scherbo-sp2

Рис. 19.2

281

На участке DE при x = 0,3 м qu = 7800 ×3,14 ×10−4 ×0,3w2 = 0,7348w2.

На участке CD qux изменяется по линейному закону от ноля до значе-

ния qu = 0,7348w2.

При решении динамических задач необходимо строго придерживать- ся выбранной системы единиц, например, СИ.

Построим эпюру изгибающих моментов, предварительно определив значение опорных реакций.

RA = 0,225qu .

Проверка

∑ y = -0,225qu + 0,575qu - 0, 2qu - 1 0,3qu = 0. 2

Запишем выражения изгибающих моментов по участкам стержня.

282

На основании выполненных расчетов строим эпюру изгибающих моментов (рис. 19.2, в).

Наиболее опасным сечением является сечение В, где

Итак, допустимая частота вращения ломаного стержня равна 416 об/мин.

Задания для самостоятельной работы

Решить следующие задачи.

Задача 1

Чугунный стержень круглого поперечного сечения, не- сущий на свободном конце груз Р (рис. 10.3), вращается во- круг горизонтальной оси О-О с постоянной угловой скоро- стью 120 с-1. Определить величину груза Р, при которой про- изойдет разрушение стержня, если предел прочности чугуна при растяжении равен 1600 кг/см2, а объемный вес его 72 г/см3.

283

Задача 2

На двух балках корытного профиля № 20 установлена лебедка весом 800 кг, поднимающая груз Р = 3 т с помощью стального троса (рис. 19.4). Площадь поперечного сечения троса F = 5 см2. Подъем груза происходит с постоянным ускорением 4 м/с2. Учитывая вес груза, лебедки и собствен- ный вес балок, определить величину наибольшего нормального напряже- ния в балках и в тросе.

Рис. 19.4

Ответ: maxσб = 1253 кгсм2 ; σтр = 845 кгсм2 .

ТЕМА 20

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Вынужденными называются колебания механической системы, на массу которой, кроме восстанавливающей силы, силы сопротивления и си- лы инерции действует еще возмущающая сила, изменяющаяся во времени.

Наибольшее практическое значение для расчета промышленных со- оружений имеет гармоническая нагрузка, т. е. нагрузка, изменяющаяся во времени по закону синуса или косинуса. Такой нагрузкой является верти- кальная составляющая центробежной силы вращающегося ротора при не- совпадении геометрической оси вращения с центром масс. Если это рас- стояние от оси вращения до центра масс равно r, а масса ротора m, угловая скорость (частота вращения) θ, то величина центробежной силы равна

H = mθ2r, а возмущающая нагрузка H (t) = H ×sin qt.

Возмущающая нагрузка вызывает вынужденные колебания, которые при отсутствии сил сопротивления также происходят с круговой частотой θ, равной частоте изменения возмущающей нагрузки и полностью совпадают с ней по фазе, а при наличии сил сопротивления происходит сдвиг по фазе, т. е. колебания несколько отстают от изменяющейся возмущающей на- грузки.

284

Возникающие при колебательном движении силы инерции увеличи- вают значения внутренних усилий, перемещений, напряжений.

Коэффициент динамичности η показывает, во сколько раз внутрен- ние усилия, напряжения или перемещения от динамического действия возмущающей нагрузки H(t) больше тех же параметров, вызываемых ам- плитудным ее значением Н при условии ее статического воздействия на сооружения.

При отсутствии сил сопротивления его значение

где θ – частота изменения возмущающей нагрузки, равная частоте выну- жденных колебаний;

ω – круговая частота свободных (собственных) колебаний системы, определяемая по одной из приведенных зависимостей:

где δ – коэффициент податливости системы по направлению движения колеблющейся массы, равен единичному перемещению по данному на- правлению от единичной нагрузки;

c = 1δ называют коэффициентом жесткости системы по направлению

движения колеблющейся массы.

При наличии сил сопротивления значение коэффициента динамич- ности равно

не учитывать.

Величина коэффициента λ, учитывающего сопротивление воздуш- ной среды, для строительных конструкций не превышает 0,1ω.

285

Решение задачи рекомендуется вести в следующем порядке:

1. Строим эпюру изгибающих моментов от статического действия веса электродвигателя и центробежного насоса (рис. 20.1, б).

G = m × g =1000 ×9,8 = 9800 H = 9,8 кН.

В силу симметрии опорные реакции RA = RB = 9,8 = 4,9 кН. 2

Изгибающий момент в сечении С равен

MC = 4,9 × 2 = 9,8 кНм = 980 кН×см,

а в сечениях А и В он равен нулю.

Построенная эпюра Мст изображена на рис. 20.1, в.

2. Определим максимальную величину нормальных напряжений, возникающих в сечении С, от статического действия статической нагрузки.

max sст = Мст max .

Wz

Момент сопротивления изгибу Wz будет равен удвоенному значению моментов сопротивления каждой балки в отдельности.

Wz = 2Wzдв = 2 ×184 = 368 см3.

Аналогично и для осевого момента инерции сечения

J z = 2J zдв = 2 ×1840 = 3680 см4.

max sст = 980 = 2,663 кН см2 = 26,63 МПа. 368

3. Определим круговую частоту изменения возмущающей нагрузки, равную частоте вынужденных колебаний системы.

q = pn = 3,14 ×980 =102,6 c−1.

3030

4.Определим величину коэффициента податливости системы по на- правлению движения массы.

Для этого строим эпюру mc (рис. 20.1, г, д) от действия единичной нагрузки

287

θ

6. Определим отношение ω.

θ = 102,6 = 1,38 > 1, 2. ω 74,3

Сопротивление воздушной среды при определении коэффициента динамичности η можно не учитывать.

7. Определим значение коэффициента динамичности

воздействия возмущающей нагрузки (рис. 20.1, е, ж). h× H =1,106 ×1,5 =1,66 кН.

Значения изгибающих моментов являются переменными во времени

иизменяются в пределах, указанных на рис. 20.1, ж.

9.Построим окончательную эпюру динамических усилий Mд = Мст + Мдн

(рис. 20.1, з) с учетом самого невыгодного суммирования.

10. Определим максимальное значение динамических нормальных напряжений, которые возникают в сечении С,

Пример 2

Используя условие задачи 1, определить, при каком числе оборотов в минуту вала электродвигателя возникнет резонанс, и определить макси- мальную величину динамических напряжений при резонансе.

Резонанс наступает тогда, когда q = w = 74,3 c-1.

288

15

Рис. 20.2

Максимальная величина изгибающего момента от совместного дей- ствия динамической и статической нагрузок

M д max = 9,8 +15 = 24,8 кНм = 2480 кН×см.

Максимальная величина нормальных напряжений в поперечном се- чении балки при условии резонанса равна

Задача 2

Для демонстрации явления резонанса электромотор весом m = 9 кг установлен на шарнирно опертой по концам стальной балке прямоугольно- го поперечного сечения 6 ´100мм. Пролет балки l =1, 2 м. На оси элек-

289

тромотора укреплен стержень АВ, несущий на конце В груз массой m0 = 0,3 кг (рис. 20.4).

ТЕМА 21

Расчет на ударную нагрузку

Цель занятия: изучить методику определения напряжений и дефор- мации при продольном и поперечном ударах.

Инженерные конструкции нередко подвергаются действию динами- ческой нагрузки, характеризующейся большой скоростью ее приложения, в результате чего возникают значительные ускорения, влияющие на на- пряженно-деформированное состояние конструкций. В расчетах влияние динамической нагрузки обычно учитывается с помощью динамического коэффициента, зависящего от вида динамической нагрузки, размеров кон- струкции, ее массы, жесткости сооружения и других факторов. При этом имеет место сложное взаимодействие нагрузки с сооружением, которое не представляется возможным выявить в полном объеме, поэтому часто ис- пользуются различные вспомогательные гипотезы, значительно облег- чающие расчет.

При расчетах на ударную нагрузку принимаются следующие предпо- сылки:

1)деформации конструкций от воздействия ударяющего тела под- чиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим при стати- ческом приложении той же нагрузки, т. е. связь между динамическими си- лами и перемещениями аналогична связи между статическими силами и перемещениями;

2)ударяющее тело является абсолютно жестким и с момента сопри- косновения с конструкцией остается связанным с ней во время всего даль- нейшего ее перемещения;

3)масса конструкции считается малой по сравнению с массой уда- ряющего тела и не учитывается, сопротивлением перемещению пренебрегают;

290