TETs_Sobolev
.pdf
190 |
Г л а в а 5 |
Рис. 5.29. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.3
Рис. 5.30. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.4
Временн´ые методы анализа процессов в электрических цепях |
191 |
Рис. 5.31. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.5
Рис. 5.32. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.7
192 |
Г л а в а 5 |
Рис. 5.33. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.8
Рис. 5.34. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.9
Временн´ые методы анализа процессов в электрических цепях |
193 |
Рис. 5.35. Зависимости, полученные по заданию в п. 5.1.6.10
5.2. Расчёт отклика линейной электрической цепи на воздействие произвольной формы
5.2.1. Цели изучения
1. Ознакомление с интегралом Дюамеля.
2. Ознакомление с принципами использования интеграла Дюамеля для расчёта отклика электрической цепи при различных формах воздействующего напряжения.
5.2.2. Основные теоретические положения
5.2.2.1. Форма отклика линейной электрической цепи на сложное воздействие однозначно определяется формой воздействия и формой переходной характеристики.
5.2.2.2. Выведем формулу для расчёта отклика u2(t) на воздействие u1(t), представляющее непрерывную дифференцируемую функцию на ин-
тервале [0, t] при u1(0) = 0 (см. гладкую кривую на рис. 5.36).
Аппроксимируем входной сигнал u1(t) ступенчатой функцией, как
это показано на рис. 5.36. Если такой сигнал подать на вход линейной
цепи, имеющей переходную характеристику g(t), то отклик от первого скачка будет равен ∆1u1g(t ∆ ), от второго скачка будет равен ∆2u1g(t 2∆ ), от n-го скачка будет равен ∆nu1g(t n∆ ).
194 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 5 |
Поскольку к линейным цепям примен´им принцип суперпозиции, |
|||||||||
то отклик на всё ступенчатое воздействие является суммой отдельных |
|||||||||
откликов на каждую ступеньку, т. е. выражается формулой |
|||||||||
u2ст(t) = ∆1u1g(t |
∆ ) + ∆2u1g(t |
2∆ ) + : : : + ∆nu1g(t |
n∆ ) = |
||||||
= |
n |
∆iu1g(t i∆ ) = |
n ∆iui1 g(t i∆ )∆ : |
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
∆ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
Будем приближать ступенчатое воздействие к гладкому, для чего |
|||||||||
будем увеличивать количество ступенек, не меняя интервал [0, t], т. е. |
|||||||||
|
|
|
|
∆ u |
|
|
n |
t |
|
устремим n к |
|
|
|
! u1′ ( ), i=1 ! ∫0 . |
|||||
1. Тогда ∆ ! d , |
∆i 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
В пределе получим следующую формулу для расчёта отклика |
|||||||||
цепи на заданное гладкое воздействие: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u2(t) = ∫0t u1′ ( )g(t |
) d : |
|
(5:10) |
|||
Выражение (5.10) носит название интеграла Дюам´еля. |
|||||||||
Несложно получить и другую формулу для расчёта отклика: |
|||||||||
|
|
|
u2(t) = ∫0t u1( )h(t ) d : |
|
|
||||
|
|
|
|
|
5.2.2.3. |
Выведем формулу для |
|||
|
|
|
|
расчёта отклика u2(t) на воздействие |
|||||
|
|
|
|
u1(t), представляющее непрерывную |
|||||
|
|
|
|
дифференцируемую функцию на ин- |
|||||
|
|
|
|
тервале [0, t] при u1(0) ̸= 0 (рис. 5.37). |
|||||
|
|
|
|
В этом случае рассуждения остают- |
|||||
|
|
|
|
ся теми же, что и в предыдущем слу- |
|||||
|
|
|
|
чае, но в выражения для u2ст(t) и |
|||||
|
|
|
|
u2(t) добавляется слагаемое u1(0) |
|||||
Рис. 5.37. Ступенчатая аппроксима- |
g(t), представляющее реакцию це- |
||||||||
ция сигнала |
|
пи на скачок входного сигнала в мо- |
|||||||
|
мент времени t |
= 0. Поэтому фор- |
|||||||
|
|
|
|
||||||
мула для расчёта отклика на такое воздействие имеет вид |
|||||||||
|
u2(t) = u1(0)g(t) + ∫0t u1′ ( )g(t |
|
) d : |
(5:11) |
|||||
Нетрудно показать, что справедливы также следующие формулы: |
|||||||||
|
u2(t) = u1(0)g(t) + ∫0t u1( )h(t |
|
) d ; |
|
|||||
Временн´ые методы анализа процессов в электрических цепях |
195 |
||||||
u2(t) = u1 |
(t)g(0) |
+ ∫0t u1′ ( )g(t |
) d ; |
|
|
||
u2(t) = u1 |
(t)g(0) |
+ ∫0t u1( )h(t |
) d : |
|
|
||
5.2.2.4. Рассмотрим |
третий слу- |
|
|
|
|
||
чай, когда воздействие u1(t) представ- |
|
|
|
|
|||
ляет собой кусочно-непрерывную фун- |
|
|
|
|
|||
кцию, дифференцируемую в пределах |
|
|
|
|
|||
каждого куска, причём все скачки в |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
точках разрыва функции имеют конеч- |
|
|
|
|
|||
ные значения (рис. 5.38). Наличие |
Рис. 5.38. Кусочно-непрерывная |
скачков в воздействии добавляет в вы- |
функция |
ражение отклика слагаемые вида [u1(ti + 0) u1(ti 0)]g(t ti), где ti — момент i-го скачка. Интегрирование ведётся в пределах каждого куска. Следовательно, формула для расчёта отклика на интервале
[tm; tm+1) (включая точку tm и исключая точку tm+1) имеет вид |
} |
|
m { |
∫ ti+1 0 |
|
∑ |
|
|
u2(t) = |
[u1(ti +0) |
u1(ti |
0)]g(t |
ti) + |
u1′ ( )g(t |
) d |
: |
||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
ti+0 |
(5:12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возможны те же вариации формы записи выражения для расчёта |
||||||||
отклика, что и в предыдущем случае. |
|
|
|
|
|||||
|
5.2.2.5. Найдём отклик RC- |
|
|
|
|
||||
цепи, представленной |
на рис. |
|
|
|
|
||||
5.7,a, на воздействие u1(t), гра- |
|
|
|
|
|||||
фик |
которого |
изображён |
на |
|
|
|
|
||
рис. 5.39,a. |
Переходная харак- |
|
|
|
|
||||
теристика цепи описывается вы- |
|
|
|
|
|||||
ражением |
|
|
|
Рис. 5.39. Сигналы на входе RC-цепи |
|
||||
|
1 |
e |
|
|
|
||||
|
t=RC при t > 0; |
|
|
|
|
||||
g(t) = {0 |
|
при t < 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(5:13) |
|
|
|
|
|
|
Запишем формулы для u1(t) и u1′ (t) на отдельных временных´ ин- |
||||||||
тервалах: |
|
|
|
6) имеем |
|
|
|
|
|
|
на интервале [0; 0;5 10 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
u1(t) = 10 106t В; u1′ (t) = 10 106 В=с; |
|
|
||||
|
Обычно при расчёте переходных процессов внимание не акцентирует- |
||||||||
ся на том обстоятельстве, что g(t) и h(t) при t < 0 равны нулю. |
Однако |
||||||||
при использовании интеграла Дюамеля это обстоятельство необходимо явно |
|||||||||
подчёркивать во избежание ошибок в расчёте вследствие сдвига во времени |
|||||||||
функций g(t) и h(t). |
|
|
|
|
|
|
|||
196 |
|
|
|
Г л а в а |
5 |
|
на интервале [0;5 10 |
6; 10 6) имеем |
|
|
|
|
u1(t) = 10106(t |
110 6) В; |
u1′ (t) = |
10 106 В=с: |
|
|
Конструируем выражение для отклика согласно (5.12): |
|
|||
Выполним расчёт функции, описывающей выходной сигнал u2(t), с помощью системы Mathcad (при R = 10 Ом и C = = 0;02 мкФ). Результат см. на рис. 5.40.
Рис. 5.40. Временн´ая зависимость выходного напряжения
5.2.2.6. Найдём отклик той же цепи (при R = 10 Ом и C = 50 мФ) на воздействие u1(t), график кото-
рого изображён на рис. 5.41. Переходная характеристика
заданной цепи описывается выра-
жением (5.13). Запишем формулы Рис. 5.41. Сигнал на входе RC-цепи для u1(t) и u′1(t) на отдельных вре-
менных´ интервалах:
Временн´ые методы анализа процессов в электрических цепях |
197 |
на интервале [t1; t2) имеем u1(t) = 2t В; u′1(t) = 2 В/с;
на интервале [t2; t3) имеем u1(t) = 2 В; u′1(t) = 0 В/с;
на интервале [t3; t4) имеем u1(t) = 4;1 В; u′1(t) = 0;
на интервале [t4; 1) имеем u1(t) = 0; u′1(t) = 0. Конструируем выражение для отклика согласно (5.12):
Выполням расчёт функции, описывающей выходной сигнал u2(t), с помощью системы Mathcad (при R = 10 Ом и C = 50 мФ). Результат см. на рис. 5.42.
Рис. 5.42. Временн´ая зависимость выходного напряжения
5.2.3. Задание для предварительного расчёта
5.2.3.1. Записать выражения для откликов электрических цепей, представленных на рис. 5.7,v и g, на воздействие u1(t), график которого изображён на рис. 5.39,b.
198 |
Г л а в а 5 |
5.2.3.2. Выполнить расчёт функции выходного сигнала u2(t) для той же цепи с помощью системы Mathcad (при R = 500 Ом и C =
=100 мФ).
5.2.4.Вопросы для самопроверки
1.Для чего используется интеграл Дюамеля?
2.Почему при использовании интеграла Дюамеля необходимо
полное математическое описание характеристик g(t) и h(t) (не только при t > 0, но и при t < 0)?
3.В каких случаях в результирующем выражении, составленном по формуле (5.12), отсутствуют некоторые слагаемые типа
[u1(ti + 0) u1(ti 0)]g(t ti)
ив каких случаях отсутствуют некоторые интегральные слагаемые?
5.2.5.Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере
5.2.5.1.Исследовать реакцию неразветвлённых RC- и RL-цепей на воздействие в виде треугольного и пилообразного импульсов, а также на воздействие сложной формы.
5.2.5.2.Исследовать реакцию разветвлённых RC- и RL-цепей на воздействие в виде экспоненциального импульса напряжения.
5.2.6. Порядок выполнения экспериментов
5.2.6.1.Сконструировать на рабочем поле редактора две схемы, изображённые на рис. 5.43, задав в качестве входных сигналов треугольные импульсы напряжения (TRIANGLE). Получить и занести
вотчёт графики напряжений на выходах схем. Сравнить график напряжения на выходе первой схемы с графиком, изображённым на рис. 5.40.
5.2.6.2.Повторить эксперимент со схемами, изображёнными на рис. 5.44. Полученные графики занести в отчёт.
5.2.6.3.Повторно сконструировать на рабочем поле редактора две схемы, изображённые на рис. 5.43, задав в качестве входных сигналов пилообразные импульсы напряжения (SAWTOOTH). Получить и занести в отчёт графики напряжений на выходах схем.
Рис. 5.43. Схемы для выполнения задания по п. 5.2.6.1
Временн´ые методы анализа процессов в электрических цепях |
199 |
Рис. 5.44. Схемы для выполнения задания по п. 5.2.6.2
Рис. 5.45. Схемы для выполнения задания по п. 5.2.6.5
Рис. 5.46. Схемы для выполнения задания по п. 5.2.6.6
5.2.6.4.Повторить эксперимент, описанный в предыдущем пункте, со схемами, изображёнными на рис. 5.44. Полученные графики занести в отчёт, сравнив их с графиками, полученными в результате предварительного расчёта.
5.2.6.5.Сконструировать на рабочем поле редактора две схемы, изображённые на рис. 5.45, задав в качестве входных сигналов напряжение сложной формы, график которого изображён на рис. 5.41 (см.
п.5.2.7.3). Получить и занести в отчёт графики напряжений на выходах схем. Сравнить график напряжения на выходе первой схемы с графиком, изображённым на рис. 5.42.
5.2.6.6.Повторить эксперимент со схемами, изображёнными на рис. 5.46. Полученные графики занести в отчёт.
5.2.6.7.Сконструировать на рабочем поле редактора схему, изображённую на рис. 5.47, задав источник, вырабатывающий напряжение в виде суммы двух, разнесённых во времени разнополярных
Рис. 5.47. Схема для выполнения задания по п. 5.2.6.7