scherbo-sp2

Интегрируя его первый раз, получим

Это выражение определяет закон изменения углов поворота каса- тельной по длине балки.

После повторного интегрирования находим уравнение оси изогнуто- го бруса

Для вычисления интегралов, входящих в выражения (а) и (б), необ- ходимо сначала написать аналитические выражения изгибающего момента и жесткости. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления бруса.

Для уяснения сказанного рассмотрим примеры.

1. Составим выражение прогиба и угла поворота в произвольном се- чении консольной балки, загруженной силой Р (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Рассматривая равновесие правой отсеченной части, найдем

M = −P(l − z).

Знак минус взят потому, что нижние волокна балки сжаты. Так как ось оy направлена кверху, то в правой части дифференциального уравне- ния (8.5) надо взять знак плюс:

d 2v = M . dz2 EJ

Для нашего случая имеем

d 2v = − P(l − z) . dz2 EJ

Предположим, что жесткость балки постоянна. Интегрируя один раз, получим

11

Интегрируя еще раз, имеем

Из уравнения (а) видно, что постоянная С представляет собой угол поворота в начале координат. Положив z = 0 , находим С = 0.

Из уравнения (г) следует, что постоянная D – это прогиб в начале ко- ординат. Положив в уравнении (г) z = 0 , получаем D = 0.

Итак, имеем:

l

3EJ

Угол поворота на конце балки

ϕl = − Pt 2 . 2EJ

Знак минус у прогиба свидетельствует о том, что его направление не совпадает с положительным направлением оси y, минус в выражении угла поворота показывает, что касательная не проходит в положительной чет- верти оси координат.

2. Определим прогибы двухопорной балки постоянного сечения, показанной на рис. 8.7.

Рис. 8.7

12

Так как ось y направлена вниз, то в дифференциальном уравнении необходимо взять знак минус:

Для определения двух постоянных С и D необходимо иметь два ус- ловия. В рассматриваемом случае на левом и на правом концах прогиб ра- вен нулю. Таким образом, граничные условия равны: при z = 0 v = 0;

при z = l v = 0.

Подставляя в уравнение (е) z = 0 и приравнивая прогиб нулю, полу- чим D = 0; подставляя в это же уравнение z = l и также приравняв прогиб нулю, имеем

−ql 4 + ql4 + Cl = 0. 12 24

Следовательно,

C = ql3 . 24

Найденные значения постоянных подставим в уравнения (д) и (е) и получим уравнения прогибов и углов поворота:

EJv = ql3 z − ql z3 + qz4 . 24 12 24

Давая теперь абсциссе z определенные значения, получим численные величины прогибов и углов поворота в определенных сечениях балки. Та-

13

ким образом, можно вычислить прогиб и поворот сечения в середине про- лета, в четверти пролета и т. п.

Если в точке, где прогиб наибольший, функция прогибов имеет мак- симум, то для нахождения этой точки необходимо приравнять нулю пер- вую производную от v, т. е. выражение для угла поворота. В данной зада- че наибольший прогиб определяют из условия симметрии. Он находится посередине пролета. Положив z = l/2, получим

vmax = 5 ql 4 .

384 EJ

Если на различных участках балки момент (или жесткость) имеет раз- ные законы изменения, то необходимо составить несколько дифферен- циальных уравнений, каждое из которых отвечает своему участку. В соот- ветствии с этим число произвольных постоянных равно удвоенному числу участков интегрирования. Для определения постоянных всегда можно уста- новить условия на границах каждого участка (граничные условия). Так, на- пример, из условий непрерывности и гладкости оси изогнутого бруса выте- кает, что на левом конце какого-либо участка прогиб и угол поворота будут такими же, как на правом конце предшествующего участка.

Граничные условия приведут к системе уравнений, число которых соответствует числу постоянных. Совместное решение уравнений позво- лит найти постоянные и получить для каждого участка уравнение проги- бов и углов поворота. Однако необходимость решения совместных урав- нений очень сильно усложняет задачу, поэтому непосредственное интег- рирование применяют только в тех случаях, когда число участков невели- ко (один-два).

8.4. Метод начальных параметров

Задача определения прогибов может быть значительно упрощена, если применять так называемое универсальное уравнение оси изогнутого бруса или, как часто говорят, универсальное уравнение упругой линии. Вы-

вод универсального уравнения основан на так называемом методе началь- ных параметров, который широко применяют в строительной механике. По этому методу прогиб в любом сечении балки определяется через пе- ремещения и силовые факторы, взятые в начале координат с учетом при- ложенной к балке нагрузки.

Представим себе, что на брус действует произвольная система на- грузок, показанная на рис. 8.8, а.

14

Интенсивность нагрузки и сосре- доточенные силы считают положи- тельными, если их направление совпа- дает с направлением оси оу, которую направим верх. Внешние сосредото- ченные моменты будут положительны, если они действуют по ходу часовой стрелки. Начало координат совместим с центром тяжести сечения на левом конце балки. Жесткость балки считают постоянной по всей ее длине.

Разобьем балку на ряд участков таким образом, чтобы на протяжении каждого участка изгибающий момент выражался с помощью непрерывной функции:

M I = M I (z);

M II = M II (z);

. . . . . . . . . . . . .

(Для упрощения записи в дальней- шем индексы у функций моментов и поперечных сил ставить не будем.) Граничные точки 1, 2, ..., разделяю- щие участки, должны быть поставле-

ны в тех сечениях, в которых происходят какие-либо изменения в законе распределения нагрузки. Так, например, имеется скачок в нагрузке q или изменяется закон ее распределения, приложен сосредоточенный момент, создающий скачок M = Mi , в эпюре моментов, или сосредоточенная си- ла P, создающая скачок в эпюре Q( Q = Pi ).

Рассмотрим сначала первый участок, прилегающий к началу коорди- нат, для которого согласно (8.5) дифференциальное уравнение имеет вид

15

В этом уравнении величины vI (0); v′I (0); v"I (0) и т. п. представляют собой значения функции vI (z) и ее производных, взятые в начале коорди- нат, т. е. при z = 0.

Запишем дифференциальные зависимости:

начале координат, т. е. при z = 0.

Тогда на основании дифференциальных зависимостей (в) между ко- эффициентами ряда Маклорена (б) и принятыми обозначениями имеем следующие равенства:

Полученное уравнение позволяет выразить прогибы в любом сече- нии первого участка через начальные параметры v0, ϕ0 М0, Q0 ... и т. д. Часть из этих параметров известна заранее, а часть подлежит определению из граничных условий.

Для того чтобы получить уравнение прогибов оси балки на втором участке, поступим следующим образом.

16

По уравнению (8.6), полученному для первого участка, построим ли- нию прогибов в пределах двух участков – первого и второго. На протяже- нии первого участка (рис. 8.8, г) она изображена жирной линией, на про- тяжении второго участка – пунктиром. Пунктирная линия представляет собой изображение линии, описанной уравнением (8.6), но она не совпада- ет с истинной кривой оси изогнутого бруса для второго участка, которая проведена жирной линией. Ординаты между двумя указанными кривыми изображены на заштрихованном участке чертежа. Аналитически эти орди- наты выражаются равенством

Вычитая первое уравнение из второго, получим

Обозначив

M I = M II − M I ,

имеем

На основании сходства дифференциального уравнения (е) с основ- ным уравнением (а) можно утверждать, что решение для функции vI сов- падает с решением, полученным для функции (8.6).

В этом решении вместо координаты z придется теперь брать коорди- нату, отсчитанную от точки l, т. е. (z – а1). Вместо величин M0, Q0, q0, … и

17

и вместе с тем воспользоваться уравнениями (8.6) и (8.7), то получим уни- версальное уравнение прогибов для произвольного участка

Путем дифференцирования получим универсальное уравнение для углов поворота

При решении каких-либо частных задач целый ряд членов, входящих в уравнения (8.10) и (8.11), равен нулю. Полученные уравнения (8.10) и (8.11) зависят от величин v0, ϕ0, М0, Q0, q0, q′0 и т. п., которые берутся в на- чале координат, поэтому метод решения по указанным уравнениям носит название метода начальных параметров.

Из всех перечисленных начальных параметров некоторые параметры могут быть неизвестны. Величины q0 и q′0 по условию задачи обычно зада- ны. М0 и Q0 могут быть известны или должны быть определены из условий статики, а в тех случаях, когда задача статически неопределима, – из усло- вия деформаций. Величины v0 и ϕ0 не могут быть определены из условий статического равновесия. Определение этих начальных параметров произ- водят по граничным условиям. Так, например, для балки, показанной на рис. 8.10, a, в начале координат v0 и ϕ0 не равны нулю. Они могут быть оп- ределены из условия равенства нулю прогибов на опорах а и b.

19