Варианты заданий

№ вар	Задание	№ вар	Задание	№ вар	Задание
1	2	3	4	5	6
1	5x1+3x2-4x3+x4=8 -3x1+8x2-4x3-2x4=-5 x1-12x2+2x3-2x4=-3 -3x1+7x2+x3-4x4=-6	11	0.5x+0,5x2-4x3+x4=8.5 3x1-8x2-4x3-x4=-12 6x1-7x2+2x3-2x4=-5 -3x1+7x2+5x3-4x4=11	21	-x1+2x2+2x3+8x4=10 -9x1+x2+3x3-7x4=0 11x1+5x2-2x3+5x4=7 x1+3x2+5x3-6x4=4
2	9x1+5x2-4x3+x4=6 -x1+6x2-3x3-5x4=-2 x1-2x2+2x3-2x4=-3 -5x1+3x2+x3-x4=-1	12	2x1-6x3+x4=3 11x1+8x2-x3-2x4=16 x1-2x2+2x3-4x4=0 -4x1+x3-4x4=-10	22	-4x1-5x2+4x3-5x4=-11 x1-x2-2x3+8x4=7 -4x1+7x2-4x3-4x4=9 9x1+4x2-2x3-12x4=3
3	-5x1+4x2-4x3-x4=-4 -x1+6x2-3x3-5x4=-2 x1-3x2+5x3+6x4=7 -4x1+x2+x3-4x4=-2	13	15x1+13x2-4x3+x4=20 5x1+8x2-4x3=5 3x1-x2+3x3-2x4=-3 -x1+4x2+x3-4x4=0	23	-10x1-9x2+x3+2x4=-2 4x1+5x2+4x3+12x4=6 -8x1-2x2-x3+9x4=15 4x1-3x2-3x3-2x4=-3
4	x1+8x+4x3-2x4=7 7x1-x2+x3-9x4=10 6x1-3x2+x3+12x4=4 11x1-9x2-5x3+6x4=0	14	10x1+4x3+x4=18 9x1+8x2-4x3-11x4=0 x1-12x2+2x3-2x4=-5 x1+7x2+x3-x4=6	24	-2x1-6x2+5x3+9x4=-9 6x1+8x2-4x3-2x4=-5 -3x1-4x2-8x3+7x4=13 x1+2x2-7x3+9x4=-4
5	-2x1+2x2-9x3+5x4=6 x1-2x2+10x3-7x4=-4 -11x1+x2+9x3-2x4=1 3x1+7x2-x3-x4=3	15	4x1+x2-4x3+x4=8 -3x1+8x2-4x3-2x4=-5 x1+4x2+2x3-2x4=7 -1.5x1+3x2+x3-4x4=-6	25	-8x1+2x2+x3-x4=0 x1+10x2-6x3+x4=-10 5x1-2x2+9x3-4x4=-8 -7x1-7x2-5x3+3x4=2
6	-x1-5x2-6x3+7x4=0 3x1-7x2-2x3-2x4=-2 2x1+10x2+4x3+2x4=5 -13x1-x2-8x3-3x4=-1	16	5x1+3x2-4x3+x4=8 x1+x2-4x3-5x4=3 5x1-2x2+4x3-2x4=-3 -x1+7x2-4x4=0	26	-8x1+2x2+x3-x4=0 x1+10x2-6x3+x4=-10 5x1-2x2+9x3-4x4=-8 -7x1-7x2-5x3+3x4=2
7	-5x1+3x2-x3+5x4=-2 7x1-6x2-7x3+x4=3 x1+x2-11x3-5x4=9 5x1-14x2+4x3-6x4=7	17	5x1+3x2-4x3+x4=8 -3x1+6x2-4x3=-7 x1-9x2+2x3+4x4=0 3x1-2x2+2x3-2x4=-7	27	6x1-4x2+3x3+5x4=-2 -4x1+7x2-5x3-4x4=-4 2x1-2x2+6x3-72x4=-4 -2x1+7x2+x3-5x4=-3

Окончание табл. 4.14

1	2	3	4	5	6
8	10x1+6x2-8x3+2x4=4 6x1-4x2+8x3+4x4=10 -2x1+6x2-4x3+4x4=6 6x1-15x2-2x3+8x4=3	18	7x1-6x2-7x3+x4=3 x1-6x2+2x3-2x4=-1 -3x1+7x2+x3-4x4=-6 2x1+10x2+4x3+2x4=5	28	3х1+2x2-9x3+2x4=0 6x1+9x2-5x3-x4=-3 3x1-4х2+x3-7x4=-5 2x1+7x2+2x3-3x4=-6
9	2.5x1+3x2-4x3+x4=0 -3x1+8x2-2x4=-3 3x1-2x2+2x3-2x4=-7 -3x1+7x2+x3-4x4=-2	19	-3x2-x3+x4=-3 -x1+5x2+2x3-2x4=-5 x1-2x2+6x3-2x4=2 -3x1+x2+x3-4x4=-8	29	5x1+2x2-x3+3x4=7 -7x1+6x2-5x3-7x4=-5 x1-12x2+2x3-2x4=-3 -4x1+7x2+x3-7x4=-6
10	x1+3x2+4x3+x4=8 -3x1+2x2-4x3-2x4=-5 x1-6x2+2x3-2x4=-1 -3x1+7x2+x3+4x4=12	20	x1+3x2+2x3+x4=4 -3x1+x2-4x3-2x4=-5 x1-5x2+2x3+3x4=9 -3x1+4x2+x3-7x4=-5	30	4x1+x2-6x3+x4=5 4x1+8x2-2x3-3x4=-5 -x1-12x2+3x3-2x4=-3 -5x1+7x2+3x3-3x4=-6

Задание 4

Решить систему линейных алгебраических уравнений из предыдущего задания при помощи функции lsolve.

Задание 5

Решить систему уравнений двумя способами (с использованием функции find и с использованием стандартной функции minerr. Варианты заданий приведены в табл.4.15.

Таблица 4.15

Варианты заданий

№ вар	Задание	№ вар	Задание	№ вар	Задание
1	2	3	4	5	6
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24

Окончание табл. 4.15

1	2	3	4	5	6
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Порядок выполнения работы.

3. Создать MathCad – документ и сохранить его под именем «Решение_уравнений».

4. Выполнить задания 1 – 5 в соответствии с данными своего варианта.

Содержание отчета.

Отчет должен содержать:

• номер, название и цель работы;

краткую теоретическую часть, включающую описание методов решения уравнений и систем уравнений;

• результаты выполнения работы согласно заданию, выданному преподавателем, а именно, в отчет должен быть помещен сформированный на лабораторной работе MathCAD-документ “ Решение_уравнений ”;

• заключение по работе.

Контрольные вопросы

1. Решение уравнений при помощи функции root.

2. Решение уравнений при помощи функции polyroot.

3. Символьное решение уравнений.

4. Решение систем нелинейных уравнений при помощи функции find.

5. Решение систем нелинейных уравнений при помощи функции minerr.

6. Символьное решение систем уравнений.

7. Решить уравнение по заданию преподавателя.

8. Решить систему уравнений по заданию преподавателя.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 24

Решение дифференциальных уравнений и систем

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

.

Теоретическая часть

Решение дифференциальных уравнений и систем

Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность из решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что также позволяет MathCad. Для решения задач такого класса можно использовать ряд функций:

Odesolve(x,b,[step]) - возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.

x - переменная интегрирования, действительное число

b - конечная точка отрезка интегрирования

step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

Rkadapt(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом. Пример использования функции приведен на рис.68.

Рис.68. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции Odesolve.

Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью функции Rkfixed.

На рис.2 приведен пример применения функции rkfixed для решения дифференциального уравнения, описывающего процесс свободных затухающих колебаний вели­чины электрического заряда q (К) на конденса­торе с емкостью С (Ф), включенного в замкнутый контур, содержащий также сопротивление R (Ом) и индуктивность L (Гн).

Этот процесс описывается дифферен­циальным уравнением второго порядка

где =d²q/dt² – ускорение изменения заряда, К/с2;

=dq/dt – скорость изменения заряда, К/с;

b – коэффициент затухания, 1/с, ;

w_c– круговая частота собственных колебаний контура, 1/с,

Исходные данные к решению задачи:

Начальное условие: t=0, V_q=0, q=q₀.

Номер варианта	R, Ом	L, Гн	C, Ф	q0, K
1 2 3 4 5	1 3 4 6 8	5 15 25 40 55	0,0050 0,0035 0,0040 0,0075 0,0070	1 2 3 4 5

Процесс затухания колебаний рассчитать до t_k

Исходное дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Для этого введем подстановки:

q₀=q

q₁=

Дифференциальное уравнение второго порядка преобразуем в систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Правые части системы дифференциальных уравнений записываются в вектор правых частей системы уравнений D(t,q).

Матрица Z размерности n строк по числу точек вывода результатов решения и m+1 столбцов, равным числу уравнений в системе. В столбцах матрицы содержатся значения переменных соответственно t, ,. На рис.2 представлен график изменения заряда от времени.

Рис.69. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции rkfixed.