t) = (Um нес + uинф(t)) cos !0t:
Если коэффициент гармоник используется в качестве оценки искажений гармонического сигнала, вносимых нелинейной системой передачи, то его называют коэффициентом нелинейных искажений.