TETs_Sobolev

Рис. 9.26. Зависимости, полученные по заданию в п.9.1.6.10

9.2. Устойчивость электрических цепей

9.2.1. Цели изучения

1. Ознакомление с понятием устойчивости электрических цепей.

2. Ознакомление с понятиями баланса фаз и баланса амплитуд.

3. Изучение трёх основных критериев устойчивости (критерия Найквиста, критерия Михайлова и критерия Рауса–Гурвица).

9.2.2. Основные теоретические положения

9.2.2.1. Как установлено ранее (см. п. 9.1.2.2), при положительной обратной связи и K = 1 знаменатель в выражении (9.6) становится равным нулю, а значение модуля коэффициента передачи Kос становится бесконечно большим. При K > 1 даже в отсутствии сигнала на входе ничтожное напряжение собственных шумов усилителя порождает на его выходе переменное напряжение значительной величины, которое по цепи обратной связи снова передается во входную цепь. Такая схема является неустойчивой. Происходит самовозбуждение усилителя, в нём возникают собственные незатухающие колебания значительной величины, не связанные никак с передаваемым сигналом. Это нарушает нормальную работу устройства.

На первый взгляд может создаться впечатление, что при отрицательной обратной связи самовозбуждения быть не может. Однако это не совсем так. Следует вспомнить, что обратную связь обычно классифицируют в полосе средних частот, на которых малы фазовые сдвиги. Отрицательная обратная связь на средних частотах может изза значительных фазовых искажений в петле обратной связи перейти в положительную обратную связь на нижних или верхних частотах, и если петлевой коэффициент передачи на этих частотах станет больше или равным единице, то самовозбуждение обеспечено. На рис. 9.27,a

Рис. 9.27. АЧХ и ФЧХ петлевого коэффициента передачи устойчивой (a) и неустойчивой (b) цепей

изображены АЧХ и ФЧХ петлевого коэффициента передачи устойчивого усилителя с OС. Самовозбуждение не происходит, так как не существует таких частот, на которых одновременно выполнялись бы условия: K > 1 и φK = n 360◦, где n = 0; 1; 2; 3; ::: На рис. 9.27,b изображены АЧХ и ФЧХ петлевого коэффициента передачи усилителя с ОС, подверженного самовозбуждению, которое возникает на частоте fс, так как на этой частоте одновременно выполняются два условия:

1)условие баланса фаз: φK = φ +φK = n360◦;

2)условие баланса амплитуд: K = 1.

Существует ряд критериев устойчивости цепи. Они подразделяются на графо-аналитические (например, критерий Найквиста и критерий Михайлова) и алгебраические (например, критерий Рауса– Гурвица).

9.2.2.2. Рассмотрим критерий Найквиста, основанный на анализе формы годографа петлевого коэффициента передачи. Этот годограф представляет собой траекторию конца вектора K при изменении частоты от 0 до 1. Можно трактовать его как график комплексной передаточной функции петли ОС, построенный в полярной системе координат. Этот график обычно называют амплитуднофазовой характеристикой (АФХ) разомкнутой цепи. Примеры годографов приведены на рис. 9.28.

Практически анализ цепи с обратной связью может быть осуществлён с помощью АФХ разомкнутой цепи следующим образом. Отключают четырёхполюсник обратной связи от входной ветви и нагружают его на сопротивление, равное входному сопротивлению цепи (рис. 9.29). Определяют комплексную передаточную функцию разор-

где D(j!) — полином первого порядка; A = B = 50.

Решение.

Порядок полиномов знаменателей n = 2. Углы поворота векторов годографов знаменателей (в градусах) ar1;2 = arg( !2 j!A + B)

видим, вектор годографа знаменателя первой функции поворачиваетсяс на 2 90◦ против часовой стрелки, а второй функции — по часовой стрелке. Следовательно, первая цепь устойчива, а вторая — нет.

Рис. 9.31. Зависимости углов поворота векторов годографа знаменателя: a — для первой цепи; b — для второй цепи

9.2.2.4. Рассмотрим понятие устойчивости с общих позиций. Состояние электрической цепи можно описать совокупностью значений таких электрических величин, как токи в ветвях и напряжения на элементах схемы. Если при отсутствии возмущающих факторов состояние цепи не меняется, то говорят, что цепь находится в состоянии равновесия. При влиянии возмущающего фактора состояние цепи изменяется. Если после окончания ограниченного по величине возмущающего воздействия цепь возвращается в первоначальное состояние, по его называют устойчивым состоянием равновесия, а саму цепь — устойчивой. В противном случае первоначальное состояние называют

неустойчивым состоянием равновесия, а саму цепь — неустойчивой. Итак, для получения ответа на вопрос, устойчива ли цепь, нужно выяснить, как она ведёт себя при малых отклонениях от состояния равновесия.

В качестве возмущающего фактора может выступать, например, импульс тока, появляющийся в момент включения напряжения питания активных элементов устройства, или так называемый тепловой шум, возникающий под влиянием хаотического движения носителей электрических зарядов в элементах схемы.

Обозначим через y малое отклонение электрической величины от её значения в состоянии равновесия. Будем считать, что поведение системы при малых значениях y описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

Соответствующее выражение операторной передаточной функции имеет вид

а характеристическое уравнение имеет вид

a0pn + a1pn 1 + a2pn 2 + : : : + an 1p + an = 0:

Это уравнение имеет n корней. Следовательно, его решение можно записать как сумму n слагаемых:

y = A1ep1t + A2ep2t + A3ep3t + : : : + Anepnt;

где постоянные A1; A2; : : : ; An определяются начальными условиями,

аp1; p2; : : : ; pn являются корнями характеристического уравнения.

Вобщем случае характеристическое уравнение имеет как вещественные корни pi = i, так и пары комплексно-сопряжённых корней pk = k j k = j!свk. Поэтому решение дифференциального уравнения, описывающее процесс в схеме, можно представить в виде

суммы m экспоненциальных и s = (n m)=2 осциллирующих членов:

Как видим, изменение y во времени в общем случае происходит по апериодическому закону, на который накладываются процессы колебательного характера с нарастающими, затухающими и неизменными во времени амплитудами колебаний различных частот. Отклонение, вызванное каждым апериодическим слагаемым с i > 0, с течением времени монотонно возрастает, а с i < 0 — монотонно уменьшается. Амплитуда Bke kt k-го колебательного процесса при k > 0 неограниченно возрастает, при k = 0 остаётся неизменной, а при k < 0 — монотонно убывает с течением времени. Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то отклонение y от состояния равновесия с течением времени стремится к нулю, благодаря чему состояние равновесия является устойчивым. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то соответствующее слагаемое, приводящее к возрастанию отклонения y, уводит цепь всё дальше от первоначального состояния равновесия.

Выяснили, что определитель и все его главные миноры имеют положительные значения, поэтому все корни лежат в левой полуплоскости. Следовательно, цепь устойчива.

9.2.2.6.Проведём анализ цепи, изображённой на рис. 3.19 (см.

п.3.2.2.1). Кроме частотно-зависимой отрицательной обратной связи через элементы C, R2, R3 в этой цепи действует частотно-независимая положительная обратная связь через элементы R6, R5. Эквивалентная схема цепи приведена на рис. 3.20. Из свойств операционного усилителя следует, что UAB U1. Это обеспечивается соотношением R3 R1. С учётом этого соотношения выражение комплексной передаточной функции, выведенное в п. 3.2.2.1, можно переписать следующим образом:

Ранее (см. п. 9.2.2.3) установлено, что согласно критерию Михайлова цепь, обладающая такой передаточной функцией, устойчива при A > 0 и неустойчива при A < 0.