scherbo-sp2

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов специальности 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство»

В двух частях

Часть 2

Составители: А. Г. Щербо, В. К. Родионов

Под общей редакцией А. Г. Щербо

Новополоцк 2007

МОДУЛИ КУРСА

5

М-8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ

8.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Общие замечания.

2.Дифференциальные уравнения оси изогнутого бруса.

3.Интегрирование дифференциального уравнения и определение постоянных.

4.Метод начальных параметров.

5.Метод Мора для определения перемещений.

Цель модуля – изучить методы определения перемещений в балках.

8.1. Общие замечания

Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок, недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от задан- ной нагрузки. Вычисленные напряжения позволяют проверить прочность системы. Однако весьма прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости. Если балка под нагрузкой сильно прогибается, то при эксплуатации сооружения, имеющего гибкие балки, появятся затруднения и, кроме того, могут возникнуть колебания балки с большими амплитудами, а вместе с тем и значительные дополни- тельные напряжения. Для проверки жесткости балки необходимо научить- ся определять перемещения отдельных точек ее оси.

В настоящем модуле рассмотрим только такие балки, у которых по- перечное сечение имеет ось симметрии, а все силы, действующие на балку, лежат в плоскости, совпадающей с этой осью.

На рис. 8.1, а показана изогнутая балка, заделанная одним концом. В результате изгиба ось балки становится криволинейной. Точка К, лежащая на оси в сечении, отстоящем на расстоянии z от начала координат, пере- местится в точку К′. Обозначим перемещение произвольной точки оси бруса в направлении оси у через v, а перемещение вдоль оси бруса – через u. Если в точке К′ провести касательную к оси изогнутой балки, то по от- ношению к первоначальной оси она будет повернута на некоторый угол ϕ. Три величины – v, u и ϕ – являются компонентами перемещения произ- вольного поперечного сечения балки. Определение этих компонентов во всех точках оси балки и составляет задачу настоящего модуля.

Проверка жесткости балок сводится к требованию, по которому наи- больший прогиб vmax не должен превышать определенной доли пролета:

Отношение прогиба к пролету балки устанавливается нормами про- ектирования примерно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных со-

6

оружений, например, для железнодорожных мостов, величина m принима- ется около 1000.

Рис. 8.1

Отсюда видно, что прогибы при изгибе, как правило, малы по сравнению с пролетом балки.

Это позволяет ввести некоторые упрощения. Во-первых, при малых прогибах v угол наклона касательной к оси изогнутой балки можно опре- делять с помощью выражения

Во-вторых, горизонтальными перемещениями u можно пренебречь, так как по сравнению с v они будут величинами второго порядка малости.

В самом деле, рассмотрим, например, балку длиной l, заделанную концом (рис. 8.2).

Предположим, что она изогнулась по окружности. Вертикальное и горизонтальное перемещения свободного конца равны:

v = R (1 − cos α); u = l − R sin α,

где R = lα – радиус кривизны;

α – угол поворота концевого сечения. Разложим cosα и sinα в ряд и ограни-

чимся ввиду малости α двумя членами ряда:

7

sin α ≈ α − α3 . 6

После подстановки получим:

Отсюда следует, что v и α – величины одного порядка, а u имеет бо- лее высокий порядок малости.

Пусть, например, v = l100 , тогда α = 1/50, а u = l/15000, т. е. горизон-

тальное перемещение в 150 раз меньше, чем вертикальное. Поскольку до- пускаемый прогиб обычно меньше, чем l/100, разница между u и v в реаль- ных конструкциях еще больше, поэтому величиной u можно пренебречь.

На рис. 8.1, б показана условная схема перемещений. Считается, что каждая точка перемещается только по вертикали.

Для определения полной картины деформаций необходимо получить уравнение оси изогнутого бруса

Если функция v(z) известна, то, определив прогибы в ряде точек, можно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, который позволит судить о жесткости балки. Вместе с тем во многих задачах быва- ет необходимо определять углы поворота. Эта задача встречается главным образом при расчете статически неопределимых систем, которые имеют большое распространение в строительной практике.

8.2. Дифференциальные уравнения оси изогнутого бруса

При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе была по- лучена связь между кривизной и изгибающим моментом:

по тому же закону, по которому изменяется величина M . Так, для балки по-

EJ

1

стоянного сечения, показанной на рис. 8.3, а, эпюра кривизны ρ (рис. 8.3, в)

имеет такой же вид, как и эпюра моментов (рис. 8.3, б). Если балка посто-

8

Подставляя значение кривизны в равенство (8.3), получим дифферен-

циальное уравнение оси изогнутого бруса

Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения связано с большими трудностями. Учитывая, что на практике приходится

иметь дело с малыми прогибами и что тангенсы углов наклона dv каса- dz

тельной к оси будут малы, квадратом первой производной в знаменателе

dv 2

по сравнению с единицей можно пренебречь.

dz

9

Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение

визны зависит от направления осей координат. Знак изгибающего момен- та был выбран в зависимости от того, где расположены растянутые волок- на. Так, например, для случая, когда ось оу направлена вверх, положи- тельному моменту (рис. 8.5, а) соответствует положительная кривизна, а отрицательному – отрицательная кривизна.

Рис. 8.5

Таким образом, в случае, когда ось оу направлена вверх, знаки кри- визны и изгибающего момента совпадают, поэтому в дифференциальном уравнении берется знак плюс:

d 2v = + M . dz2 EJ

Если ось оy направлена вниз, то знаки у кривизны и изгибающего момента различны (рис. 8.5, б), поэтому в правой части уравнения (8.5) бе- рется знак минус:

d 2v = − M . dz2 EJ

8.3.Интегрирование дифференциального уравнения

иопределение постоянных

Для того чтобы получить аналитическое выражение прогибов углов поворота, необходимо найти решение дифференциального уравнения (8.5).

Правая часть уравнения (8.5) является известной функцией от z, по- этому имеем простое дифференциальное уравнение.

10