scherbo-sp2

Таким образом, при подъеме груза с ускорением а динамическое на- пряжение может в несколько раз превысить статическое. Так, например, в скоростных лифтах, где большая скорость подъема может быть достигнута только благодаря большим ускорениям, динамическое напряжение бывает очень большим. Расчет тросов в этом случае должен быть проведен с уче- том динамического действия нагрузки.

Если груз опускать с ускорением а, то в формуле динамического ко- эффициента надо поставить знак минус. При свободном падении груза ус- корение а = – g, поэтому натяжение в канате равно нулю. Канат следует за падающим грузом без натяжения.

15.3. Расчеты на удар

Под ударом понимается взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.

Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях се- кунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнеч- ного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай, воз- действие колеса паровоза на рельс при перекатывании через стык и др.

На рис. 15.2. показан график изменения силы удара падающего груза в зависимости от времени. В точке С диаграммы сила удара достигает наибольшего значения. Вертикаль, проведенная через точку С, разделяет диа- грамму на две части, соответствующие первой и второй фазам удара.

Различают две фазы удара. В первой фа- зе центры тяжести соударяемых тел сближа- ются, а сила взаимодействия между телами возрастает, достигая максимального значения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения обращает- ся в нуль.

Во второй фазе (фазе восстановления) центры тяжести тел удаляются друг от друга, силы взаимодействия уменьшаются, обращаясь в нуль в кон- це удара, когда прекращается контакт тел, или в постоянную величину, рав- ную весу падающего груза, если удар является абсолютно неупругим.

171

Импульс силы удара

τ

S = ∫P(t)dt

0

равен изменению количества движения и поэтому может быть найден с дос- таточно высокой точностью; что же касается наибольшей силы удара Рmах и его продолжительности τ, то вопрос о достаточно точном определении этих величин до сего времени не может считаться разрешенным до конца. Объ- ясняется это тем, что за исключительно короткий промежуток времени, в который совершается удар, трудно произвести какие-либо измерения, свя- занные с определением силы удара.

При ударе падающего груза по упругому стержню точка, по которой происходит удар, приобретает некоторую скорость движения; однако для развития деформаций всего стержня требуется время, которое может ока- заться большим продолжительности удара τ. Поэтому обычно производят ус- ловный расчет на удар, по которому определяют внутренние силы и переме- щения, возникающие в стержне после удара в результате того, что падающее тело сообщило определенной точке начальную скорость движения. Так, на- пример, определяется наибольшее динамическое перемещение точки, по ко- торой наносится удар. Зная это перемещение, можно решать задачу об опре-

делении напряженного состояния стержня. В рамках определенных предположений можно найти силу, статически приклады- ваемую в точке удара, чтобы вызвать наи- большее динамическое перемещение систе- мы. Такую силу условно называют динами- ческой силой и обозначают РД.

Рассмотрим случай, когда падающее тело весом G ударяет по другому телу ве- сом G0, закрепленному на невесомой упру- гой пружине (рис. 15.3, а). Удар считаем абсолютно неупругим. Обозначим жест- кость пружины (силу, вызывающую сме- щение верхнего конца пружины на едини- цу) через с. Эту величину легко определить аналитически или экспериментально.

Если силу G приложить к системе статически, то перемещение λСТ бу- дет определяться равенством

После удара вследствие полученной начальной скорости пружина со- жмется на величину λД (рис. 15.3, б), которую можно определить через ди- намическую силу РД:

172

Скорость падения груза в момент, предшествующий удару, связана с высотой падения равенством

После соприкосновения двух тел их скорости одинаковы и равны V1. Таким образом, предполагаем, что после соприкосновения два тела как бы соединились в одно, которое, продолжая перемещаться вниз, сжимает пру- жину.

Предположим, что продолжительность удара τ настолько мала, что груз G0, получив скорость V1, начал вместе с грузом G сжимать пружину только после того, как закончился удар. Тогда по теореме об изменении ко- личества движения имеем

При дальнейшем движении пружина сжимается, а скорость тел посте- пенно падает. В момент наибольшего сжатия сила, сжимающая пружину, достигнет максимума: РД + G0.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, соглас- но которой приращение кинетической энергии материальной системы за не- который промежуток времени равно сумме работ, приложенных к системе сил на соответствующем пути:

А – работа всех сил, приложенных к двум движущимся телам на пути λД. Сила тяжести двух тел на пути λД совершит работу

(G + G0 )λ Д .

Со стороны пружины на тела действует переменная сила. В начале деформации пружины она равна силе веса G0, а в конце – силе G0 + РД.

График изменения силы показан на рис. 15.4. Работа этой силы будет от-

173

рицательной, так как она действует в сторону, противоположную движению. Численно ра- бота равна площади диаграммы, показанной на рис. 15.4.

Таким образом, учитывая равенство (б), найдем

Рис. 15.4

Подставляя найденные значения в равенство (д), получим

Полученное решение является приближенным, так как при выводе формулы (15.2) не был учтен целый ряд факторов, а именно: удар считался абсолютно неупругим, в действительности в реальной системе он является частично неупругим. В то же время не были учтены местные деформации в точке, по которой наносится удар. Учет местных деформаций может оказать существенное влияние на окончательный результат. Из-за сделанных отсту- плений от реальных условий формула (15.2) дает завышенное значение ди- намического перемещения.

Если G0 = 0, т. е. тело G падает на невесомую пружину (рис. 15.5), то динамическое перемещение и динамический коэффициент равны:

174

Формулу (15.4) можно применить к определению динамического ко- эффициента для невесомого стержня, т. е. для стержня, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой падающего груза. При продоль- ном ударе, вызывающем сжатие (рис. 15.6, а) или растяжение (рис. 15.6, б)

стержня, величину λ необходимо заменить удлинением стержня l;

lД = μΔlСТ ,

μ = 1 + 1+ 2h .

lСТ

Силу сжатия, а также соответствующие напряжения можно опреде-

лить с помощью того же динамического коэффициента:

PД = μG; σ Д = μσCТ .

Чем больше статическое удлинение lСТ, тем меньше динамический коэффициент. Таким образом, чем больше жесткость стержня, тем больше величина ударной силы.

Уменьшить силу удара можно, увеличив lСТ – статическое удлине- ние. Чем больше длина стержня и меньше его жесткость, тем меньше ди- намический коэффициент, а следовательно, меньше динамическая сила и динамические напряжения. Этим можно объяснить то, что при буксировке тяжелых барж канаты, соединяющие буксирный катер с баржей, имеют большую длину. Короткие канаты при случайном ударе, возникающем вследствие различных причин (например, когда баржа сядет на мель), не выдерживают динамической нагрузки и разрываются.

Если на стержень при продольном ударе поставить дополнительно пружину, то величина lСТ значительно увеличится, а следовательно, уменьшится динамический коэффициент. Установка резиновых прокладок между машиной и фундаментом также уменьшает ударное воздействие.

175

При поперечном ударе (рис. 15.7) также можно пользоваться формулой (15.4), где величина λСТ должна быть заменена величиной статического про- гиба. Обозначим статический прогиб в точке падения груза через δСТ, тогда

μ = 1 + 1+ 2h .

δСТ

Величины динамического прогиба δД в произвольном сечении, дина- мического напряжения или какого-либо другого фактора SД легко опреде-

ляются с помощью динамического коэффициента µ:

δ Д = μδСТ ;

Величину динамического коэффициента при падении груза на неве- сомую балку можно выразить через скорость падения груза в момент под- лета к балке. Для этого необходимо вместо величины 2h подставить вели- чину v2/g, что вытекает из формулы (в). Следовательно,

μ = 1 + 1 + V 2 .

gδСТ

Когда высота падения равна нулю, динамический коэффициент равен двум. Такое нагружение называется внезапным. Физически эту задачу мож- но представить так: если на нити подвесить груз, укрепив его над балкой та- ким образом, чтобы он касался верха балки, но не давил на нее, а передавал- ся целиком на нить, и если при этом нить мгновенно рассечь, то сила тяже- сти груза всей своей величиной внезапно передастся на балку. Напряжения и прогибы в этом случае будут в два раза больше, чем при статическом нагру- жении, при котором, как известно, предполагается постепенное нарастание величины нагрузки от нуля до конечного значения.

Если высота падения значительно превышает статический прогиб δСТ, то единицей по сравнению со вторым членом, стоящим под корнем, можно пренебречь. Тогда

Формулы (15.2) и (15.3) можно применить также к случаю, когда на невесомом стержне в точке падения груза весом G прикреплено тело весом

G0 (рис. 15.8).

176

Если груз падает на балку, обладающую значительной массой, кото- рой нельзя пренебрегать, то решение сильно усложняется. Можно приме- нить приближенное решение; оно сводится к замене реальной балки систе- мой с одной степенью свободы. Распределенная по длине балки масса заме- няется приведенной массой, сосредоточенной в месте удара.

В формуле (15.3) содержатся не массы, а пропорциональные им веса соударяющихся тел. Если вес балки обозначить Q0, а вес приведенной мас- сы – kQ, где k – коэффициент приведения (k < 1), то подставляя в формулу динамического коэффициента (15.3) вместо G0 величину kQ0, получим

Величина k зависит от способов закрепления стержня и вида удара (продольный или поперечный удар).

Для определения величины k применяют приближенный прием. Для этого определяют кинетическую энергию заданной системы и сравнивают ее с кинетической энергией приведенной массы.

Рассмотрим частные случаи.

Продольный удар. Найдем величину для случая про- дольного удара по стержню постоянного сечения, заделан- ного одним концом (рис. 15.9). Пусть при ударе бесконеч- но малый элемент бруса с площадью поперечного сечения F и плотностью материала ρ, имеющий массу Fdzρ, полу- чил скорость Vz. Предположим, что скорость Vz пропор- циональна перемещению заданного сечения, которое в свою очередь пропорционально величине z, т. е. эпюра ди- намических перемещений по форме такая же, как от стати- ческой продольной силы, приложенной на конце стержня. Тогда закон изменения скорости по высоте бруса может быть представлен в виде

где V – скорость верхней точки стержня. Кинетическая энергия стержня равна

Таким образом, для стержня, заделанного одним концом, обладающе- го весом Q0 = Flρg, коэффициент приведения при продольном ударе k = 13.

Поперечный удар. Рассмотрим балку постоянного сечения, шарнирно закрепленную на двух опорах. Для определения кинетической энергии сис-

177

темы предположим, что скорость Vz элемента балки, отстоящего от левой опо- ры на расстоянии z (рис. 15.10), пропорциональна перемещению этого сечения vz от статической нагрузки, приложенной в виде силы Р в точке удара. Это ус- ловие пропорциональности можно выразить следующим равенством:

Vz = vz .

Vmax vmax

Здесь Vmax и vmax – соответственно скорость и прогиб в середине пролета.

Рис. 15.10

Приняв, что точка удара расположена в середине балки, имеем сле- дующее уравнение прогибов:

Следовательно,

Кинетическая энергия системы определяется равенством

Найдем теперь кинетическую энергию для балки, у которой посереди- не пролета прикреплена приведенная масса. Считая, что скорость движения этой массы будет равна величине Vmax, получим

Две системы можно считать эквивалентными друг другу, если у них кинетические энергии одинаковы. Если приравнять два полученных выше выражения для энергий, то легко заметить, что коэффициент k определяется равенством

k = 1735.

178

Подставив найденное значение k в формулу (15.5), определим для бал- ки на двух опорах при ударе падающим грузом в точку, расположенную по- середине пролета, значение динамического коэффициента

Рассмотрим примеры, поясняющие применение полученных результатов.

Пример 1

Определить наибольшее динамическое напряжение в деревянном брусе переменного сечения, показанном на рис. 15.11, от удара, возникшего в ре- зультате падения груза весом Q = 100 кгс с высоты

9 см. Модуль упругости древесины E =105 кгс/см2.

Все размеры показаны на рис. 15.11.

Предположив, что груз приложен статиче- ски, найдем укорочение стержня:

Подставляя полученное значение статического пе- ремещения в формулу динамического коэффици- ента, найдем

Статическое напряжение в нижней части

стержня равно

Рис. 15.11

sCТ =10050 = 2кгс см2 .

Динамическое напряжение определяется равенством sД = msСТ = 2 ×101 = 202кгссм2 .

Полученные динамические напряжения довольно значительны. В дей- ствительности в деревянном брусе напряжения будут меньше. Объясняется это рядом причин: одна из них заключается в том, что при ударе появятся местные деформации, которые поглотят часть кинетической энергии.

179

Пример 2

На балочную систему, показанную на рис. 15.12, в точку К падает груз с высоты h. Определить динамический момент в заделке и динамические прогибы в точках В и К. Размеры балки и жесткости ее элементов показаны на рисунке.

Рис. 15.12

В первую очередь находим статический прогиб точки К в месте паде- ния груза. Его можно определить как сумму двух перемещений, а именно: 1) считая балку ВС недеформируемой, найдем перемещение точки К как половину прогиба в точке В; 2) считая консоль недеформируемой, найдем прогиб точки К в балке ВС.

Первое перемещение определяется выражением

1(G2)l13 .

23EJ1

Второй прогиб равен величине

Gl23 . 48EJ1

Суммарный статический прогиб в точке К равен

Динамический коэффициент определим по формуле (15.4):

Далее легко найти требуемые (по условию задачи) величины: динами- ческий момент в заделке

M Д = μMСТ = G l1μ; 2

180