scherbo-sp2
.pdf
F
A A
1 2 3
ρ3 =rВ = F
ρ2 = r0 =
ρ1= rН
h
ρ1= rН
= |
= |
В |
Н |
D |
D |
b = |
1 |
y |
|
|
1 |
y1= z0 2
y0=2
z |
Сечение А-А |
|
y3= |
||
|
||
y2= ρ3 =rВ = |
|
.ц .к
r =
ρ2 = r0 =
Рис. 3
При вычислении напряжений продольная сила в выражение (8) под- ставляется с учетом знака, т. е. знак нормальных напряжений от продоль- ной силы совпадает со знаком продольной силы.
При наличии в поперечном сечении кривого бруса изгибающего мо- мента и продольной силы полные нормальные напряжения равны сумме напряжений от продольной силы и изгибающего момента:
σ = σN + σM .
Так для бруса большой кривизны полные нормальные напряжения равны
s = |
N |
± |
M × y |
. |
(9) |
|
|
||||
|
A Sz ×r |
|
|||
341
b |
1 |
y |
|
|
1 |
σТ = N
σT = 1M
σT = 1
h |
|
|
|
ρ1=rН= |
|
|
|
y1= |
y3= |
|
|
y2= |
|
ρ3=rB= |
|
z0 |
z |
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
r |
ц.к. |
y0 |
|
|
|
|
|
r0=ρ2 |
|
|
|
ТN= |
Эпюра σТN |
|
|
σ |
|
|
|
= |
|
= |
|
3M |
|
|
T |
|
|
M |
|
σ |
|
T 2 |
|
|
|
σ |
|
|
Эпюра σТM |
|
|
= |
|
|
|
3 |
|
|
|
σT |
|
= |
|
|
Эпюра σТ |
T 2 |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
= |
|
σ3оп
= |
2оп= |
оп 1 |
σ |
σ |
|
Рис. 4
Эпюра σоп
При необходимости касательные напряжения, вызываемые попереч- ной силой, можно вычислить по формуле, полученной для прямого бруса,
t = |
Q × Szот |
|
||
|
0 |
, |
(10) |
|
|
|
|||
|
I z |
×b |
|
|
|
|
0 |
|
|
где Q – поперечная сила в поперечном сечении кривого бруса;
342
S zот – статический момент отсеченной части поперечного сечения
0
кривого бруса относительно центральной оси z0 («отсеченная часть» – это часть поперечного сечения, отсекаемая линией, параллельной оси z0 и про- ходящей через точку, в которой вычисляются касательные напряжения);
I z0 – момент инерции всего поперечного сечения кривого бруса отно-
сительно центральной оси z0 (см. рис. 1, б), перпендикулярной силовой плоскости;
b – толщина поперечного сечения кривого бруса на уровне точки, в которой вычисляются касательные напряжения.
3.Постановка и порядок проведения лабораторной работы
Вработе используется брус, представляющий собой разрезанное кольцо, с постоянным по длине прямоугольным поперечным сечением.
Для исследования нормальных напряжений по сечению А-А (рис. 3) наклеены проволочные тензодатчики, которые подключаются к измерите- лю деформации ИДЦ-1.
Лабораторная работа проводится в следующем порядке:
а) брус закрепляется в захватах испытательной машины УММ-5; б) подключаются тензодатчики к измерителю деформации ИДЦ-1;
в) записываются в табл. 1 показания измерителя деформаций, соот- ветствующие трем тензодатчикам при отсутствии нагрузки;
г) производятся нагружения бруса и записываются последовательно показания измерителя деформаций для трех тензодатчиков в табл. 1;
д) брус разгружается;
е) измеряются штангенциркулем ширина «h» и толщина «b» попе- речного сечения бруса;
ж) измеряются внутренний «Dв» и наружный «Dн» диаметры бруса. Примечание. При снятии показаний с измерителя деформации ИДЦ-1
(см. пункты «в», «г») считываемые со шкалы цифры нужно умножить на 10.
4.Обработка результатов наблюдений
1.Определение опытных величин нормальных напряжений в точках
1-3 поперечного сечения бруса А-А (на ступень приращения нагрузки F). а) Для вычисления опытных напряжений необходимо вначале обра- ботать данные, занесенные в табл. 1 при проведении нагружения бруса и
снятия показаний с измерителя деформации ИДЦ-1.
343
При заполнении табл. 1 в графу заносятся величины прикладывае- мых к брусу нагрузок, в графы 3, 7, 11 – показания измерителя деформа- ции ИДЦ-1 для тензодатчиков 1, 2, 3 при этих нагрузках.
При обработке граф 2, 4, 8, 12 производят вычитания предыдущих величин (занесенных в графы 1, 3, 7, 11) из последующих.
При обработке граф 5, 9, 13 вычисляют средние приращения показа- ний измерителя деформации для тензодатчиков 1, 2, 3 на ступень прира- щения нагрузки F.
б) Вычисляем опытные величины нормальных напряжений в точках 1-3 сечения А-А (на ступень приращения нагрузки F):
s1оп = DП1ср ×s0 ; sоп2 = DП2ср ×s0 ; s3оп = DП3ср ×s0.
где DП1ср, DП2ср, DП3ср – средние приращения показаний измерителя де-
формаций для тензодатчиков 1, 2, 3 на ступень приращения нагрузки F; σ0 = 0, 2 МПа – тарировочный коэффициент нормальных напряжений.
в) Строим эпюру опытных нормальных напряжений для сечения А-А (рис. 4, эпюра σоп).
2. Определение теоретических величин напряжений в точках 1-3 по- перечного сечения бруса А-А (на ступень приращения нагрузки F).
а) Проверяем условие 3 и устанавливаем, к какой категории брусьев относится исследуемый в лабораторной работе (к брусьям большой или малой кривизны).
б) Вычисляем площадь поперечного сечения
A = b × h,
где b, h – размеры поперечного сечения бруса (см. рис. 3). |
||||||||||||||||||
в) Определяем радиус кривизны оси бруса (см. рис. 3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
= |
Db |
+ |
h |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) Определяем радиусы наружных и внутренних волокон бруса (см. |
||||||||||||||||||
рис. 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
1 |
D ; |
|
r = |
1 |
D . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
н |
2 |
|
н |
|
в |
2 |
|
в |
||||||||
д) Определяем радиусы кривизны волокон, на которых расположены |
||||||||||||||||||
тензодатчики (см. рис. 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
1 |
D ; ρ |
|
|
= r ; r = |
1 |
D . |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
н |
|
2 |
|
0 |
3 |
|
2 в |
||||||||
344
е) Определяем радиус кривизны (рис. 3) нейтрального слоя (от дей- ствия изгибающего момента)
|
|
r = |
h |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ln |
r |
|||
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
rв |
||||
|
|
|
|
||||
где |
h – |
ширина поперечного сечения бруса. |
|||||
|
ж) Определяем положение нейтральной оси z |
||||||
|
|
y0 = r0 - r, |
|||||
где |
у0 |
– расстояние, на которое нейтральная ось поперечного сечения |
|||||
смещена от центра тяжести сечения (ось z0 – центральная ось) в сторону центра кривизны (ц. к.) сечения (рис. 3).
Примечание. Следует иметь в виду, что ось z (рис. 3) является ней- тральной осью поперечного сечения кривого бруса при учете только изги- бающего момента.
з) Вычисляем статический момент поперечного сечения относитель- но нейтральной оси z:
|
|
|
|
|
|
Sz |
= A × y0 , |
|
|
|
|
|
||||
где |
А – площадь поперечного сечения бруса. |
|
||||||||||||||
|
и) Определяем ординаты точек относительно нейтральной оси (см. рис. 3) |
|||||||||||||||
|
y = |
y |
+ y |
|
; |
y |
|
= y |
|
; |
y |
|
= - |
h |
- y |
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
2 |
0 |
|||
|
к) Определяем внутренние усилия в поперечном сечении А-А криво- |
|||||||||||||||
го бруса (на ступень приращения нагрузки |
|
F): |
|
|||||||||||||
|
|
M = DF × r0 ; |
N = F; Q = 0, |
|
||||||||||||
где |
F – ступень приращения нагрузки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
л) Определяем теоретические значения нормальных напряжений в |
|||||||||||||||
точках 1-3 сечения А-А от изгибающего момента (на ступень приращения
нагрузки |
F): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sT = - |
M × y1 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1M |
Sz ×r1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sT2M |
= - |
M × y2 |
; |
sT3M = - |
M × y3 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Sz ×r2 |
|
|
Sz ×r3 |
||
где М – |
изгибающий момент в сечении А-А. |
|||||||
н) Определяем полные нормальные напряжения в точках 1-3 сечения А-А от действия продольной силы и изгибающего момента (на ступень приращения нагрузки F):
σ T1= σTN + σ1TM ; σ T2 = σTN + σT2M = 0;
345
s T3 = sTN + sT3M .
Примечание. Учитывая, что полное выражение напряжений для точ- ки 2 имеет вид
|
sT2 = |
N |
- |
M × y2 |
, |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
F |
Sz ×r2 |
|||||
где |
N = |
F; M = DF × r0 ; |
|||||||
|
y2 = y0 ; Sz = A × y0 ; r2 = r0 , |
||||||||
получим |
= DF - |
DF × r0 × y0 |
= DF - DF = 0. |
||||||
sT2 |
|||||||||
|
|||||||||
|
A |
A × y0 × r0 |
|
A A |
|||||
Из того, что полные нормальные напряжения в точках, расположен- ных на уровне 2-2 (рис. 4) равны нулю (а эти точки находятся на централь- ной оси z0), следует, что при наличии в поперечном сечении наряду с изги- бающим моментом и продольной силы, нейтральной осью является цен- тральная ось (при наличии только изгибающего момента нейтральной осью является ось z).
о) Сравниваем нормальные напряжения, полученные опытным пу- тем, и вычисленные теоретически
|
|
Ds = |
s1Т - s1оп |
100 %; |
Ds |
3 |
= |
sТ3 - s3оп |
100 %; |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
s1Т |
|
|
|
sТ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где sоп |
, sоп |
– опытные напряжения в точках 1-3 сечения А-А; |
|||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s1Т , sТ3 – полные теоретические напряжения (от изгибающего момента и продольной силы) в точках 1-3 сечения А-А.
Примечание. Отрицательные напряжения необходимо подставлять в эти выражения без учета знака (по модулю).
п) Строим эпюры (рис. 4) теоретических нормальных напряжений для сечения А-А от продольной силы (эпюра sTN ), от изгибающего момен-
та (эпюра sTH ), от совместного действия продольной силы и изгибающего момента (эпюра σТ).
При построении эпюры напряжений от изгибающего момента (эпюра sTH ) следует обратить внимание на то, что напряжения на оси z равны ну-
лю, т. к. при наличии в поперечном сечении кривого бруса только изги- бающего момента ось z является нейтральной, а на эпюре суммарных на- пряжений (эпюра σТ) равны нулю напряжения на оси z0, т. к. при наличии в поперечном сечении кривого бруса изгибающего момента и продольной силы нейтральной осью является ось z0.
346
5. Анализ полученных результатов
а) Обратить внимание на очертание эпюр опытных (σоп) и теоретиче- ских (σТ) напряжений (см. рис. 4) и сделать заключение о характере рас- пределения нормальных напряжений по поперечному сечению кривого бруса большой кривизны.
б) Сравнить значения нормальных напряжений, определенных экс- периментально (σоп) и вычисленных по теоретическим формулам (σТ), и дать заключение о соответствии расчетной формулы (9) для вычисления нормальных напряжений в кривом брусе большой кривизны.
6.Контрольные вопросы
1.Какие внутренние усилия могут возникать в поперечном сечении плоского кривого бруса?
2.Чему равны изгибающий момент, продольная и поперечная силы в поперечном сечении кривого бруса?
3.Каково правило знаков изгибающего момента, продольной и попе- речной силы в кривом брусе?
4.Какие брусья относятся к брусьям большой и малой кривизны?
5.Как определяются нормальные напряжения от изгибающего мо- мента в брусьях малой и большой кривизны?
6.Как вычисляются нормальные напряжения от продольной силы в кривом брусе?
7.Как вычисляются полные нормальные напряжения от совместного действия продольной силы и изгибающего момента в брусе большой кри- визны?
8.Как определяется радиус кривизны нейтрального слоя и положе- ние нейтральной оси в кривом брусе от действия изгибающего момента?
9.Можно ли пользоваться формулами (4) и (7) при наличии в попе- речном сечении кривого бруса, кроме изгибающего момента, продольной и поперечной сил?
10.При наличии каких внутренних усилий нейтральной осью явля- ется ось z или ось z0 (рис. 1, б)?
11.Как определяются касательные напряжения в поперечном сече- нии кривого бруса?
12.Как определяются опытные величины нормальных напряжений в поперечном сечении кривого бруса?
13.Какова цель лабораторной работы?
Примечание. Ответы на все контрольные вопросы можно найти в на- стоящих методических указаниях к лабораторной работе.
347
Отчет о лабораторной работе студент должен оформить в следую- щем виде.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Исследование напряжений в кривом брусе
1.Цель работы.
2.Используемые приборы и оборудование:
– кривой брус СМ-13Б;
– измеритель деформации ИДЦ-1;
– разрывная машина УММ-5.
3.Размеры бруса:
– |
наружный диаметр |
Dн = |
|
мм; |
– |
внутренний диаметр |
Dв = |
|
мм; |
– |
ширина поперечного сечения |
h = |
мм; |
|
– |
толщина поперечного сечения |
b = |
мм. |
|
4. Вычисляем опытные напряжения в точках 1-3 сечения А-А (запол-
нить табл. 1): |
|
|
|
σоп |
= |
|
МПа; |
1 |
|
|
|
σоп |
= |
|
МПа; |
2 |
|
|
|
σоп |
= |
|
МПа. |
3 |
|
|
|
5. Вычисляем теоретические напряжения в точках 1-3 сечения А-А. |
|||
а) проверяем условие |
|
|
|
|
|
r0 |
> 5. |
|
|
h |
|
|
|
|
|
Исследуемый брус относится к брусьям большой (или малой кривизны). |
|||
б) площадь поперечного сечения |
|||
A = |
мм2. |
||
в) радиус кривизны оси бруса |
|
||
r0 = |
мм. |
||
г) радиусы кривизны волокон, на которых расположены тензодатчики: |
|||
ρ1 = |
мм; |
||
ρ2 = |
мм; |
||
ρ3 = |
мм. |
||
е) радиус кривизны нейтрального слоя (от действия изгибающего |
|||
момента) |
|
|
мм. |
r = |
|||
ж) расстояние, на которое нейтральная ось смещается от центра тя- жести поперечного сечения в сторону центра кривизны (от действия изги- бающего момента)
348
y0 = |
мм. |
||
з) статический момент поперечного сечения бруса относительно ней- |
|||
тральной оси z. |
|
|
|
S |
z |
= |
мм3. |
|
|
|
|
и) ординаты точек относительно оси z: |
|||
y1 = |
мм; |
||
y2 = |
мм; |
||
y3 = |
мм. |
||
к) внутренние усилия в поперечном сечении А-А кривого бруса: |
|||
N = |
H; |
||
M = |
H×мм; |
||
Q = |
Н. |
||
л) теоретические значения нормальных напряжений в точках 1-3 се- |
|||
чения А-А от продольной силы |
|
|
|
σTN = |
МПа. |
||
м) теоретические значения нормальных напряжений в точках 1-3 се- |
|||
чения А-А от изгибающего момента: |
|
||
σT |
= |
МПа; |
|
1M |
|
|
|
σT2M = |
МПа; |
||
σT3M = |
МПа. |
||
Примечание. При вычислении напряжений (пункты л, м) необходимо |
|||
подставлять все величины в миллиметрах (мм) и ньютонах (Н). |
|||
н) полные нормальные напряжения в точках 1-3 сечения А-А от со- |
|||
вместного действия продольной силы и изгибающего момента: |
|||
σT |
= |
|
МПа; |
1 |
|
|
|
σT2 = |
|
МПа; |
|
σT3 |
= |
МПа. |
|
о) сравнить нормальные напряжения, полученные опытным путем и |
|||
вычисленные теоретически: |
|
|
|
Δσ1 = |
%; |
||
Δσ3 = |
%. |
||
п) привести чертежи (рис. 3, 4): схему бруса с расположением тензо- |
|||
датчиков и необходимыми размерами; схему поперечного сечения А-А с
осями |
y, z0, z и необходимыми размерами; эпюры теоретических |
|
( σT |
,σT |
, σ ) и опытных (σоп) напряжений. |
N |
M |
T |
6. Выводы (в соответствии с анализом полученных результатов).
349
Таблица 1
F, |
F, |
|
Тензодатчик 1 |
|
Тензодатчик 2 |
|
Тензодатчик 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
σ оп1 , |
|
|
|
|
σ оп2 , |
|
|
|
|
σ оп2 , |
||
H |
H |
П1 |
П1 |
П |
ср |
П2 |
П2 |
П |
ср |
П3 |
П3 |
П |
ср |
|||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
МПа |
|
|
|
МПа |
|
|
|
МПа |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15
Исследование продольного изгиба в упругой стадии
1. Цель работы
Экспериментальное и аналитическое определение критической силы.
2. Краткие теоретические сведения
Если к стержню приложена осевая сжимающая сила, то при некото- рых значениях этой силы существует лишь прямолинейная форма равнове- сия стержня. По достижении нагрузкой некоторой величины наряду с пря- молинейной формой равновесия возникает и криволинейная. Наименьшее значение нагрузки, при которой возникает криволинейная форма равнове- сия, называется критической силой.
Критическую силу можно определить по формуле Эйлера:
|
|
F = |
π2 |
ЕJ |
min , |
(1) |
|
|
|
|
|||
|
|
кр |
(μl)2 |
|
||
|
|
|
|
|||
где Jmin – |
момент инерции относительно главной центральной минималь- |
|||||
ной оси; |
|
|
|
|
|
|
Е |
– |
модуль продольной упругости; |
|
|
||
l |
– |
длина стержня; |
|
|
|
|
μ |
– |
коэффициент приведения длины. |
|
|||
Коэффициент μ зависит от способа закрепления концов стержня (см. модуль М-7).
350