scherbo-sp2

динамический прогиб в точке В

Здесь следует обратить особое внимание на то, что во всех случаях бе- рется один и тот же динамический коэффициент. При определении последнего статический прогиб берется в той точке, по которой производится удар.

15.4. Собственные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим собственные колебания системы с одной степенью свобо- ды. Этот вопрос имеет большое значение для изучения динамических ха- рактеристик системы, которые используются в различных расчетах и в осо- бенности при действии вибрационной нагрузки.

Рассмотрим балку с сосредоточенной массой m, прикрепленной в ка- кой-либо точке на расстоянии а от левой опоры (рис. 15.13). Предположим, что мас- са самой балки по сравнению с массой m мала и ею можно пренебречь. Ось изогну- той балки определяется в этом случае вели- чиной отклонения массы, т. е. всего только одним параметром, поэтому такую балку называют системой с одной степенью сво- боды.

Если массу m отклонить от положе- ния равновесия и отпустить, то балка вместе с массой начнет колебаться. Такие колебания называют собственными, или свободными. Вследствие сил сопротивления колебания будут постепенно затухать и через некоторое время балка вновь придет в свое исходное положение.

Для того чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее колебания, рассмотрим движение массы в произвольный момент времени t

(рис. 15.14).

Рис. 15.14

181

Обозначим отклонение массы от первоначального положения через x. На массу действует сила инерции, которая, как известно, равна массе, по- множенной на ускорение, и направлена в сторону, противоположную уско- рению. Учтя, что ускорение определяется как вторая производная от пули, получим силу инерции, равную

пления массы. Величину d11 легко определить любым из методов, опи- санных в М-8.

Подставив в уравнение (а) значение i, получим

В уравнениях (15.8) и (15.9) содержатся две постоянные А и v, которые определяются из начальных условий.

Пусть при t = 0

ξ = ξ0 ,

dξ = V0. dt

182

Тогда из уравнений (15.8) и (15.9) имеем

Asin v = ξ0 ,

Aϕcos v = V0.

Решая эти уравнения, находим:

A = ξ2 + V0 2 ,

0 ϕ

v = arctgϕ ξ0 .

V0

График изменения перемещения во времени показан на рис. 15.15. Наибольшее отклонение в ту или другую сторону будет тогда, когда sin(ϕt + v) принимает значение единицы. Как видно из уравнения (15.8), оно будет равно постоянной А. Таким образом, А представляет собой амплитуду колебаний. Время T, за которое совершается один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Через каждые Т секунд отклонение ξ при- обретает прежнее значение.

Рис. 15.15

Из уравнения (15.6) имеем

ξ = Asin(ϕt + v) = Asin[ϕ(t + T ) + v].

Следовательно,

ϕT = 2π,

откуда число колебаний в 2π секунд равно

ϕ = 2π .

T

В соответствии с обозначениями выражения (15.7) имеем

По формуле (15.10) и определяется теоретическое значение круговой частоты собственных колебаний (числа колебаний в 2π секунд) системы с одной степенью свободы.

183

Если масса m закреплена в середине пролета двухопорной балки, то прогиб δ11 от единичной силы, как известно, определяется равенством

Из этой формулы видно, что частота колебаний увеличивается с уве- личением жесткости балки и уменьшается с увеличением пролета. Она так- же обратно пропорциональна массе m.

Если к балке прикреплено несколько, например п, масс, то система будет иметь n степеней свободы. В этом случае система имеет несколько собственных частот.

Приведенное выше решение является приближенным, так как в нем не учитывались силы сопротивления, например, сопротивления воздуха, силы трения в шарнирах, силы внутреннего сопротивления.

Силы сопротивления воздуха при скоростях колебаний, которые на- блюдаются в балках, невелики и поэтому их можно не учитывать. Силы трения в шарнирах могут быть устранены или сведены до минимума за счет улучшения конструкций шарнирных опор или их смазки.

Основными являются силы внутреннего неупругого сопротивления, которые зависят от материала балки и ряда других факторов. Эти силы уст- ранить невозможно.

По одной из наиболее распространенных гипотез учета затухания, предложенной Фойгтом, материал балки рассматривается как упруговязкое тело, в котором возникающие напряжения σ зависят не только от величины деформации ε, но и от скорости изменения деформации во времени:

Здесь χ для упруго-вязкого тела представляет некоторую константу, назы-

ваемую коэффициентом вязкого трения.

Указанная гипотеза приводит к тому, что эффект сил внутреннего со- противления при колебаниях рассматриваемой балки как системы с одной

степенью свободы заменяется действием внешней силы R = −k dξ (k – ко- dt

эффициент пропорциональности между силой и скоростью), приложенной в точке закрепления массы.

Гипотеза Фойгта удобна с точки зрения математического решения за- дачи, однако, как показали опыты, ее нельзя безоговорочно применять для учета неупругого сопротивления материалов при изучении колебаний упру-

184

гих систем. На этом вопросе остановимся дополнительно в п. 15.4 при рас- смотрении вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

Для составления дифференциальных уравнений собственных колеба- ний системы с одной степенью свободы с учетом неупругих сил сопротив- ления вместо равенства (б) необходимо записать

откуда

Эту величину называют логарифмическим декрементом затухания; он характеризует скорость затухания собственных колебаний.

185

Наряду с теоретическими решениями широко проводятся экспери- ментальные исследования задач на колебания.

Для этой цели применяют самопишущие приборы. Такой прибор, бу- дучи прикрепленным к балке, записывает величины перемещений точки, к которой он прикреплен. График этих перемещений имеет вид, показанный на рис. 15.17. По горизонтальной оси этого графика прибор отмечает чер- точки, по которым можно установить продолжительность колебаний, а сле- довательно, и число колебаний в единицу времени, т. е. частоту колебаний.

ξ

t

Рис. 15.17

Таким образом, частоту собственных колебаний можно установить экспериментально.

Сравнение рис. 15.16 и 15.17 показывает полное совпадение картин затухающих колебаний, полученных теоретически и экспериментально.

15.5. Вынужденные колебания упругой системы

Если на систему действует сила Р (t), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания балки, вызванные действием этой силы, называют вынужденными. После приложения силы инерции балку в от- клоненном состоянии можно рассматривать как находящуюся в равнове- сии (рис. 15.18). Перемещение ξ теперь уже нужно определить от двух сил – i и Р (t):

Рис. 15.18

186

Заменяя силу инерции ее значением и перенося неизвестные в левую часть, после деления всех членов на mδ11 получим

Интеграл этого уравнения состоит из двух частей: решения однородно- го уравнения и частного интеграла, зависящего от вида правой части.

Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила представляет собой вибрационную (периодическую) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой θ,

P(t) = P sin θt.

С учетом последнего равенства дифференциальное уравнение (15.16) примет вид

Интеграл однородного уравнения нам уже известен из решения, полу- ченного в предыдущем пункте. Частный интеграл найдем в следующем виде:

ξ1 = C sin θt.

Подставляя это выражение в уравнение (15.17), определим

Если учесть, что

ϕ2 = 1 ,

mδ11

то получим C = Pδ11 . 1− θ2

ϕ2

Но так как Pδ11 = ξСТ – прогиб от статически приложенной силы Р, то

187

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Величины А и v определяют из начальных условий.

Так как собственные колебания в реальных балках быстро затухают, то рассмотрим только вынужденные колебания, которые происходят с час- тотой θ.

Наибольшее отклонение стержня от своего первоначального поло- жения (т. е. амплитуда вынужденных колебаний) будет найдено, если при-

нять sin θ = 1:

Для исследования значения динамического коэффициента

приведен график на рис. 15.19 абсолютного значения величины μ. Из этого графика видно, что в том случае, когда частота вынужденных колебаний θ приближается к частоте собственных коле- баний ϕ, динамический коэффициент μ без- гранично возрастает (при θ = ϕ μ → ∞). Та-

кое явление называется резонансом.

Если учесть затухание (силы внут- реннего сопротивления), то вместо уравне- ния (15.16) получим следующее дифференциальное уравнение:

Уравнение вынужденных колебаний Рис. 15.19 (15.20) отличается от уравнения собственных колебаний (15.12) не только наличием пра- вой части, но и коэффициентом при первой производной. Вместо величины

2β, введенной в уравнение (15.12), принят коэффициент 2β1.

Как уже говорилось в предыдущем пункте, гипотеза Фойгта не может быть безоговорочно принята при изучении колебаний упругих систем. Ее можно использовать при условии, что величина χ в формуле (15.11) не яв- ляется постоянной, а зависит от частоты колебаний. Результаты теории и опыта будут в большей мере согласованы, если принять, что при собствен-

188

ский декремент затухания.) Этим и объясняется то, что коэффициенты 2β и 2β1 в уравнениях (15.12) и (15.20), учитывающие влияние сил сопротивле- ния, различны.

Подставляя это выражение в уравнение (15.20) и объединяя члены, со- держащие sin θt и cos θt, получим

Это уравнение должно тождественно обращаться в нуль при любых значениях t. Данное условие будет выполняться, если коэффициенты при sinθt и cosθt приравнять нулю. В результате получим два уравнения с двумя неизвестными В1 и B2:

(ϕ2 − θ2 )B1 − 2β1θB2 = Pm; 2β1θB1 + (ϕ2 − θ2 )B2 = 0.

Далее уравнение вынужденных колебаний (15.22) удобно представить

где В и v1 – амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

189

Если учесть, что B sin(θt + v1) = B sin θt cos v1 + B cos θt sin v1, то легко ус-

190