scherbo-sp2

Однако в данном случае можно получить решение, считая, что на участке dt стержня (рис. 12.19) приложен сосредоточенный элементарный момент

Рис. 12.19

Тогда влияние этого момента на угол Θn можно определить из выра- жения

Таким образом, при наличии распределенных моментов к уравнению (12.70) добавляется правая часть уравнения (12.73) или (12.74).

Путем последовательного дифференцирования (12.70) с учетом (12.73) или (12.74), а также полученных ранее уравнений (12.40) и (12.45) могут быть составлены общие уравнения Θ, Вω и Мω для любого участка стержня.

Вэти уравнения войдут неизвестные начальные параметры, которые

вкаждой задаче определяются исходя из граничных условий.

Так, например, если один конец стержня свободен, а другой жестко заделан (рис. 12.20, а), то известными граничными условиями будут:

1) угол закручивания на заделанном конце стержня Θl = 0 , так как сечение в заделке не может поворачиваться;

2) производная Θ′ = 0 . Это следует из полученного в п. 12.4 равенст-

l

ва ∂u = −rΘ′, так как для сечения в заделке перемещения u = 0 , а расстоя-

∂s

ние r в общем случае не равно нулю;

121

3)на свободном конце стержня В0 = 0. Это равенство вытекает из формулы (12.43) ввиду того, что в торцовом сечении стержня σω = 0;

4)Mко известен как внешний сосредоточенный момент. Неизвестные

начальные параметры Θ0 и Θ′ определяются в данном случае путем под-

0

становки первого и второго граничных условий в соответствующие урав- нения для Θ и Θ'.

Рис. 12.20

Для другого случая, когда стержень шарнирно оперт по концам (рис. 12.20, б), можно считать, что опорные сечения не могут поворачи- ваться в плоскости хoу, так как такому повороту препятствуют элементы, прикрепленные к опорам (рис. 12.21). Поэтому угол Θ0 = 0, а также и на дру- гой опоре Θl = 0 ; равны нулю и бимоменты в обоих

торцовых сечениях стержня, так как здесь σω = 0.

Неизвестные начальные параметры Θ′ и Мко

0

для рассматриваемого стержня определятся в ре- зультате решения двух уравнений:

Следует заметить, что для случая, когда влиянием жесткости стержня при чистом кручении можно пренебречь, т. е. положить

Это уравнение по своей форме совпадает с известным из теории из- гиба уравнением

Из аналогии (б) и (в) можно установить зависимости при стесненном кручении и поперечном изгибе.

122

12.8.Вычисление геометрических характеристик

12.8.1.Определение положения центра изгиба А

Как было показано ранее, сечение стержня при кручении поворачи- вается, как жесткий диск, вокруг некоторого полюса в точке А, которую называют также центром кручения. При этом внешняя поперечная сила, например, сила Р (рис. 12.22), тем больше будет закручивать стержень, чем больший момент она создает относительно точки А.

Если сила Р проходит через точку А, то закручивающий момент равен нулю, а следовательно, поворота сечений не про- изойдет и стержень будет испытывать только один изгиб.

Рис. 12.22 Поэтому полюс А, или центр круче- ния, является также и центром изгиба.

Для определения координат центра изгиба используем равенства (12.6), из которых получим

Интеграл в левой части называется секториально-линейным статиче- ским моментом сечения относительно оси Ох и обозначается через Sωх.

Эта новая геометрическая характеристика сечения измеряется в сан-

123

Второе равенство после аналогичной подстановки соответственно дает

Sωy называют также секториально-линейным статическим моментом се- чения относительно оси oу.

Равенства (12.76) и (12.77) и будут теми условиями, которые позво- лят определить координаты сектори- ального полюса (или центра изгиба).

Рассмотрим какое-либо сечение (рис. 12.23), главные центральные оси которого совместим с осями oу и oх. Подобно тому как при отыскании центра тяжести берется произволь- ная ось и от нее определяется рас- стояние до центральной оси, выбе- рем произвольный полюс В и поло- жение центра изгиба будем опреде- лять относительно указанного полю- са отрезками αх и αy.

Наметим на профиле сечения любую точку m и проведем к ней ка- сательную, угол наклона которой к вертикали обозначим через β. Элемен-

тарная секториальная площадь, определяющая секториальную координату точки m при полюсе В, равна

Интегрируя полученное равенство и добавляя произвольную постоянную С, имеем

124

собой секториально-линейные статические моменты сечения, определяе- мые при расположении полюса в произвольной точке В, поэтому эти фор- мулы определяют положение центра изгиба А относительно точки В. При этом следует иметь в виду, что координаты αх и αу откладываются от по- люса В с учетом их знаков, а именно: если они положительны, то их от- кладывают в положительном направлении осей oу и oх.

12.8.2.Определение главной секториальной нулевой точки М0

Вп. 12.5 было установлено, что положение точки M0, являющейся

началом отсчета ω, связано с удовлетворением условия (12.25)

Sω = ∫ ωdF = 0.

F

Возьмем за начало отсчета произвольную точку М' и, используя ука- занное условие, определим главную нулевую точку М0 (рис. 12.24).

125

Таким образом, для определения положения точки М0 следует вначале построить эпюру w', взяв произвольную точку начала отсчета, затем необхо- димо вычислить по формуле (12.89) постоянную D и, пользуясь равенством (12.88), построить эпюру w, которая и будет удовлетворять условию (12.25). Для некоторых типов сечений на эпюре w будет несколько нулевых точек. Это означает, что при депланацин все эти точки не имеют продольных сме- щений. Любая из них может быть принята за точку начала отсчета. Однако за главную нулевую точку принимают ближайшую к полюсу А.

12.8.3. Техника вычисления геометрических характеристик Пример. Для равнополочного несимметричного двутавра, показан-

ного на рис. 12.25, определить координаты центра изгиба, главную нуле- вую точку отсчетов w и вычислить секториальный момент инерции.

По эпюрам Y и X (рис. 12.26, а, б) вычисляем главные центральные моменты инерции, пользуясь формулой Верещагина:

126

Для определения главной нулевой точки строим эпюру w', распола- гая полюс в центре изгиба и беря за начало отсчетов произвольную точку, а именно точку 2 (см. рис. 12.27, б).

Используя эпюру w¢, по формуле (12.89) вычисляем постоянную D, применяя способ Верещагина:

По этим данным на рис. 12.27, в построена эпюра ω. Искомой нуле- вой точкой будет ближайшая к центру изгиба, т. е. М0.

Секториальный момент инерции найдем, умножив эпюру ω саму на

+ 2 × 2 × 20 ×12 × 2 ×90 = 90400 см6.

23

12.9.Общий случай действия сил на тонкостенный стержень

На практике тонкостенные стержни подвергаются воздействию раз- личных внешних нагрузок, вызывающих помимо закручивания другие ви- ды деформации.

В общем случае сложного сопротивления задача решается на основе принципа независимости действия сил путем суммирования результатов, получаемых отдельно для каждого вида деформации.

Формула нормальных напряжений запишется следующим образом:

Первые три слагаемых в правой части этой формулы учитывают на- пряжения, зависящие от продольной силы и изгибающих моментов. Чет- вертое слагаемое определяет нормальные напряжения от бимомента.

128

Полное касательное напряжение в исследуемой точке определяется

где tω и t0 – напряжения, возникающие при стесненном кручении и опре- деляемые по формулам (12.42) и (12.1); t, и t2 – напряжения при попереч- ном изгибе, зависящие от составляющих поперечной силы Qy и QX. Эти на- пряжения определяются по формулам, аналогичным формуле Журавского:

Однако в отличие от нетонкостенных стержней при вычислении Sxотс

часть сечения, расположенная по одну сторону от исследуемой

точки, отсекается плоскостью, не перпендикулярной одной из главных осей oу или oх, а перпендикулярной линии контура сечения, т. е. так, как на рис. 12.14 при выводе формулы tω (12.32).

Напряжения t1 и t2 в рассматриваемом случае не будут параллельны осям oу или oх, как это имело место не в тонкостенном стержне. Эти на- пряжения будут направлены вдоль средней линии каждого элемента сече-

ния (см. рис. 12.14).

Ниже дается пример определения напряжений в тонкостенном стержне, работающем одновременно в условиях стесненного кручения и поперечного изгиба.

Пример. Определить наибольшие нормальные и касательные на- пряжения в сечении стержня у заделки (рис. 12.28, а), если известно, что в

указанном сечении бимомент Bω =17278805 кгс×см2 , изгибно-крутящий момент Mω = 77800 кгс×см, момент чистого кручения М0 = 0; изгибающий момент M x = 800000 кгс×сми поперечная сила Qy = 2000 кгс.

Решение. С учетом заданных размеров сечения и положения центра изгиба А (рис. 12.28, б) построена эпюра главных секториальных коорди- нат w (рис. 12.29) и вычислен секториальный момент инерции Jω = 7024644 см6. По соответствующей эпюре ординат у вычислен момент инерции J x = 82944 см4.

Определение нормальных напряжений. В сечениях стержня, кроме нормальных напряжений sω, связанных со стесненным кручением, возни- кают также и напряжения sИ, связанные с поперечным изгибом стержня относительно оси Ох. В заданном сечении указанные напряжения дости- гают наибольшей величины.

129