scherbo-sp2

Момент инерции сечения относительно оси z равен

Принимая теперь точку А за главный секториальный полюс, а точки О1 и О2 за главные нулевые секториальные точки, строим эпюру главных секториальных координат (см. рис. 15.1, г). При этом

Для вычисления секториального момента инерции Jω = ∫ w2dF снова

F

воспользуемся способом Верещагина. Для правой половины верхней пол- ки имеем

Пример 2

Стержень с поперечным сечением, изображенным на рис. 15.2, а, растягивается двумя силами P = 12 кН, приложенными в точках К (см. рис. 15.2, а и б). Определить величину нормальных напряжений в точках В, G, H, L, Q и R и построить эпюру распределения этих напряжений по попе- речному сечению стержня.

261

Рис. 15.2

Решение. Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

Площадь поперечного сечения

F = 0,25(6 + 2 × 4 + 2 × 2) = 4,5 см2.

Расстояние между центром тяжести сечения С и точкой О (рис. 15.2 в), расположенной посредине высоты и толщины стенки профиля,

Момент инерции сечения относительно главной центральной оси инерции у

Момент инерции сечения относительно главной центральной оси инерции z

J = 0,25 1 (6 ×0,252 + 2 × 2 ×0, 252 + 2 × 43 ) + 6 ×1,782 +

z

12 + 2 × 4 ×0, 222 + 2 × 2 × 2, 222 =12, 45 см4.

Эксцентриситеты точки К приложения силы Р по отношению к глав- ным осям инерции равны

262

Для нахождения положения центра изгиба построена вспомогательная эпюра секториальных координат w0 при полюсе и начале отсчетов в точке О (рис. 15.2, в) и эпюра расстояний точек профиля от оси у (рис. 15.2, г).

Расстояние уА центра изгиба от средней линии стенки профиля вы-

При построении эпюры главных секториальных координат w точка А принята за главный секториальный полюс, а точка О – за главную нулевую секториальную точку. Эпюра w изображена на рис. 15.2, д. Значения сек- ториальных координат в точках В, G, H, L, Q и R равны:

Значения координат точек и величины нормальных напряжений, вы- численных по последней формуле, приведены в таблице и на эпюре рас-

263

пределения напряжений по поперечному сечению стержня (рис. 15.2, е). Наибольшее нормальное напряжение возникает в точке G:

σG = 910 кгсм2 .

Задания для самостоятельной работы

Задача

Для профилей, изображенных на рис. 15.3, а, б, определить положение центра изгиба (точки А), построить эпюру главных секториальных площадей, определить наибольшую ординату этой эпюры ωmax и вычислить величину секториального момента инерции. Размеры на рисунке даны в мм.

Рис. 15.3

Ответ:

ТЕМА 16

Расчет стержней сплошного поперечного сечения на устойчивость

Цель занятия: изучить методику определения допускаемой сжи- мающей нагрузки при известных размерах поперечного сечения стержня, а также научиться определять размеры поперечного сечения, при которых обеспечивается устойчивость стержней при заданной нагрузке.

Рассмотрим методику расчета на устойчивость на конкретных при- мерах.

264

Пример 1

Определить величину сжимающей нагрузки для стойки с шарнир- ным закреплением концов (рис. 16.1, а) и формой поперечного сечения, изображенного на рис. 16.1, б. Материал стойки сталь Ст. 3 с [σ] = 160 МПа.

Рис. 16.1

Решение данной задачи рекомендуется производить в такой последовательности:

1.Определим площадь поперечного сечения стойки.

А= 6 ´12 = 72 см2.

2.Определим величину минимального момента инерции. В нашем примере

Jmin = J z = 12 ×63 = 216 см4. 12

3. Определим минимальный радиус инерции поперечного сечения.

5. Определим величину критической нагрузки. Так как гибкость стойки λ −115,5 > λпр = 100 для стали Ст. 3, то потеря устойчивости про-

исходит в упругой стадии и величину критической силы можно определить по формуле Эйлера.

265

6. Величину допускаемой нагрузки можно получить, разделив вели- чину критической нагрузки на нормативный коэффициент запаса устойчивости [n]. Его величина колеблется в больших пределах: [n] = (1,5 − 3,5). Примем [n] = 2. Тогда

Величину допускаемой нагрузки можно определить с использовани- ем коэффициента снижения основного допускаемого напряжения ϕ, вели- чина которого определяется гибкостью стойки. При l =115

ϕ = 0,52 + 0,45 ≈

0,475.

2

F = jA[s] = 0,475 ×72 ×16 = 547,2 кН.

Величины допускаемых нагрузок получились практически одинако- выми.

Пример 2

Стойка, изображенная на рис. 16.2, а, сжимается центрально прило- женной расчетной силой F = 400 кН.

Определить размеры поперечного сечения (рис. 16.2, б), если расчет- ное сопротивление R = 210 МПа = 21 кHсм2 .

Рис. 16.2

Решение данной задачи рекомендуется выполнять в изложенной ни- же последовательности.

1. Определим площадь поперечного сечения, выразив ее через раз- мер d, а затем выразим размер d через площадь поперечного сечения А.

266

2. Определим минимальный момент инерции поперечного сечения. В данном примере J z = J y = Jmin .