scherbo-sp2

следовательно,

Так, например, для прямоугольного сечения получим

для круглого сечения

y0 » d 2 . 16R

Приближенные формулы (табл. 13.1) дают хорошую точность для брусьев средней кривизны, когда h < 1 .

R2

13.5.Напряжение при одновременном действии продольной силы и изгибающего момента

Если в сечении кривого бруса одновременно возникают изгибающий момент и продольная сила, то напряжение следует определять как сумму напряжений от двух указанных воздействий:

FSx r

Вэтой формуле величина изгибающего момента должна быть найдена

относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, так как на- пряжение от продольной силы N/F найдено из условия, что нормальная сила приложена в центре тяжести поперечного сечения.

Пример

Рассмотрим пример расчета крюка, изображенного на рис. 13.10, где Р = 2,5 тс. Поперечное сечение крюка можно рассматривать как трапецию с размерами: b1 = 4 см, b2 = 1 см, h = 9 см, R1 = 3 см, R2 = 12 см, расстояние от центра кривизны до центра тяжести

Величина смешения нейтрального слоя относительно центра тяжести y0 = R − r = 6,6 − 5,72 = 0,88 см.

141

Эпюра напряжений от одного только изгибающего момента показана на рис. 13.11 а, а от совместного действия нормальной силы и изгибающего момента – на рис. 13.11, б.

Интересно сравнить полученные результаты с теми, которые будут определены по обычным формулам для прямого бруса. Момент инерции се-

142

пользоваться формулами, полученными для прямого бруса. Погрешность может быть настолько значительной, что не только количественные вели- чины напряжений, но и качественная картина напряженного состояния рез- ко изменяются. Так, например, при правильном расчете на изгиб наиболее напряженной точкой оказалась точка m, лежащая на внутренней кромке се- чения, в то время как при расчете по формулам прямого бруса, наоборот, напряжения в точке n от изгиба оказались больше, чем в точке m. Поэтому

кривые брусья разделяют на две группы: брусья малой кривизны h < 1 и

R 5

брусья большой кривизны h > 1 .

R 5

Для определения напряжений в брусьях малой кривизны приближен- но можно пользоваться формулами прямого бруса.

Для выяснения влияния кривизны на погрешность в напряжениях в кривом брусе, подсчитываемых по формулам для прямого бруса, составле- на табл. 13.2. В ней приводится процент расхождения между двумя указан- ными напряжениями для бруса с прямоугольным сечением.

Таблица 13.2

Из этой таблицы видно, что при R/h > 5 напряжения допустимо опре- делять по формуле для прямого бруса.

143

М-14. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

14.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Основные понятия.

2.Метод Эйлера для определения критических сил. Вывод формулы

Эйлера.

3.Влияние способов закрепления концов стержня на величину крити- ческой силы.

4.Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского.

5.Выпучивание упруго-пластического центрально-сжатого стержня в условиях возрастающей нагрузки (понятие о теории Ф.Р. Шенли).

6.Расчет внецентренно-сжатой гибкой стойки.

7.Практический расчет сжатых стержней.

Цель модуля – изучить методику расчета прочности с учетом устой- чивости.

14.1.Основные понятия

Впредыдущих главах рассматривались методы определения напря- жений и деформаций при растяжении, сжатии, кручении и изгибе. Были также установлены критерии прочности материала при сложном сопротив- лении.

Однако во многих случаях проектирования инженерных сооружений обычных расчетов на прочность бывает недостаточно для того, чтобы полу- чить полное представление о работе сооружения.

Выяснение того, что напряжения не превосходят расчетного сопро- тивления материала, не дает еще права сделать вывод о безопасности суще- ствования сооружения.

Наряду с проблемой прочности существует проблема так называемой устойчивости сооружения или его элементов.

Инженерные объекты помимо нагрузок, учитываемых расчетом, все- гда подвергаются дополнительным малым воздействиям (возмущениям), стремящимся вывести данное тело из его расчетного состояния равновесия или движения.

Если малые возмущения вызовут малые отклонения системы от рас- четного (невозмущенного) состояния, то это состояние системы является устойчивым. Наоборот, если при малых возмущениях возникнут большие отклонения системы от расчетного состояния, то последнее является не- устойчивым.

Наглядным примером устойчивого или неустойчивого состояния мо-

жет служить вращение обычного волчка (гироскоп). Хорошо известно, что

144

чем больше скорость вращения волчка, тем большее сопротивление он ока- зывает попыткам отклонить его от вращения вокруг вертикальной оси. Таким образом, вращательное движение волчка при больших скоростях по отноше- нию к малым возмущениям устойчиво. При уменьшении скорости вращения ниже некоторого значения те же малые возмущения резко изменят его со- стояние и вызовут беспорядочные движения. Таким образом, при малых ско- ростях вращения движение волчка становится неустойчивым.

Примером устойчивого или неустойчивого равновесия является рав- новесие тяжелого шарика, лежащего в вогнутой или на выпуклой сфере (рис. 14.1). В первом случае (рис. 14.1, а) при любом малом склонении ша- рик стремится вернуться в исходное состояние. Исходное и отклоненное со- стояния шарика мало отличаются друг от друга. Во втором случае (рис. 14.1, б) при любом малом отклонении шарик покатится вниз. Возму- щенное и заданное состояния шарика резко отличаются друг от друга.

Шарик, лежащий на дне вогнутой сферы, находится в устойчивом равновесии, а на вершине выпуклой сферы его равновесие неустойчиво.

Аналогичные явления можно наблюдать при изучении равновесия сжатого стержня. При малой сжимающей силе, меньшей некото- рого критического значения Р < Ркр, сжатый стержень нечувствителен к малым возмуще-

ниям. Незначительные дополнительные воздействия мало отклоняют стер- жень от его прямолинейного состояния. При Р > Ркр прямолинейная форма сжатого стержня неустойчива. Сколь угодно малые случайные воздействия вызовут большие отклонения. Стержень после устранения возмущений ос- танется в изогнутом состоянии под действием продольной силы. Такое со-

стояние называют продольным изгибом.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом нарастании сжимающей си- лы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня.

Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости часто наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, не являющихся опасными с точки зрения прочности самого материала.

История развития строительного искусства знает немало случаев кру- шения инженерных сооружений из-за неправильного их расчета на устой- чивость. Так, например, в 1907 г. обрушился большой мост консольной сис-

145

темы с главным пролетом 549 м через реку Св. Лаврентия в США. Разруше- ние произошло во время строительства за 15 мин до конца рабочего дня, при этом все находившиеся на мосту рабочие и техники погибли (всего по- гибло 74 человека); 9 тыс. тонн металлических конструкций пришло в пол- ную негодность. Бόльшая часть конструкций затонула в воде, погрузившись в отдельных местах на глубину более 40 м.

Это грандиозное крушение Квебекского моста (мост строился в 14 км от Квебека) весьма поучительно. Причиной катастрофы явился неправиль- ный расчет сжатого составного стержня на устойчивость.

В то время теория расчета таких стержней не была в достаточной сте- пени разработана, что является извиняющим обстоятельством для проекти- ровщиков.

Интересно отметить, что спустя 9 лет, когда в 1916 г. завершились ра- боты по возведению нового Квебекского моста на том же месте и по той же схеме, произошло вторичное крушение, при котором упал в воду и затонул подвесной пролет.

Другой трагический случай, который может служить предметным уро- ком, доказывающим необходимость и важность тщательного расчета сжатых элементов на устойчивость, произошел с мостом у деревни Мен- хенштейн в Швейцарии в мае 1891 г. В момент катастрофы по мосту прохо- дил пассажирский поезд, состоявший из 12 вагонов. Мост имел небольшую длину – всего 42 м. Паровоз успел пройти через мост, но упавшие вагоны увлекли его за собой. Из 12 вагонов упало 6; падавшие друг на друга вагоны разбивались и образовывали груду обломков. При катастрофе погибло 74 и было ранено около 200 человек. Причина катастрофы заключалась в том, что один из сжатых раскосов фермы потерял устойчивость и повлек за со- бой разрушение всего моста.

Таким образом, продольный изгиб является опасным, его допускать нельзя. Поперечные сечения сжатых стержней должны назначаться не из условий прочности от чистого сжатия, а из условий того, чтобы сжи- мающие напряжения были меньше критических напряжений:

σ < σкр = Ркр F .

Определение критических сил, изучение форм потери устойчивости, разработка метода подбора сечений составляют основную задачу науки об устойчивости сооружений.

На рис. 14.2 показаны случаи потери устойчивости различных упру- гих систем. В сжатом стержне (рис. 14.2, а) при превышении силой крити- ческого значения может произойти выпучивание. Сжимающая сила вызы- вает, кроме сжатия, также изгибающие моменты. Кольцо (рис. 14.2, б) под гидростатическим давлением во всех сечениях испытывает центральное

146

сжатие. Однако при некотором значении давления q > qкр круговое очерта- ние кольца перестает быть устойчивым. Кольцо изгибается и превращается в эллипс.

На рис. 14.3 показана рама, на которую действуют силы, приложенные в узлах. Эти си- лы вызывают центральное сжатие в стойках.

Как только силы Р превысят критиче- ское значение, рама мгновенно изогнется, уз- лы ее переместятся в сторону, произойдет по- теря устойчивости первоначально заданного равновесия рамы. Такая же картина происхо- дит с аркой (рис. 14.4).

Все изображенные на рис. 14.2 – 14.4 случаи характерны тем, что до потери устой- чивости во всех сечениях наблюдалось только центральное сжатие. В момент потери устой- чивости к центральному сжатию присоединя- ется изгиб. Система переходит из одного со- стояния равновесия в другое. Происходит по-

теря устойчивости центрального сжатия.

На рис. 14.5 показан другой случай поте- ри устойчивости. Вначале балка испытывает изгиб в вертикальной плоско-

сти (плоский изгиб). Как только сила превысит критическое значение, пло- ская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение. Аналогичным образом мо- жет произойти потеря устойчивости при кручении, внецентренном сжатии и при других видах деформации.

Если система загружена не одной, а несколькими силами или какой- либо сложной нагрузкой, то выбирается один параметр и вся система сил считается изменяющейся пропорционально этому параметру. Например, для стержня, загруженного двумя силами (рис. 14.6), сила Р2 выражена че-

147

14.2. Метод Эйлера для определения критических сил. Вывод формулы Эйлера

Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Основы и техника применения этих методов изучаются в специальных курсах, посвященных проблемам устойчивости различных объектов, встречающихся в строительстве и машиностроении.

Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако в курсах сопротивления материалов он обычно не изучается по двум причинам: во-первых, его применение требует специальных знаний в области динамики упругих систем, а во-вторых, и это главное, подавляющее большинство задач, встречающихся в инженерной практике, может быть решено более простым методом – методом Эйлера.

Метод Эйлера основан на анализе разветвления возможных форм рав- новесия упругой системы. Рассмотрим его идею более подробно на примере центрально-сжатого, идеально прямого стержня. При малых сжимающих силах прямолинейная форма стержня является устойчивой. При больших силах, превышающих некоторое критическое значение, она является неус- тойчивой, а устойчивой будет криволинейная форма.

Таким образом, при Р > Ркр теоретически возможно существование двух форм равновесия. Наименьшее значение сжимающей силы, при кото- ром наступает разветвление форм равновесия, называется критической си- лой. Следовательно, при критической силе наряду с исходной прямолиней- ной формой как бы возможна смежная, весьма близкая к ней искривленная форма. По определению Эйлера, критической силой называется «сила, тре-

бующаяся для самого малого наклонения колонны». Желающим более под-

148

Для определения значений произвольных постоянных А и В используем граничные условия. Первое граничное условие: при z = 0 и v = 0 A = 0.

Следовательно, уравнение оси изогнутого бруса (14.3) примет вид

выполняется в двух случаях: 1) В = 0; 2) sinkl = 0.

Первый случай нас не интересует, так как при В = 0 прогибы во всех точках равны нулю, следовательно, стержень остается прямым.

Второе условие sinkl = 0 дает kl = π, 2π, Зπ, ..., nπ, учтя значение k

Итак, получено не одно, а множество значений критических сил. Каж- дой критической силе соответствует своя форма равновесия (рис. 14.8). Подставляя найденное значение k в уравнение оси изогнутого бруса (14.4), замечаем, что при первой критической силе стержень изгибается по одной

149

полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно но- меру соответствующей критической силы.

Рис. 14.8

Интересно отметить, что равновесие, соответствующее первой форме изгиба, является устойчивым, а всем остальным – неустойчивым.

Для инженерных расчетов практический интерес представляет только наименьшая критическая сила

Эту формулу более двухсот лет назад (в 1744 г.) впервые получил Ле- онард Эйлер, поэтому ее называют формулой Эйлера, а определяемую этой формулой критическую силу часто называют эйлеровой силой.

Из формулы Эйлера видно, что величина критической силы прямо пропор- циональна жесткости и обратно пропорциональна квадрату длины стержня.

Для стержня, работающего в упругой стадии, критическая сила зави- сит только от геометрических размеров стержня и модуля упругости мате- риала, но совершенно не зависит от прочностных характеристик материала, из которого изготовлен стержень. Так, например, она не зависит от сорта стали. Для стали Ст. 3 и для высокосортной стали модули упругости прак- тически одинаковы, поэтому и критические силы также равны между собой. Два стержня с одинаковыми геометрическими размерами, но изготовленные из различных сталей и работающие в упругой стадии, теряют устойчивость при одной и той же критической силе.

Таким образом, выясняется резкая разница между работой стержня на сжатие и на растяжение. Предельная растягивающая сила непосредственно зависит от прочностных характеристик материала и потому различна для разных сортов стали, в то время как при сжатии в пределах упругости на- блюдается совершенно иная картина.

150