Добавил:
kane4na@yandex.ru Полоцкий Государственный Университет (ПГУ), город Новополоцк. Что бы не забивать память на компьютере, все файлы буду скидывать сюда. Надеюсь эти файлы помогут вам для сдачи тестов и экзаменов. Учение – свет. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

scherbo-sp2

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
24.01.2023
Размер:
12.06 Mб
Скачать

W =

bh2

 

 

 

 

 

 

=

 

b(1,5b)2

 

 

= 0,375b3; W

y

=

hb2

=

 

1,5b ×b2

 

= 0,25b3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s =

 

3000

 

 

 

 

 

+

1000

 

 

 

 

=

 

12000

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0,375b3

 

 

 

0,25b3

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ = 0. sIII

 

 

 

 

= s =

12000

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1экв

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

2

=

 

Му

 

=

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

=

4000

 

. t

2

 

=

Tk

 

; W = bb3.

 

 

 

 

 

 

 

W

y

 

 

 

 

 

 

 

0, 25b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

h

=1,5 β = 0,346,

 

γ = 0,859.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W = 0,346b3 t

 

=

 

 

 

 

 

3000

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,346b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2IIIэкв =

 

 

 

 

s22 + 4t22 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

17796

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2IIIэкв

=

 

 

 

 

 

 

40002 + 4 ×8670,52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s3 =

M z

 

=

 

 

 

 

 

3000

 

 

 

 

=

8000

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

0,375b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

= gt

 

 

 

 

 

 

 

= gt

 

= 0,859 ×

8670,5

=

7448

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

=

16908

.

 

 

 

sIII

=

 

 

s2

 

 

 

+ 4t2

80002 + 4 ×74482

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3экв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наиболее опасной оказалась точка 2 с s2IIIэкв

=

17796

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

Условие прочности

 

smaxэкв

 

 

£ [s];

17796

£16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 3

17796

 

= 3

 

»10,5 cм ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1112, 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h =1,5b =1,5 ×10,5 =15,75 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельно решить следующие задачи.

Задача 1

В опасном поперечном сечении вала действуют изгибающие момен- ты M z = 25 кНм, М у = 16 кНм и крутящий момент Tк = 15 кНм. Проверить

на прочность:

251

а) стержень с круглым поперечным сечением диаметром d = 120 м ; б) стержень с прямоугольным поперечным сечением b × h =120×180 мм,

нагрузки нормативные, [σ] = 100 МПа.

Задача 2

В опасном сечении вала кольцевого круглого сечения с соотношени-

ем диаметров

d

= 0,8 действует изгибающий момент

Mи = 40 кН×м и

 

 

D

 

крутящий Тк = 50кН×м.

 

Определить требуемые размеры поперечного

сечения, если

[σ] = 80 МПа.

 

ТЕМА 14

Расчет пространственного ломаного бруса

Цель занятия: изучить методику определения внутренних усилий и расчета на прочность пространственных брусьев.

В основе определения внутренних усилий лежит метод сечений с ис- пользованием локальных (местных) систем координат для каждого участ- ка. В общем случае каждый участок ломаного бруса может работать на со- вокупность различных видов деформаций, а для определения размеров по- перечных сечений используются и теории упругости.

Рассмотрим расчет пространственного ломаного стержня на кон- кретном примере. Расчетная схема бруса изображена на рис. 14.1

b

h

2 кН/м

А

 

4 кН

 

4 м

4 кН

 

В

 

2 м

 

d

d

3 кН

 

С

D

2 м

Рис. 14.1

252

На участке АВ брус имеет прямоугольное поперечное сечение с со-

отношением сторон h = 2; на участках ВС, СD круглое поперечное сече- b

ние диаметром d.

Требуется определить размеры поперечных сечений, если расчетное сопротивление материала R = 210 МПа .

1. Запишем аналитические выражения для внутренних усилий по уча- сткам ломаного бруса и определим их значение в характерных сечениях.

Правило знаков такое же, как при расчете на простые виды деформа-

ций.

 

 

y

4 кНx

 

С

 

 

D х

 

В

 

y

4 кН

С х

 

x

D

2 м

Участок DC 0 ≤ x ≤ 2 м

N = 0; Qy = -4 кН; Qz = 0

z

Участок СВ

z

3 кН

Tк = Мх = 0; M y = 0; M z = -4x.

x = 0, M z = 0; x = 2 м, M z = -8 кНм.

0 ≤ x ≤ 2 м

N = 4 кН; Qy = 0; Qz = -3 кН.

Тк = Мх = 0; M z = -4 × 2 = -8 кНм;

M y = -3x.

При x = 0 M y = 0;

при x = 2 м M y = -6 кНм.

Участок ВА

 

y

 

 

 

z

4 кН/м

 

 

 

 

 

 

В

х

 

4 кН

 

 

 

x

м

 

 

2

 

 

 

 

 

4 кН

С

3 кН

 

 

 

D

2 м

 

 

0 ≤ x ≤ 4 м

N = -3 кН; Qy = 4 + 2x;

x = 0, Qy = 4 кН; x = 4 м, Q =12 кН.

Qz = -4 кН.

Тк = Мч = -4 × 2 = -8 кНм.

M y = 4x. При x = 0 M y = 0;

при x = 4 м M y =16 кНм.

M z = -3 × 2 - 4x - 4 x2 = -6 - 4x - 2x2. 2

При x = 0 M z = -6 кНм; при x = 4 м M z = -22 кНм.

253

2. На основании выполненных расчетов строим эпюры внутренних усилий (рис. 14.2).

 

2 кН/м

А

 

4 кН

4 м

 

 

 

 

4 кН

 

D

 

2 м

 

 

 

 

 

 

а)

8

в) Эп Tk (Mx) в кНм

3

д) Эп N (кН)

 

 

 

22

В

м

 

6

 

 

 

2

 

 

16

 

 

 

8

 

 

 

3 кН

 

8

С

 

 

 

 

 

8

б) Эп Mz, My (кНм)

12

4

8

4

4

3

 

 

3

 

4

 

4

г) Эп Qy, Qz (кН)

 

4

 

3

4

Рис. 14.2

3. Определим необходимый диаметр круглого поперечного сечения. На участке DC стержень подвергается прямому поперечному изгибу, а на

участке СВ

изгибу в двух плоскостях и растяжению. Наиболее опасным

сечением для

 

стержней DC и СВ является сеч. В на участке СВ, где

 

M z

 

= 8 кНм,

 

M y

 

=6 кНм и N = 4 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

254

Для брусьев круглого поперечного сечения можно определить сум- марный изгибающий момент

Mи = M z2 + M y2 = 82 + 62 =10 кНм.

Опасная точка при изгибе будет на поверхности бруса, а при растяже- нии напряжение во всех точках поперечного сечения одинаковы и равны

 

s =

N

=

 

4N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

pd 2

 

 

 

Следовательно, и при совместном действии изгиба и растяжения

опасная точка также будет на поверхности сечения.

Условие прочности при растяжении и изгибе бруса круглого попе-

речного сечения можно записать так:

 

 

 

 

 

 

 

smax =

Mи

+

N

=

32Mи

 

+

4N

£ R.

 

 

 

 

 

Wz A

pd 3

 

pd 2

После подстановки значений Mи и N и решения кубического уравне- ния определяется необходимое значение диаметра круглого поперечного сечения. Для облегчения процедуры решения можно пренебречь влиянием продольной силы и подобрать размер d только из условия прочности на из- гиб, несколько округлив его значение в большую сторону, а затем прове- рить условие прочности с учетом продольной силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32Mи

» R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pd 3

 

d = 3

32Mи

=

3

 

32 ×1000

 

= 7,86 см » 8 см=80 мм.

 

 

3,14 × 21

 

pR

 

 

 

 

 

 

s max =

32 ×10 ×100

+

4 × 4

=19,904 + 0,080 =

 

 

3,14 ×83

3,14 ×82

 

=19,984 кН

см

2

=199,84 МПа < R = 210 МПа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно принимаем размер d = 80 мм.

4. Определим размеры прямоугольного поперечного сечения на уча- стке АВ. Наиболее опасным сечением будет сеч. А у жесткой заделки. Этот участок подвержен деформациям растяжения, кручения и изгиба в двух плоскостях.

Эпюры напряжений в этом опасном сечении изображены на рис.

14.3.Наиболее опасными точками в опасном сечении будут точки 1, 2, 3.

Вточке 1 будут максимальные сжимающие напряжения

s(1) = -

M

z

-

M y

-

N

τ(1) = 0.

 

 

 

;

 

 

Wy

 

 

Wz

 

A

 

255

W =

bh2

=

b ×(2b)2

=

2b3

W

 

=

hb2

=

2b ×b2

b3

 

 

 

 

;

y

 

 

 

=

.

z

6

 

6

 

 

 

3

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = b × h = b × 2b = 2b2.

 

 

 

 

 

s(1)

= - 3 × 22 ×100

- 3×16 ×100

-

3

= - 8100

- 1,5 .

 

 

 

2b3

 

 

 

b3

 

 

 

2b2

 

 

 

b3

b2

 

 

 

 

s(1)III экв

= 8100 + 1,5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

Эп σN

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эп σ M z

 

 

 

 

 

γτmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

h

 

 

τmax

 

2

 

 

 

 

 

τmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

γτmax

 

M y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

y

 

 

 

 

Wy

 

Эп σ

M y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wy

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке 2 будут максимальные касательные напряжения и нормаль- ные напряжения от My и N.

s(2)

= -

M y

-

N

= -

3×16 ×100

-

1,5

= -

4800

-

1,5

;

Wy

A

 

b3

 

 

 

b2

b3

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

= tmax

=

Tк

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wк

 

 

 

 

 

 

 

 

Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления кручению Wк определяется по формуле

Wк = ahb2.

При отношении hb = 2 находим значения α = 0, 246 , тогда

Wк = 0,246 × 2b ×b2 = 0,492b3.

256

 

 

t2 =

 

800

 

 

=

1626

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 492b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности в точке 2

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4800

 

1,5

2

 

 

1626

2

s(2)III

экв = s(2)2 + 4t(2)2

=

+

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

b

3

 

 

b

2

 

b

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если пренебречь влиянием продольной силы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

5798

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(2)III

экв

»

48002 + 4 ×16262

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

В точке 3 возникают нормальные напряжения от изгибающего мо-

мента Мz и продольной силы N и касательные от Тк.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(3) = -

M z

 

-

N

= -

 

3× 2200

-

 

 

3

 

 

= -

3300

 

 

-

1,5

;

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

2b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

t(3) = gtmax = 0,79 ×

1626

=

1284,5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности в точке 3

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3300

 

 

 

1,5

 

2

1284,5

2

 

 

s(3)III экв = s(3)2

+ 4t(3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

4

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

b

3

 

 

 

 

b

2

 

 

 

b

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если пренебречь влиянием продольной силы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4182,1

.

 

 

 

 

 

 

 

s(3)III экв »

 

33002 + 4 ×1284,52

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

Сравнивая значения эквивалентных напряжений в точках 1, 2, 3, оп-

ределяем самую опасную точку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самой опасной точкой является точка 1, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sIIIэкв

=

8100

 

+

1,5

 

 

»

8100

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из условия прочности sэквIII

 

 

£ R определим необходимый размер b:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 3

8100

 

» 7,3 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим напряжение с учетом продольной силы

 

 

 

 

 

 

sэквIII =

8100

+

1,5

= 20,822 + 0,028 = 20,85 кН см2

= 208,5 МПа < R = 210 МПа.

 

 

7,33

7,32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прочность обеспечена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно принимаем b = 7,3 см,

h = 146 cм.

 

 

 

 

 

 

257

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельно решить следующие задачи.

Задача 1

Для ломаного пространственного бруса (рис. 14.4) с постоянным круглым поперечным сечением построить эпюры внутренних усилий и оп- ределить необходимый диаметр d поперечного сечения. Нагрузки расчет- ные. R = 210 МПа.

3 м

 

 

 

20 кН

 

 

3 кН

1,5 м

 

 

4 кН

 

 

2 м

 

2 м

2

кН

 

Рис. 14.4

Задача 2

Для ломаного пространственного бруса (рис. 14.5) с постоянным квадратным поперечным сечением построить эпюры внутренних усилий и определить необходимый размер поперечного сечения. Нагрузки расчет- ные. R = 210 МПа.

5 м

2 кН/м

5 кН

2 м

2 м

6 кН

Рис. 14.5

ТЕМА 15

Тонкостенные стержни

Цель занятия: изучить методику определения геометрических характе- ристик поперечных сечений тонкостенных стержней, а также напряжений.

Рассмотрим порядок определения геометрических характеристик и напряжений на конкретных примерах.

258

Пример 1

Для профиля, изображенного на рис. 15.1, а, определить положение центра изгиба, построить эпюру главных секториальных координат и вы- числить величину секториального момента инерции.

Рис. 15.1

Решение. Так как сечение симметрично относительно оси z, то центр тяжести С и центр изгиба А будут лежать на этой оси. Расстояние zC центра

тяжести сечения от средней линии нижней полки равно

 

z =

S y

=

-4 ×0,5 ×8 - 8 ×0, 4 × 4

 

 

= -

28,8

= -3,51

 

0

 

 

 

 

 

 

см.

 

 

 

 

 

 

 

C

F

 

4 ×0,5 + 8 ×0, 4 + 6 ×0,5

 

 

8,2

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения расстояния zА от центра тяжести сечения С до цен-

тра изгиба А воспользуемся формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zA = -

 

Sω y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

J z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

259

где Sω0 y секториально-линейный статический момент сечения относи-

тельно полюса С и главной центральной оси инерции у, а Jz момент инерции сечения относительно главной центральной оси инерции z. При- нимая за начало отсчетов точку O1, строим вспомогательную эпюру секто- риальных площадей w0 (см. рис. 15.1, б).

Секториально-линейный статический момент Sω y определяется из

 

0

выражения

 

Sω y = w0 y dF = w0 ydn dy;

0

 

F

F

интеграл может быть вычислен по способу Верещагина путем умножения площадей эпюры w0 на ординаты эпюры расстояний у (см. рис. 15.1, в), лежащие под центрами тяжести площадей. Для правой половины верхней полки площадь эпюры w0 положительна и равна

F =

1

(h - z ) ×

a

×

 

a

=

 

h zC

a2 ,

 

 

 

 

 

1

2

 

C

2

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а ордината эпюры у под центром тяжести площади F1 положительна и равна

 

 

y =

2

 

×

a

 

=

a

;

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таким образом,

Sω¢ 0 y = a3 (h - zC )dП . 24

Для левой половины верхней полки

F = -

1

(h - z )a2

,

 

 

 

2

8

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а ордината

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

= -

a

,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S¢¢

=

a3

(h - z

)d

 

.

 

П

ω0 y

24

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично этому для правой и левой половин нижней полки находим

S¢¢¢

= S IV

= -

b3

z d

 

.

 

П

ω0 y

ω0 y

24

C

 

 

 

 

 

 

Полная величина секториально-линейного статического момента равна

Sω y = 2(Sω¢

 

y

+ Sω¢¢¢

y ) = δП a3 (h - zC ) - b3 zC

 

=

 

0

 

0

 

0

12

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

5

 

=

 

 

4

×(8 -

3,51) - 6

×

3,51

= -19,62

см

 

.

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

260