scherbo-sp2

М-18. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ

18.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Понятие о безмоментной и моментной теориях расчета сосудов.

2.Определение напряжений в стенках сосудов по безмоментной теории.

3.Краевой эффект в цилиндрической оболочке.

Цель модуля – изучить методику расчета прочности тонкостенных со- судов по безмоментной теории.

18.1. Понятие о безмоментной и моментной теориях расчета сосудов

Стенки сосудов, испытывающие внутреннее давление воды, пара или газа, находятся в состоянии двустороннего растяжения. К таким сосудам относятся паровые котлы, газгольдеры, нефтебаки, резервуары водонапор- ных башен и т. п.

Одной из особенностей такого рода конструкций является малая тол- щина стенки δ по сравнению с общими габаритами сооружения, что позво- ляет объединить их термином «тонкостенные сосуды». Характерной чертой большинства тонкостенных сосудов является то, что по форме они пред- ставляют собой тела вращения, т. е. их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой S вокруг оси О-О (рис. 18.1, а). Сечение сосу- да плоскостью, содержащей ось О-О, называют меридиональным, а сечение по нормали к меридианам, т. е. к кривым S, – окружным сечением. Пока- занная на рис. 18.1, б нижняя часть стенок сосуда отделена от верхней ок- ружным сечением. Поверхность, которая делит толщину стенок сосуда по-

полам, называется срединной поверхностью.

Рис. 18.1

В общем случае при действии на сосуд какой-либо осесимметричной нагрузки (т. е. такой нагрузки, которая не меняется в окружном направле-

221

нии и может меняться лишь вдоль меридиана) элемент срединной поверх- ности сосуда, выделенный окружными и меридиональными сечениями, рас- тягивается во взаимно перпендикулярных направлениях и, кроме того, ис- кривляется. Двустороннему растяжению элемента соответствует равномер- ное распределение нормальных напряжений по толщине стенок δ. Измене- ние кривизны элемента в плоскости меридионального и окружного сечений вызывает, как и в обычной балке, появление нормальных напряжений, из- меняющихся по толщине стенки по линейному закону. В первом случае по граням элемента действуют нормальные силы, во втором – изгибающие моменты.

Во многих задачах оказывается возможным пренебречь нормальными напряжениями от изгиба, так как преобладающее значение имеют нормаль- ные силы. Это имеет место тогда, когда форма стенок сосуда и нагрузка на него таковы, что возможно равновесие между внешними и внутренними си- лами без появления изгибающих моментов. Так, нить, провисшая под дейст- вием равномерно распределенной нагрузки, будет испытывать только растя- жение. Однако нить, искривленная по той же форме, уже не сможет уравно- весить сосредоточенную силу. Для этого в ее сечениях либо должны поя- виться изгибающие моменты, либо она должна изменить свою форму.

Точно так же тонкие стенки сферического сосуда уравновешивают внутреннее давление газа, работая только на растяжение, а при действии сосредоточенной силы они будут интенсивно работать на изгиб. На величи- ну изгибающих моментов существенное влияние оказывают также условия закрепления стенок сосуда и их относительная толщина, с возрастанием ко- торой возрастает и роль изгибающих моментов.

Напряженное состояние стенок сосуда, когда изгибающие моменты пренебрежимо малы, называют безмоментным. Если напряжения в сосуде определяются с учетом только нормальных сил, а изгибающими моментами пренебрегают, то говорят, что расчет производится по безмоментной тео- рии. Теорию расчета с учетом изгибающих моментов называют моментной теорией.

Тонкостенные сосуды представляют частный случай обширного клас- са систем, называемых оболочками, теория расчета которых обширна и дос- таточно сложна (в особенности моментная теория). Она изучается в специ- альных разделах строительной механики. При значительной толщине обо- лочки приходится не только учитывать изгибающие моменты, но и отка- заться от линейного закона распределения нормальных напряжений по толщине оболочки. Это еще более усложняет задачу, которая решается тео- рией толстостенных оболочек (сосудов).

Здесь рассматривается безмоментная теория тонкостенных сосудов для случаев, когда задача определения напряжений, действующих в мери- диональном и окружном сечениях, оказывается статически определимой. С

222

элементами моментной теории мы познакомимся на простейшей задаче об изгибе цилиндрической оболочки.

18.2. Определение напряжений в стенках сосудов по безмоментной теории

Рассмотрим тонкостенный осесимметричный сосуд, находящийся под действием веса жидкости или давления газа (см. рис. 18.1). Двумя меридио- нальными и двумя окружными сечениями выделим из стенки сосуда беско- нечно малый элемент и рассмотрим его равновесие (рис. 18.2). Благодаря сим- метрии две части сосуда, разделяемые окружным или меридиональным сече- ниями, не имеют стремления к относительному сдвигу, поэтому в указанных сечениях касательные напряжения отсутствуют. Следовательно, на выделен- ный элемент будут действовать только главные нормальные напряжения, ко- торые обозначим так: σm – меридиональное напряжение (оно действует на площадках окружного сечения) и σt – окружное напряжение.

Рис. 18.2

В соответствии с безмоментной теорией будем считать, что напря- жения σm и σt по площади граней элемента распределены равномерно. Кроме того, все размеры сосуда будем относить к срединной поверхности его стенок.

Срединная поверхность сосуда представляет собой поверхность двоя- кой кривизны. Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой точке обо- значим ρm, другой радиус кривизны равен отрезку нормали к поверхности, заключенному между рассматриваемой точкой срединной поверхности и осью О-О (см. рис. 18.1, б), обозначим его ρt.

По граням элемента действуют силы σmδdSt и σtδdSm. На внутреннюю поверхность выделенного элемента действует давление жидкости р, кото- рое дает равнодействующую pdStdSm. Спроектируем указанные силы на нормаль п-п к поверхности:

223

Здесь первое слагаемое написано на основании рис. 18.3, где изображена проекция элемента на меридиональную плоскость. Второе слагаемое пи- шется по аналогии. Заменяя в уравнении (а) синус его аргументом ввиду малости угла и разделив все на δdStdSm, получим

Рис. 18.3

Соотношение (18.1) называют уравнением Лапласа, полученным в на- чале прошлого века при изучении поверхностного натяжения в жидкостях. Здесь уместно обратить внимание на аналогию между тонкой пленкой жид- кости, испытывающей поверхностное натяжение, и стенками сосуда. Ана- логия состоит в том, что как пленка, так и стенки сосуда, испытывая растя- жение, удерживают в равновесии некоторый объем жидкости с определен- ной формой поверхности. Так, капля жидкости, лежащая на несмачиваемой поверхности, не растекается только благодаря силам поверхностного натя- жения. Отметим, что указанный пример подсказал конструкторам капле-

видную форму резервуаров, применяемых для хранения нефтепродуктов и имеющих ряд преимуществ по сравнению с другими резер- вуарами (рис. 18.4).

В уравнение входят два неизвестных на- пряжения σt и σm. Однако напряжение σm можно определить из другого уравнения, по-

Рис. 18.4 сле чего уравнение Лапласа используют для

224

нахождения σt. Для определения σm составим сумму проекций на ось О-О сил, действующих на отсеченный объем сосуда (см. рис. 18.1, б). Площадь окружного сечения стенок сосуда можно подсчитать по формуле 2πRδ. По этой площади благодаря симметрии системы относительно оси O-O напря- жения σm распределены равномерно. Следовательно,

единицы объема жидкости.

Иногда жидкость хранится в сосуде под некоторым избыточным в сравнении с атмо- сферным давлением q. В этом случае p = γh + q.

Уравнение (18.1) и формула (18.2) позво- ляют найти оба напряжения σm и σt, в каждой точке стенок сосуда. Рассмотрим конкретные примеры.

Сферический сосуд под действием равно- мерного внутреннего давления газа q (рис. 18.5).

Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебрегаем. Благодаря симметричности сосу-

да напряжения σm и σt одинаковы во всех его точках. (18.1) σt = σm = σ, ρt = ρm = R, а р = q, найдем

σ = qR . 2δ

Цилиндрический котел под действием равномерного внутреннего дав- ления газа или пара р = q (рис. 18.6).

Рис. 18.6

225

Меридианами в цилиндрической части котла являются образующие, для которых рm = ∞. Поэтому из уравнения (18.1) найдем окружное напря- жение, положив рt = R, а р = q:

По формуле (18.2) найдем меридиональное напряжение, полагая

Сравнение выражений (18.4) и (18.5) показывает, что напряжения, растягивающие стенки котла по окружности, в два раза больше напряже- ний, действующих вдоль образующих.

В сферических днищах котла напряжения можно определять по фор- муле (18.3), приняв в качестве радиуса величину R1.

Из условия равновесия полукольца, полученного путем разреза ребра жесткости по диаметру, легко установить, что в ребре возникает сжимаю- щая сила N = qR, если приближенно не учитывать совместной работы ребра и оболочки.

Однако постановка ребер жесткости полностью не устраняет изгиба стенок сосуда, так как ребро жесткости стесняет расширение колец оболоч- ки, примыкающих к ребру. В результате образующие оболочки вблизи кольца жесткости искривляются. Явление это носит название краевого эф- фекта. Он может привести к значительному местному возрастанию напря- жений в стенках сосуда. Общая теория краевого эффекта рассматривается в специальных курсах с помощью моментной теории расчета оболочек. Ниже рассмотрена простейшая задача об учете краевого эффекта в цилиндриче- ской трубе.

Цилиндрический резервуар с коническим днищем под действием веса жидкости (рис. 18.7). Весом стенок резервуара пренебрегаем.

Радиус кривизны меридианов (образующих) ρm = ∞. Поэтому из урав- нения (18.1) найдем

Подставляя выражения (в) и (г) в формулу (б), получим окружные напряже- ния для конической части:

226

Рис. 18.7

Эпюра σt показана на рис. 18.7 слева. Для конической части эта эпюра параболическая. Ее математический максимум имеет место в середине об- щей высоты при y = 0,5(H + h). При H > h он имеет условное значение, при

Н ≤ h попадает в пределы конической части и имеет реальное значение

попадет в пределы конической части и равен

227

В местах, где поверхность сосуда имеет резкий излом, как, например, в месте соединения цилиндрической и конической (рис. 18.7) или сферической (см. рис. 18.6) частей, радиальная составляющая меридиональных напряже- ний σmsinα не уравновешена, что показано на рис 18.8. Эта составляющая по периметру кольца создает радиальную нагрузку q = δσm sin α, стремящуюся согнуть кромки цилиндрической оболочки внутрь (рис. 18.9, а). Для устране- ния этого изгиба ставится ребро жесткости в виде уголка или швеллера, опоясывающего сосуд в месте перелома. Это ребро помогает воспринять ра- диальную нагрузку q, что показано на рис. 18.9, б.

Из условия равновесия полукольца, полученного путем разреза ребра жесткости по диаметру, легко установить, что в ребре возникает сжимаю- щая сила N = qR, если приближенно не учитывать совместной работы ребра и оболочки.

Однако постановка ребер жесткости полностью не устраняет изгиба стенок сосуда, так как ребро жесткости стесняет расширение колец оболоч- ки, примыкающих к ребру. В результате образующие оболочки вблизи кольца жесткости искривляются. Явление это носит название краевого эф- фекта. Он может привести к значительному местному возрастанию напря- жений в стенках сосуда. Общая теория краевого эффекта рассматривается в специальных курсах с помощью моментной теории расчета оболочек. Ниже рассмотрена простейшая задача об учете краевого эффекта в цилиндриче- ской трубе.

228

18.3. Краевой эффект в цилиндрической оболочке

Как пример цилиндрической оболочки, на рис. 18.10 показана длин- ная труба с тонкими стенками, находящаяся под внутренним давлением q. Части трубы соединены с помощью фланцев. Если бы фланцев не было, то на всей длине трубы из-за давления q ее диаметр равномерно увеличился бы на некоторую величину. Будем считать фланец настолько жестким, что уве- личением его диаметра можно пренебречь и что диаметр трубы у фланца остается неизменным. Но очевидно, что вдали от него расширение трубы будет иметь место. Вследствие этого на некотором участке вблизи фланца стенки трубы получат искривление, как это показано на рис. 18.10. Иссле- дуем этот изгиб стенок (краевой эффект), предполагая вначале, что про- дольные усилия в поперечных сечениях трубы отсутствуют.

Рис. 18.10

Средний радиус трубы до деформации обозначим R, а толщину стенок – δ. Продольными сечениями выделим из стенок трубы полоску малой шири- ны s. На рис. 18.11 показана такая полоска с основными действующими на нее силами. Как до деформации, так и после деформации труба представляет тело вращения, поэтому все полоски, подобные показанной на рис. 18.11, на- ходятся в одинаковых условиях. В дальнейшем будем считать s = 1. Полоска представляет собой балку, заделанную в сечении у фланца, прогибами ее являются приращения радиусов трубы, обозначаемые через v.

Рис. 18.11

229