681
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
ВЕСТНИК ПНИПУ
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
PERM NATIONAL RESEARCH POLYTECHNIC UNIVERSITY
№ 10
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2012
УДК 539.3:517.929:534.1:678.2:531.114:624.1:622.011.43:532.5:550.37
В38
Тематика опубликованных в журнале статей охватывает широкий круг задач в области прикладной математики, механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа, в том числе: вычислительная математика, численный анализ и программирование; приложения теоретико-вероятностных методов, математическая экономика, кибернетика; развитие и приложения классических моделей механики сплошных сред; многоуровневые математические модели неупругого деформирования сред; модели сред с фазовыми и релаксационными переходами; наномеханика; биомеханика; строительная механика; технологическая механика; экспериментальная механика деформируемого твердого тела.
Предназначено для научных работников, аспирантов, студентов.
Редакционная коллегия:
Главный редактор |
А.И. Цаплин – профессор, д-р техн. наук (Пермь) |
Заместитель |
О.Ю. Сметанников – доцент, д-р техн. наук (Пермь) |
главного редактора |
|
Члены редколлегии |
А.Р. Абдуллаев – профессор, д-р физ.-мат. наук (Пермь) |
|
Г.Л. Колмогоров – профессор, д-р техн. наук (Пермь) |
|
Л.Н. Кротов – доцент, д-р физ.-мат. наук (Пермь) |
|
В.П. Матвеенко – академик РАН, д-р техн. наук (Пермь) |
|
Ю.И. Няшин – профессор, д-р физ.-мат. наук (Пермь) |
|
В.П. Первадчук – профессор, д-р техн. наук (Пермь) |
|
П.В. Трусов – профессор, д-р физ.-мат. наук (Пермь) |
|
Н.А. Труфанов – профессор, д-р техн. наук (Пермь) |
Редакция:
Ответственный секретарь – А.А. Каменских
© ПНИПУ, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Абдуллаев А.Р., Жиганкова П.О. |
|
Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего |
|
микроэлектромеханические системы (MEMS)............................................ |
7 |
Гасанова М.Л., Исмагилова А.Р., Соколов В.А. |
|
Исследование краевых задач для некоторых |
|
динамических моделей микро- и макроэкономики................................... |
18 |
Деревянкин Д.Л., Давыдов А.Р. |
|
Разработка имитационной модели логистической системы |
|
машиностроительного предприятия.......................................................... |
31 |
Дробинин М.М., Бояршинова И.Н. |
|
Об одной методике оптимального управления процессом |
|
охлаждения изделий из стеклующихся полимеров |
|
с целью снижения остаточных напряжений.............................................. |
52 |
Дубинин А.Л., Селянинов А.А. |
|
Влияние нижнечелюстного канала на состояние |
|
нижней челюсти человека при установке имплантата ............................ |
63 |
Каменских А.А., Труфанов Н.А. |
|
Исследование влияния смазочных канавок в антифрикционной |
|
прослойке на напряженное состояние контактного узла......................... |
77 |
Карандашов В.П. |
|
Структурный анализ бизнеса для выбора моделей |
|
определяющих переменных....................................................................... |
90 |
Кочкина М.А., Козлов А.Н., Рыбаков Н.А., Рыбаков А.П. |
|
Фазовый переход второго рода в ударно-сжатых |
|
конденсированных телах.......................................................................... |
100 |
Мусеев А.А., Лежнева А.А. |
|
Анализ и обработка эксперимента по определению |
|
деформированного состояния патрубка измерительного..................... |
115 |
Назарова Е.В., Осечкина Т.А. |
|
Функция полезности и ее применение в задаче |
|
оптимизации инвестиционного портфеля............................................... |
125 |
Нигматуллова Л.Ф., Третьякова Н.Г. |
|
Модель формирования оптимального кредитного портфеля |
|
филиала коммерческого банка ................................................................ |
138 |
Осечкина Т.А., Постаногова Е.Э. |
|
Математическая модель оценки инфляции............................................ |
148 |
|
3 |
Пепеляева Т.Ф. |
|
Прогнозирование прибыли коммерческого банка |
|
с помощью регрессионных моделей ....................................................... |
160 |
Рыбаков Н.А., Козлов А.Н. |
|
Экспериментальноеопределениетеплоемкостиполимерногосостава, |
|
подвергнутоговоздействию СВЧ-излучения............................................. |
175 |
Суходоева А.А., Тихомирова К.А. |
|
Исследование поведения сжатого стержня |
|
за пределами устойчивости...................................................................... |
182 |
Тихомирова К.А., Труфанов Н.А. |
|
Численный анализ полей остаточных напряжений |
|
в неоднородном стеклующемся цилиндре.............................................. |
194 |
Тотьмянина А.В., Селянинов А.А. |
|
Кинетические уравнения перемещения зуба c помощью |
|
эластопозиционера в случае протрузии центральных |
|
верхних резцов .......................................................................................... |
209 |
Трунов Г.М., Кудрявцев C.А. |
|
О сравнении интенсивностей двух фундаментальных |
|
взаимодействий......................................................................................... |
218 |
Цепенников М.В., Повышев И.А., Сметанников О.Ю. |
|
Верификация численной методики расчета разрушения |
|
конструкций из композиционных материалов......................................... |
225 |
4
CONTENTS
Abdullaev A.R., Zhigankova P.O. |
|
Periodic solutions of Lienard equation, modeling |
|
microelectromechanical systems (MEMS)...................................................... |
7 |
Gasanova M.M., Ismagilova A.R., Sokolov V.A. |
|
Research of boundary value problems for some dynamic models |
|
of microand macroeconomics ..................................................................... |
18 |
Derevyankin D.L., Davydov A.R. |
|
Development of simulation model of logistic system |
|
of engineering enterprise .............................................................................. |
31 |
Drobinin M.M., Boyarshinova I.N. |
|
About one of the methodologies of vitrifying polymers cooling process |
|
optimization which aims residual stresses decrease .................................... |
52 |
Dubinin A.L., Selyaninov A.A. |
|
Effect of the mandibular canal on deflected mode of human mandible |
|
with the implant placement............................................................................ |
63 |
Kamenskih A.A., Trufanov N.A. |
|
The research of influence of the lubricating grooves in antifrictional |
|
interlayer on a tension of contact unit ........................................................... |
77 |
Karandashov V.P. |
|
The structural analysis of business for a choice of models |
|
of defining variables ...................................................................................... |
90 |
Kochkina М.А., Kozlov A.N., Rybakov N.A., Rybakov A.P. |
|
Second order phase transition in shock-condensed bodies ....................... |
100 |
Museev A.A., Lezhneva A.A. |
|
The analysis and experiment processing by deformed state definition |
|
of the branch pipe........................................................................................ |
115 |
Nazarova E.V., Osechkina T.A. |
|
The utility function and its approach to the formation |
|
of an optimal portfolio.................................................................................. |
125 |
Nigmatullova L.F., Tretyakova N.G. |
|
Model of formation of an optimum credit portfolio of branch |
|
of commercial bank ..................................................................................... |
136 |
Osechkina T.А., Postanogova Е.E. |
|
Mathematical model of an assessment of inflation ..................................... |
148 |
Pepelyaeva T.F. |
|
Forecasting of profit of commercial bank by means |
|
of regression models................................................................................... |
160 |
|
5 |
Rybakov N.A., Kozlov A.N. |
|
Experimental determination of heat capacity of polymeric |
|
composition subjected to influence microwave........................................... |
175 |
Sukhodoeva A.A., Tikhomirova K.A. |
|
Study the behavior of a compressed rod outside the stability..................... |
182 |
Tikhomirova K.A., Trufanov N.A. |
|
Numerical analysis of the fields of residual stresses |
|
in non-uniform vitrificated cylinder............................................................... |
194 |
Totmyanina A.V., Selyaninov A.A. |
|
Kinetic equations of displacement of the tooth by elastic positioner |
|
in the case of protrusion of the central upper incisors ................................ |
209 |
Trunov G.M., Kudriavtcev S.А. |
|
On comparison of intensities of the two fundamental interactions.............. |
218 |
Tsepennikov M.V., Povyshev I.A., Smetannikov O.Yu. |
|
Verification of numerical technique for composite structures |
|
failure modeling ........................................................................................... |
225 |
6
УДК 517.925
А.Р. Абдуллаев, П.О. Жиганкова
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЬЕНАРА, МОДЕЛИРУЮЩЕГО МИКРОЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (MEMS)
Рассматривается периодическая краевая задача для уравнения Льенара, возникающего в математических моделях MEMS-систем. Получены достаточные условия существования решения. Для доказательства основного утверждения применяется теорема разрешимости для квазилинейного операторного уравнения в случае резонанса. Построено вспомогательное уравнение с Т-оператором для исходной краевой задачи. Найдено явное представление оператора Т. Предложена схема приближенного решения рассматриваемой задачи, основанная на методе Т-опера- тора.
Ключевые слова: уравнение Льенара, MEMS-системы, периодическая краевая задача, существование решения, метод Т-оператора.
A.R. Abdullaev, P.O. Zhigankova
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia
PERIODIC SOLUTIONS OF LIENARD EQUATION, MODELING MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS (MEMS)
Periodic boundary value problem for Lienard equation arising in the mathematical models of MEMS is considered. Sufficient conditions of the existence of solution are given. To prove the main statement the theorem of solvability for quasilinear operator equation in the case of resonance is applied. Auxiliary equation with T-operator for original boundary value problem is constructed. Explicit representation of operator T is found. Based on method of the T-operator scheme of approximate solution considered problem is suggested.
Keywords: Lienard equation, MEMS, periodic boundary value problem, existence of solution, method of the T-operator.
В современных интеллектуальных электронно-вычислительных и смарт-системах широко применяются миниатюрные электромеханические элементы, интегрированные в единую MEMS-систему [1]. Такое сочетание позволяет придавать системам определенные функциональные возможности нейрокомпьютеров [2].
7
Наиболее востребованными в технологии MEMS-систем являются осцилляторы, основными элементами которых служат MEMSрезонаторы. Динамика отдельного MEMS-резонатора с массой m описывается уравнением Льенара [3]
mx(t)+ f (x(t),λ) x(t)+g(x(t))=e(t), |
(1) |
в котором искомая функция x(t) означает отклонение челнока в момент времени t от положения равновесия. Вид функции жесткости g(x) зависит от свойств материалов, из которых сделан резонатор, и его геометрии: если резонатор абсолютно симметричен, то g(−x)=−g(x). В функции демпфирования f (x, λ) посредством пара-
метра λ можно учесть особенности MEMS-осциллятора, связанные, например, с реализацией обратной связи в MEMS-осцилляторе. Если MEMS-система состоит из нескольких взаимодействующих резонаторов, то особый интерес представляют периодические режимы отдельного резонатора. При этом функция e(t) играет роль связи между от-
дельными резонаторами в системе.
Периодическая задача для уравнения (1) изучалась многими авторами. Классическими в этом направлении являются результаты, полученные Мизохата и Ямогути [4] и Мавэном и Вардом [5]. Для установления достаточных условий разрешимости периодической задачи в данной работе используется метод, основанный на применении теорем существования для квазилинейных операторных уравнений.
Будем рассматривать MEMS-резонатор с единичной массой (m =1) и идеально симметричной жесткостью, задаваемой функцией
g(x)=kx . Математической моделью периодических режимов работы такого резонатора является следующая краевая задача:
|
+ |
f (x) |
|
+ |
kx(t) |
= |
|
|
(2) |
x(t) |
|
x(t) |
|
|
e(t), t [0,2π] , |
||||
|
x(0)−x(2π) =x(0)−x(2π) =0, |
(3) |
|||||||
где x(t), x:[0,2π]→R1 |
– искомая функция, |
f :R1 →R1 , |
e:[0,2π]→R1 – |
||||||
непрерывные функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Пусть L2 =L2 [0,2π] – пространство суммируемых с квадратом по Лебегу функций, W2 =W2 [0,2π] – пространство абсолютно непрерыв-
ных вместе с первой производной функций x:[0,2π]→R1, таких, |
что |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
L2 |
с нормой |
x |
W2 |
x(0) |
|
|
x(0) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
L2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Определение. Под решением задачи (2), (3) будем понимать та- |
|||||||||||||||||
кую функцию x W2 [0,2π], |
|
которая удовлетворяет почти всюду |
на |
||||||||||||||||
[0,2π] уравнению (2) и периодическим краевым условиям (3). |
|
||||||||||||||||||
|
|
Положим X =W2 |
и Y =L2 |
и введем в рассмотрение подпростран- |
|||||||||||||||
ство |
X0 X , элементы которого удовлетворяют периодическим крае- |
||||||||||||||||||
вым условиям (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X0 ={x X / x(0)=x(2π),x(0)= x(2π)}.
На пространстве X0 |
краевая задача (2), (3) эквивалентна опера- |
|||||||
торному уравнению |
Lx =Fx, |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|||||
где операторы L,F : X0 →Y определены равенствами: |
|
|||||||
|
|
|
(Lx)(t) |
= |
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
x(t), |
|
|||
|
|
(Fx)(t)=e(t)− f (x(t))x(t)−kx(t). |
(6) |
|||||
Оператор |
L: X0 →Y |
является линейным ограниченным фред- |
||||||
гольмовым |
с |
ядром |
ker L ={x X0 / x(t)≡const} |
и образом |
||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
R(L)= y Y / |
∫ |
y(s)ds =0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ограниченные проекторы P: X0 → X0 и Q:Y →Y соответственно |
||||||||
на ядро и образ оператора L определим равенствами |
|
|||||||
|
|
Px(t)=x( |
0), Qy(t)= y(t)− |
1 |
2π |
|
||
|
|
∫ y(s)ds |
|
|||||
|
|
2π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и рассмотрим связанные с этими проекторами разложения пространств X0 , Y в прямые топологические суммы: X0 =ker L Z , Y =R(L) Y0 .
9
Приведем вспомогательные утверждения.
Лемма 1 ([6]). Обобщенно обратный оператор KP :R(L)→X0 , ассоциированный с проектором P [7], имеет вид
(KP y)(t)= |
|
t |
2πsy(s)ds+ t |
(t −s)y(s)ds, y Y, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2π ∫ |
|
∫ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||
и справедлива оценка |
|
|
|
KP |
|
|
|
≤1+ |
2π |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующее утверждение лежит в основе метода Т-оператора, применяемого в настоящей работе.
Лемма 2. Для оператора T :Z → X0 , определенного равенством
|
|
|
e |
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Tx = |
|
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
x(t)dt |
, e |
|
= |
|
e(t)dt, |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2πk 2π ∫ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливо вложение F (x +Tx) R(L) |
|
для всех x X0 . Каждое реше- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ние уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lx =F (x +Tx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||
является решением уравнения (4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Доказательство. Элемент x X0 |
представим в виде x = x0 +u, где |
||||||||||||||||||||||||||||||
x0 Z , u ≡const, |
u ker L . Для проектора Q дополнительный проектор |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
QС :Y →Y имеет |
вид |
QС y = |
|
1 |
|
2π y(t)dt. |
|
Предполагая |
элемент |
x Z |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольно фиксированным, элемент ядра u |
определим из уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||
QC F (x +u)=0. Этоуравнение в нашем случае принимает вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫( |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e(t) |
|
f (x |
|
|
|
u) |
|
x (t) |
|
k (x |
|
u) dt |
|
|
0. |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
f (x0 |
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||||
В силу краевых условий (3) |
интеграл |
|
|
u) |
x0 (t)dt |
равен |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю. Поэтому |
из |
уравнения |
|
|
e0 −k |
2∫π x0 (t)dt −2π u =0 получим |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|