scherbo-sp2

Рассмотрим расчет на внецентренное сжатие на конкретном примере.

Пример 1

Короткая чугунная стойка, поперечное сечение которой изображено на рис. 11.1, подвергается сжатию силой, приложенной в точке А. Опреде- лить величину допускаемой нагрузки, если допускаемое напряжение чугу- на на сжатие [σc ] = 140 МПа, а на растяжение [σ р] = 40 МПа.

А

Рис. 11.1

1. Для произвольного сечения необходимо определить положение главных центральных осей и значения осевых моментов инерции относи- тельно главных центральных осей.

а) Определим положение центра тяжести относительно произвольных осей. Так как сжатие имеет одну ось симметрии, то одна координата центра тяжести и положение одной из главных центральных осей известны, т. е. ось симметрии (ось у) является главной центральной и координата zc = 0.

Относительно второй произвольной оси z1 координата центра тяже- сти будет равна

241

2. Определим положение нейтральной оси, для чего определим от- резки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях,

2

zN = - iy ; zF

координаты приложения нагрузки в системе главных центральных осей zF = −4,5 см, уF = −3,3 см;

3. Наиболее опасными точками в сечении являются точки А и В, наи- более удаленные от центральной оси (рис. 11.2).

242

5. Определим величину допускаемой сжимающей нагрузки из усло- вия прочности чугуна при растяжении.

max σ р ≤ [σ p ] ;

6. Окончательно принимаем величину допускаемой сжимающей нагруз- ки F = 51,41 кН, определяемую условием прочности чугуна на растяжение.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1

Короткая стойка, поперечное сечение ко-

ТЕМА 12

Изгиб с растяжением

Цель занятия: изучить методику расчета брусьев на совместное дей- ствие изгиба и растяжения

Напряжения в любой точке поперечного сечения при изгибе с растя- жением определяются по формуле

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях, равны

244

Опасными точками являются точки, наиболее удаленные от ней- тральной оси.

Рассмотрим расчет бруса на изгиб с растяжением на конкретном примере.

Пример 1

Для стальной балки, изображенной на рис. 12.1, а подобрать необхо- димые размеры поперечного сечения (рис. 12.1, б). Нагрузки считать рас- четными. Расчетное сопротивление R = 210 МПа.

а)

в)

г)

д)

е)

Рис. 12.1

245

1. Запишем выражение для внутренних усилий N, Mz, My по участкам балки и определим их значения для характерных сечений.

Участок СВ 0 ≤ х ≤ 3 м

N = 30 кН;

M z = -8 × x; M z = 0;

x = 3 м, M z = -24 кН×м.

M y = -2 x2 = -x2 ; 2

x = 0, M y = 0; x = 3, M y = -9 кН×м.

Участок ВА 0 ≤ х ≤ 3 м

N = 30 кН.

M z = −8(3 + x) − 6x = −24 −14x x = 0, M z = −24 кНм;

x = 2 м, M z = -52 кНм

M y = -3 × 2(1,5 + x) = -9 - 6x;

x = 0, M y = -9 кНм; x = 2 м, M y = -21 кНм

2.Строим эпюры N, Mz и My (рис. 12.1, в, г, д).

3.Анализируем эпюры N, Mz, My и определяем опасное сечение. Та- ким сечением является сечение А у жесткой заделки, где продольная сила и изгибающие моменты имеют максимальные по абсолютной величине зна- чения.

4.Опасную точку в сечении с двумя осями симметрии, которые явля- ются главными центральными осями, и двумя угловыми точками опреде- лить наиболее опасную угловую точку можно и без нахождения положения нейтральной оси. Как видно из рис. 12.1, е, опасной точкой является точка 1,

иусловие прочности по предельным состояниям примет вид

5. Определим необходимые геометрические характеристики попе- речного сечения

A = a × 2a - 0, 4a × a =1,6a2 ;

J z = a(2a)3 - 0, 4a × a3 = 0,6667a4 - 0,333a4 = 0,6333a4. 12 12

246

6. Подставив значения А, Wz, Wy в условие прочности, получим

= 20, 421 кНсм2 = 204, 21 МПа < R = 210 МПа.

Окончательно принимаем размер а = 9 см.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1

Для стержня, изображенного на рис. 12.2, подобрать необходимый диаметр круглого поперечного сечения, если расчетное сопротивление R = 210 МПа. Нагрузки считать расчетными.

Рис. 12.2

Задача 2

Для стержня прямоугольного поперечного сечения с соотношением

сторон h = 2 подобрать необходимые его размеры, если расчетное сопро- b

247

тивление R = 210 МПа. Схема нагружения изображена на рис. 12.3. На-

грузки считать расчетными.

y

10 кН×м

10 кН/мм

80 кН

Рис. 12.3

ТЕМА 13

Изгиб с кручением

Цель занятия: изучить методику расчета брусьев круглого и прямо- угольного поперечных сечений на одновременное действие изгиба и кру- чения.

Расчеты на изгиб с кручением выполняются с использованием тео- рий прочности. Для брусьев с круглым поперечным сечением можно опре- делить эквивалентный момент по одной из теорий прочности.

По третьей теории прочности

M эквIII = M z2 + M y2 + Tк2 .

Условие прочности для брусьев с круглым поперечным сечением определяет опасные точки, для которых находят эквивалентные напряже- ния по одной из теорий прочности и сравнивают их либо с допускаемыми напряжениями, либо с расчетными сопротивлениями.

Рассмотрим расчет на изгиб с кручением на примере.

Пример 1

Для стальной балки, изображенной на рис. 13.1, а, подобрать разме- ры круглого и прямоугольного поперечных сечений (рис. 13.1, б, в). При- нять нагрузки нормативными и допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

248

Рис. 13.1

1. Запишем выражения для внутренних усилий по участкам бруса

249

x = 0, Мz = 0; x = 3 м, Мz = 30 кНм. М y = −2(2 + x) = −4 − 2x;

x = 0, M y = −4 кНм;

x = 3 м, M y = −4 кНм.

2.Строим эпюры Тк, Мz и Му, используя выполненные расчеты (рис. 13.1, г, д, е).

3.Анализируем эпюры Тк, Мz и Му и определяем опасные сечения.

В данном примере опасным сечением является сечение А у жесткой заделки.

4. Определим требуемый диаметр поперечного сечения бруса. Опасными точками будут точки 1 и 2 (рис. 13.1, ж), определяемые

следом плоскости суммарного изгибающего момента.

α = β ≈ 18,5 .

Они равноопасны. Остановимся на точке 1. Суммарный изгибающий момент

Mu = M z2 + M y2 = 302 +102 = 31,623 кНм.

Эквивалентный момент по третьей теории прочности

5. Определим требуемый размер b прямоугольного поперечного се- чения.

Наиболее опасными точками в опасном сечении могут быть точки 1, 2, 3 или 1¢, 2¢, 3¢, которые равноопасны.

Точка 1.

s1 = Мz + M y ;

Wz Wy

250