681

•кредит погашен в результате реализации объекта залога по кредиту; в этом случае банк может получить неполное возмещение вследствие различной ликвидности имущества, принятого в залог по кредиту;

•кредит не погашен вследствие разорения заемщика.

Другие возможные ситуации не рассматриваются. Предположим, что каждой ситуации соответствует вероятность

её наступления и соответствующая величина дохода или убытка банка (исход).

Введем следующие обозначения:

vj – случайная величина дохода банка при выдачи кредита j-му

клиенту;

s j – величина выдаваемого кредита j-му клиенту (в денежных

единицах) с учетом возможного внесения первоначального взноса;

lj – величина дохода, получаемого банком от выдачи кредита j-му клиенту кредита (в денежных единицах). Величина lj в общем случае зависит от ставки по кредиту, срока кредита, суммы кредита s j и дру-

гих факторов;

hj – рыночная стоимость имущества j-го клиента (в денежных

единицах).

Охарактеризуем каждый возможный исход случайной величины vj .

Если кредит погашен полностью в срок платежными средствами заемщика, то банк получает доход lj с вероятностью p1 j .

Если кредит погашен в результате реализации объекта залога, то банк получает доход hj − sj −l j , если hj < l j + s j , и 0, если hj ≥ l j + s j с вероятностью p2 j .

При невозврате кредита банк получает доход ( −s j −l j ) с вероят-

ностью p3 j .

Таким образом, имеем дискретное распределение случайной величины vj – дохода банка при предоставлении кредита i-й категории

качества j-му клиенту (табл. 1).

141

Теперь можно определить характеристики случайной величины – дохода банка:

– ожидаемый доход банка (математическое ожидание)

Поскольку доход банка представляет собой случайную величину, то естественным критерием оптимизации будет максимизация суммарного ожидаемого дохода по всем выданным ссудам.

Таким образом, можно записать целевую функцию для задачи формирования кредитного портфеля с учетом предположения о независимости рисков при кредитовании клиентов:

2. Ограничения по суммарной величине выдаваемых кредитов по группам качества

Банк может установить ограничение по суммарной величине выдаваемых кредитов A.

j=1

142

где xj – бинарная переменная, которая принимает значение 1, если кредит включен в кредитный портфель, и 0, если кредит не включен

вкредитный портфель.

3.Ограничения по обязательным резервам банка

Всоответствии с Положением Центрального банка РФ №254-П от 26 марта 2004 г. «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности» коммерческие банки обязаны формировать резервы на возможные потери по кредитам. Положение определяет категории качества кредитов, а также величину резервов, формируемых по каждой категории (табл. 2) [7].

Таблица 2

Категории качества кредитов и величина резервов, формируемых по каждой категории

Таким образом, величину расчетного резерва от суммы основного долга rj (%) банк может назначать сам в зависимости от категории ка-

чества.

Величина суммарных резервов на возможные потери по кредитам удовлетворяет неравенству

где rmax – величина резерва, соответствующая максимальному уровню для каждой группы качества.

143

4. Ограничение по средствам банка

При формировании кредитного портфеля банк располагает определенными средствами, величина которых ограничена. Суммарная величина выдаваемых кредитов и резервов, создаваемых на случай возможных потерь по кредитам, не может превышать средств банка, состоящих из межфилиального кредита, и средств, привлекаемых в виде

K

депозитов ∑Dk . Таким образом, можно записать ограничение по

k =1

средствам банка:

Формально модель формирования кредитного портфеля при максимизации ожидаемого дохода от кредитного портфеля можно записать следующим образом:

Модель (12) относится к классу линейных статических моделей дискретного программирования. Для получения решения могут быть использованы методы целочисленного программирования.

Рассмотрим далее формирование кредитного портфеля банка на основе подхода Марковица [5]. Подход Марковица предполагает минимизацию дисперсии портфеля при заданной величине ожидаемой доходности портфеля. Вместо ожидаемой доходности будем использовать ожидаемый доход от кредитного портфеля.

144

Поскольку риски при кредитовании клиентов банка независимы, то дисперсия кредитного портфеля банка

j=1

где σ2j определяется по формуле (6).

В качестве меры риска кредитного портфеля применим дисперсию портфеля. Поэтому в качестве целевой функции задачи можно использовать функцию

j=1

Банк является коммерческой организацией, и его деятельность должна приносить доход. Поэтому ожидаемый доход от кредитного портфеля должен быть не менее установленного показателя ∆. Это условие может быть записано в следующем виде:

j=1

Остальные ограничения модели при использовании подхода Марковица можно перенести без преобразования из модели (12).

Формально модель формирования оптимального кредитного портфеля при минимизации дисперсии кредитного портфеля можно записать следующим образом:

n

∑µj xj ≥ ∆.

j=1

145

Модель (16) относится к классу статических моделей линейного дискретного программирования с линейными ограничениями. Для получения решения могут быть использованы методы целочисленного программирования.

Библиографический список

1.Банковское дело / под ред. д-ра экон. наук, проф. Г.Г. Коробовой. – М.: Экономистъ, 2006.

2.Агафонова М.В. Формирование кредитного портфеля современного коммерческого банка // Современные наукоёмкие технологии. – 2005. – № 6.

3.Положение о кредитовании физических и юридических лиц в коммерческом банке.

4.Егорова Н.Е., Смулов А.М. Математические методы финансового анализа банковской деятельности (на примере крупного сберегательного банка) // Аудит ифинансовый анализ. – 1998. – № 2. – С. 75–146.

5.Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике. – М.: Финансы и статистика, 2007.

6.Об обязательных нормативах банков: Инструкция Центрально-

го банка РФ от 16.01.2004 № 110-И.

7.О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности: Положение Центрального банка РФ № 254-П от 26 марта

2004 года.

References

1.Bankovskoe delo / ed. d-r jekon. nauk, prof. G.G. Korobova. Moscow: Jekonomist, 2006.

2.Agafonova M.V. Formirovanie kreditnogo portfelja sovremennogo kommercheskogo banka. Sovremennye naukojomkie tehnologii, 2005, № 6.

3.Polozhenie o kreditovanii fizicheskih i juridicheskih lic v kommercheskom banke.

4.Egorova N.E., Smulov A.M. Matematicheskie metody finansovogo analiza bankovskoj dejatel'nosti (na primere krupnogo sberegatel'nogo banka). Audit i finansovyj analiz, 1998, no. 2, pp. 75–146.

146

5.Kapitonenko V.V. Zadachi i testy po finansovoj matematike. – Moscow: Finansy i statistika, 2007.

6.Instrukcija Centralnogo banka Rossijskoj federacii ot 16.01.2004 № 110-I «Ob objazatel'nyh normativah bankov».

7.Polozhenie Central'nogo Banka RF №254-P ot 26 marta 2004 goda «O porjadke formirovanija kreditnymi organizacijami rezervov na vozmozhnye poteri po ssudam, po ssudnoj i priravnennoj k nej zadolzhennosti».

Получено 28.09.2012

Об авторах

Нигматуллова Лилия Фаритовна (Пермь, Россия) – студентка кафедры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Ком-

сомольский пр., 29, e-mail: nigmatullova.liliya@mail.ru).

Третьякова Нина Германовна (Пермь, Россия) – доцент кафед-

ры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29).

About the authors

Nigmatullova Liliya Faritovna (Perm, Russia) – student, Department of Applied Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: nigmatullova.liliya@mail.ru).

Tretyakova Nina Germanovna (Perm, Russia) – Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia).

147

УДК 519.86

Т.А. Осечкина, Е.Э. Постаногова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ИНФЛЯЦИИ

На основе уравнения денежного равновесия, определения понятия «инфляция» и определения ВВП для дальнейшего исследования формируется математическая модель инфляции, учитывающая инфляционные ожидания и реакцию субъектов экономической деятельности на их изменение. На основе статистических данных за 2007–2011 гг. предлагается способ оценки инфляционных ожиданий и других параметров модели. Полученная система дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге – Кутты, и на основе этих решений строятся графики, отражающие динамическую реакцию индекса цен и инфляции на различные варианты эмиссионной политики государства.

Ключевые слова: математическая модель, инфляция, инфляционные ожидания, валовый выпуск, метод Рунге – Кутты.

T.А. Osechkina, Е.E. Postanogova

Perm National Research Politechnic University, Perm, Russia

MATHEMATICAL MODEL OF AN ASSESSMENT OF INFLATION

In work on the basis of the equation of monetary balance, definition of the concept "inflation" and gross domestic product definition for further research the mathematical model of inflation considering inflationary expectations and reaction of subjects of economic activity on their change is formed. Being based on statistical data for 2007–2011, the way of an assessment of inflationary expectations and other parameters of model is offered. The received system of the differential equations decides chislenno a method Runge – Kutta, and on the basis of these decisions the schedules reflecting dynamic reaction of a price index and inflation on various options of emission policy of the state is under construction.

Keywords: mathematical model, inflation, inflationary expectations, national produce, method Runge – Kutta.

Одна из самых острых проблем современного развития экономики – инфляция. Инфляционные процессы занимают важное место в экономической науке, поскольку уровень инфляции и его социальноэкономические последствия играют важную роль в оценке экономической безопасности страны. Поэтому возникает необходимость математического описания процесса инфляции с целью его изучения и прогнозирования. В литературе существуют математические модели ин-

148

фляции, построенные с учетом определенных факторов [1, 2]. В данной работе построена модель с максимальным набором факторов, оказывающих влияние на инфляцию.

Построение модели. Инфляция (от лат. inflation – вздутие) – это долговременный процесс снижения покупательной способности денег. Необходимым условием развития инфляции является ускорение роста номинального количества денег или скорости их обращения по сравнению с ростом реального национального дохода. К этому выводу можно прийти на основе анализа уравнения денежного равновесия [3]:

констатирующего, что количество денег, израсходованных на покупку произведенной продукции (произведение индекса цен Р на уровень реального потребления С), равно количеству находящихся в обращении денег М, умноженному на скорость их обращения ν (число оборотов в год).

По определению, инфляция

где I – инвестиции в производство; G – государственные расходы; X – чистый экспорт (экспорт – импорт, X = Ex −Im ).

Учитывая связь (3) потребления с валовым выпуском Y, из (1) получаем:

Также будем учитывать экспериментально выявленный факт, что уровень совокупной зарплаты W пропорционален ВВП (для промышленно развитых стран b ≈ 2, для стран с переходной экономикой b ≈ 5):

Пусть масса денег задается эндогенно и меняется с течением времени от начального значения M0:

∆M является либо ступенчатой функцией (разовая эмиссия), либо растет линейно до некоторого момента (линейная эмиссия). Пусть доля δ эмиссионных денег ∆M направляется в промышленный сектор на увеличение начальной равновесной зарплаты W0. С учетом (6) стационарные соотношения (4) и (5) примут вид:

Всилу того что при изменении равновесия стационарные связи в

(7)нарушаются, а затем с течением времени устанавливаются при новых значениях Р и Y, можно записать динамические дифференциальные уравнения. При этом скорость отклонения какого-либо параметра пропорциональна его отклонению от равновесного значения. Тогда на основе (7) получим уравнения:

Здесь коэффициенты k1 и k2 – обратные времена реакции системы на установление равновесия по величине параметров Р и Y соответственно. В рамках модели коэффициенты будем считать постоянными, но варьируемыми величинами.

Далее перейдем в данной системе к безразмерным переменным. Относительное изменение ВВП: y =Y / Y0 −1, нормированный индекс

цен: p = Р/ Р0 , где Y0 = bW0 и Р0 = M0ν / (Y0 − I0 −G0 − X0 ) – начальные значения ВВП и индекса цен. Пусть i = I / I0 , g = G / G0 , x = X / X0 , где I0, G0, X0 – начальные значения соответствующих переменных.

Тогда уравнения (8) примут вид

150