Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

681

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

15.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

∂u

1 ∂u

∂r

−

∂r

−2G Ir

−

(Ir

+ Iφ)

∂ ∂u

1 ∂u

−

∂t

∂r

r=R

Начальные условия:

u(t, 0) = 0.

2η(t, r) (1− N(t, r))×

= 0.

(14)

(15)

Для численного решения задачи (11)–(15) методом конечных разностей введем временную сетку и равномерную пространственную с шагом h и числом узлов (n+1) по радиусу. Будем использовать неявную по времени схему отыскания неизвестных на i-м временном слое. В этом случае конечно-разностный аналог уравнения (11) выглядит следующим образом:

B j

Nij+1 − Nij−1

uij+1 −uij−1

uij

−3αjT

+ B j N j

uij+1

−2uij +uij−1

i i

1 uij+1 −uij−1

− uij

−

αj+1 −αj−1 T

− B j

Ir ij−+11 − Irij−−11 +

j 2

u j

−u j−1

u j

−u j−1

u j+1

−u j

u j+1 −u j

−

i−1

(Nij−1 − Ni−j−11 )

−

−1

i−1

)

j+1

j−1

(

Iφi−1 − Iφi−1

×(Nij+1 − Ni−j+11 )

(uij−+11

−uij+1 )(Nij+1 − Ni−j+11 )−

−(ui−1

−ui

(ui−1 −ui

)(Ni

− Ni−1 )

−

) (Ni

j−1

− Ni−1 ))

)

−

j 2

Iφi−1 +

j−1

−3αj+1 −αj−1 I

−3αj

IT ij+1 − IT ij−1

Bжij+1 − Bжij−1

1− N j

)

T i

(

uij+1 −uij−1

uij

−3

4αj (T

−T )

− B j

Nij+1 − Nij−1

жi

uij+1

−uij−1

uij

−3 4αj (T

−T )

+ B

− N j

uij+1 −2uij +uij−1

жi

(

)

201

uij+1 −uij−1

−

uij

−3 4

αj+1 −αj−1

−T )

2G j

Nij+1 − Nij−1

uij+1

−uij−1

−

uij

+ 2G j

N j

uij+1 −2uij +uij−1

−

3 r

−u

j−1

j+1

− I

j−1

−

1 1 u

−

−2Gij

ri−1

u j

−u j−1

u j

−u j−1

u j+1

−u j

u j+1 −u j

−

i−1

(Nij−1 − Ni−j−11)

−

i−1

j+1

))

1 Iφij−+11 − Iφij−−11

1 1

((

j+1

(

− N

i−1

−

i−1

)(

− N

i−1

)

−

−u

− u j−1 −u j−1

)(

N j−1 − N j−1

)))

u j

−u j

N j − N j

(

φi−1

)(

(

i−1

−1

(

i−1

i−1))

ηj+1 −ηj−1

− N j

−2ηj

N j+1

− N j−1

2 u j+1 −u j−1

1u j

−

(

)

−t

3 r

i−1

2 u j+1

−u j−1

1 u j

+ 2ηj

− N j

)

2 u j+1

−2u j

+u j−1

−

i−1

−

−1

−

(

−t

i−1

−

1 u j+1 −u j−1

−

u j

2 u j+1 −2u j

+u j−1

−

1 u j+1 −u j−1

−

u j

−

i−1

−1

i−1

−1

u j+1 −u j−1

u j

(Irij−1

1 u j+1

−u j−1

u j+1

−u j−1

(16)

2Gij Nij

−

−2Gij

i−1

(

N j − N j

−

u j

+u j

)(

N j

− N j

+ 2ηj

− N j

)

φi−1

i−1)

(

i−1

−1)

(

ti −ti−1

u j+1 −u j−1

−

u j

−

u j+1 −u j−1

−

u j

= 0.

−1

i−1

r j

Здесь и далее верхний индекс j соответствует номеру узла пространственной сетки, нижний i – временной.

uij = u(ti , rj ); Nij = N (ti , rj ).

202

Где возможно, использованы центральные конечные разности; интегралы Ir , Iφ, IT вычисляются методом трапеций. При записи урав-

нения (16) для точек, отстоящих на одну от крайних, центральные конечные разности заменяются соответственно на правые и левые там, где это необходимо.

Граничное условие (13):

u1	= 0.	(17)
i

Конечно-разностный аналог выражения для граничного условия на правом конце σr (t, R) = 0 (14) в перемещениях имеет следующий вид:

un+1 −un

un+1

B j

N j

−

3αn

−

B j

I n

1 +

n+1

ri−1

n+1

ui−1

−ui−1

−ui

(Nin+1 − Nin−+11)+

n+1

(ui−1

+ui

− Ni−1

) −3α

× Iφi−1

)(Ni

n+1

IT i

n+1

+B n+1

1−

N n

)

uin+1 −uin

uin+1

−3 4αn+1 (T

−T ) +

жi

(

n+1

2 un+1 −un

1 un+1

+2Gn

N n

−

− 2Gn 1

I n

n+1

3 r

ri−1

un+1

−un

un+1

−un

i−1

(Nin

− Nin−11)

−

n+1

Iφi−1

(ui−1 + ui

)(Ni

− Ni−1

)

+ 2ηi

)

2 un+1 −un

1 un+1

2un+1

−un

1 un+1

(18)

× 1

− N n 1

−

i−1

−

i−1

= 0.

−t

3 rn+1

(

i−1

Начальные условия (15):

u j

(19)

Данная схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей на каждом временном шаге относительно узловых неизвестных по пространственной координате.

203

При постановке задачи была принята гипотеза, что выше некоторой температуры (Tg(r)+3/2L) материал цилиндра является несжимаемой жидкостью, т.е. имеет бесконечно большой объемный модуль сжатия. При численной реализации задачи учесть это можно двумя способами. Первый способ – определить объемный модуль жидкого материала Вж как некоторое большое число и использовать для построения решения соотношения (16)–(19).

Второй возможный вариант – находить перемещения несжимаемой части цилиндра из условия

		εr +εφ = ΘT .					(20)
Конечно-разностный аналог выражения (20) имеет вид
	u j+1	−u j−1	+	u j	= 3 4αj (T −T ).		(21)
	i	i		i
	2h			r j
	2h			r j	i	н

Цилиндр легирован таким образом, что при охлаждении его стеклование начинается с наружного контура (см. рис. 2). Пока температура во всех точках цилиндра выше (Tg(r)+3/2L), разрешающая система уравнений строится по соотношению (21) с граничным условием (17). Когда при дальнейшем уменьшении температуры наружный слой цилиндра попадает в зону стеклования, его внутренняя часть представляет собой несжимаемое ядро радиусом Rg(t). В этом случае решение будет строиться по соотношениям (21) для несжимаемой части, (16) для наружного слоя цилиндра, с граничными условиями (17)–(18) и условием стыковки по радиальным перемещениям на границе Rg. Далее, после того как все точки цилиндра вошли в зону стеклования, в построении решения участвуют только соотношения (16) с граничными условиями (17)–(18).

Надо отметить, что оба описанных подхода приводят к качественно идентичным результатам, однако первый способ дает несколько завышенные значения напряжений по сравнению со вторым.

3. Анализ результатов

На рис. 4 приведены эпюры остаточных напряжений и переме-

щений в цилиндре, полученные с использованием пространственной сетки с шагом h = 10–5 м.

204

Рис. 4. Остаточные радиальные (а), угловые (б) и осевые (в) напряжения ирадиальные перемещения(г) вцилиндреприконечнойтемпературе

Как видно из эпюр, наиболее нагруженной является середина стержня (r = 0). Наибольшими по абсолютной величине являются осевые напряжения σz. При переходе через границу легированного ядра R0 наблюдается изменение характера распределения напряжений.

205

В таблице приведены узловые значения графиков напряжений (МПа) и перемещений (мм) для временных сеток с различным по величине шагом. При уменьшении шага по времени имеется тенденция к сходимости численного решения как относительно перемещений, так и относительно напряжений.

Значения узловых точек эпюр на временных сетках с различным шагом

	Ht = 0,5 с	Ht = 0,1 с	Ht = 0,05 с
σr(0)	70,6	67,3	67,0
σf(0)	70,6	67,3	67,0
σf(R0)	–89,6	–87,5	–87,3
σf(R)	–47,3	–46,3	–46,1
σz(0)	124,2	123,1	122,9
σz(R)	44,8	45,0	45,0
u(R)	–1,41	–1,38	–1,37

Заключение

Таким образом, для описания термомеханического поведения стеклующегося кварцевого материала предложено обобщение определяющих соотношений, описанных в работе [6], изложен способ отыскания материальных функций и констант, входящих в данные соотношения. Получено удовлетворительное описание данных эксперимента в одноосном случае. На основе метода конечных разностей построен и реализован конечномерный аналог краевой задачи о формировании полей остаточных напряжений в стеклующемся неоднородно легированном длинном цилиндре. Изучена практическая сходимость разностного решения. Для случая свободного охлаждения цилиндра на воздухе найдены распределения остаточных напряжений в цилиндре.

Библиографический список

1.Волоконная оптика и приборостроение / М.М. Бутусов, С.Л. Галкин, С.П. Оробинский, Б.П. Пал. – Л.: Машиностроение, 1987. – 328 с.

2.Trufanov A.N., Smetannikov O.Yu., Trufanov N.A. Numerical analysis of residual stresses in preform of stress applying part for PANDAtype polarization maintaining optical fibers // Optical Fiber Technology. – Vol. 16, № 3. – 2010. – P. 156–161.

3.Леко В.К., Мазурин О.В. Свойства кварцевого стекла – Л.:

Наука, 1985. – 166 с.

206

4.Андреев Ю.П., Бронковская Р.В., Воскресенская Н.А. Физикотехнические свойства кварцевых стекол для оболочек источников высокоинтенсивного света. – М.: Электроника, 1976. – 76 с.

5.Описание наследственных эффектов при стекловании и размягчении эпоксидных связующих / И.Н. Шардаков, Н.А. Труфанов, В.П. Бегишев, О.А. Шадрин, О.Ю. Сметанников // Пластические мас-

сы. – 1991. – № 9. – С. 55–58.

6.Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В.П. Матвеенко, О.Ю. Сметанников, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. – М.: Физматлит, 2009. – 176 с.

7.Сметанников О.Ю., Труфанов Н.А. Численный анализ технологических и остаточных напряжений в стеклующихся телах // Вычислительная механика сплошных сред. – 2008. – Т. 1, №1. – С. 92–108.

References

1.Butusov M.M., Galkin S.L., Orobinskij S.P., Pal B.P. Volokonnaja optika i priborostroenie [Fiber optics and instrumentation]. Leningrad: Mashinostroenie, 1987, 328 p.

2.Trufanov A.N., Smetannikov O.Yu., Trufanov N.A. Numerical analysis of residual stresses in preform of stress applying part for PANDAtype polarization maintaining optical fibers. Optical Fiber Technology, 2010, vol. 16, no. 3, pp. 156–161.

3.Leko V.K., Mazurin O.V. Svojstva kvarcevogo stekla [Properties of quartz glass]. Leningrad: Nauka, 1985, 166 p.

4.Andreev Ju.P., Bronkovskaja R.V., Voskresenskaja N.A. Fizikotehnicheskie svojstva kvarcevyh stekol dlja obolochek istochnikov vysoko intensivnogo sveta [Physical and technical properties of quartz glass for high-intensity light sources shells]. Moscow: Jelektronika, 1976, 76 p.

5.Shardakov I.N., Trufanov N.A., Begishev V.P., Shadrin O.A., Smetannikov O.Ju. Opisanie nasledstvennyh jeffektov pri steklovanii i razmjagchenii jepoksidnyh svjazujuwih [Description hereditary effects at the glass transition and softening of epoxy binder]. Plasticheskie massy, 1991, no. 9, pp. 55–58.

6.Matveenko V.P., Smetannikov O.Ju., Trufanov N.A., Shardakov I.N. Termomehanika polimernyh materialov v uslovijah relaksacionnogo perehoda [Thermomechanics of polymeric materials in the relaxation transition]. Moscow: Fizmatlit, 2009, 176 p.

207

7. Smetannikov O.Ju., Trufanov N.A. Chislennyj analiz tehnologicheskih i ostatochnyh naprjazhenij v steklujuwihsja telah [Numerical analysis of technological and residual stresses in vitrifying bodies]. Vychislitel'naja mehanika sploshnyh sred, 2008, vol. 1, no. 1, pp. 92–108.

Получено 28.09.2012

Об авторах

Тихомирова Ксения Алексеевна (Пермь, Россия) – студентка кафедры вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990,

г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: kse-tikh@yandex.ru).

Труфанов Николай Александрович (Пермь, Россия) – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: nat@pstu.ru).

About the authors

Tikhomirova Ksenia Alekseevna (Perm, Russia) – student, Department of Computational Mathematics and Mechanics, Perm National Research Politechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: kse-tikh@yandex.ru).

Trufanov Nikolay Aleksandrovich (Perm, Russia) – Doctor of Technical Sciences, Professor, Нead of Department of Computational Mathematics and Mechanics, Perm National Research Politechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: nat@pstu.ru).

208

УДК 531/534: [57+61]

А.В. Тотьмянина, А.А. Селянинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЗУБА C ПОМОЩЬЮ ЭЛАСТОПОЗИЦИОНЕРА В СЛУЧАЕ ПРОТРУЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ВЕРХНИХ РЕЗЦОВ

Рассмотрено неправильное расположение зубов, в частности протрузия центральных верхних резцов. Обоснована необходимость биомеханического сопровождения коррекции зубного ряда для детей дошкольного и младшего школьного возраста с применением эластопозиционеров. Представлен вид кинетических уравнений лечения протрузии центральных верхних резцов с применением эластопозиционеров. Предложена идея параллельного кинетического моделирования процесса перемещения аномально расположенных зубов.

Ключевые слова: неправильный прикус, эластопозиционер, протрузия, перемещение зуба, кинетические уравнения.

A.V. Totmyanina, A.A. Selyaninov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia

KINETIC EQUATIONS OF DISPLACEMENT OF THE TOOTH BY ELASTIC POSITIONER IN THE CASE OF PROTRUSION OF THE CENTRAL UPPER INCISORS

In the present article the incorrect placement of the teeth, in particular, the protrusion of the central upper incisors is considered. The necessity of biomechanical support of correcting of the dentition for children preschool and primary school age by elastic positioners is substantiated. Form of the kinetic equations for treatment of protrusion of the central upper incisors by elastic positioner is proposed. The idea of parallel kinetic modeling of the process of moving abnormally placed teeth is presented.

Keywords: malocclusion, elastic positioner, protrusion, movement of the tooth, kinetic equations.

Неправильное расположение зубов, а также любое нарушение в работе зубочелюстной системы могут привести к нарушениям функций других органов и систем организма. Гастриты, холециститы и ожирение, заболевания печени и поджелудочной железы, кожные и эндокринные заболевания, деформации височно-нижнечелюстного сус-

209

тава, заболевания пародонта – это лишь неполный перечень проблем, спровоцированных аномалиями зубочелюстного развития [1–4].

Поэтому на сегодняшний день актуально и важно устранение аномалий зубных рядов, для чего применяются эластопозиционеры

(рис. 1).

Актуальность проблемы заключается в том, что недостаточно изучены кинетика перемещения зуба с использованием эластопозиционеров (дети/взрослые, муж./жен.) и индивидуальное применение данных ортодонтических аппаратов для восстановления жевательной функции и смягчения последствий неправильного прикуса.

В связи с этим необходим биомеханический анализ коррекции зубного ряда с применением эластопозиционеров на основе кинетического моделирования.

Рис. 1. Устройство эластопозиционера: 1 – канавки для зубов; 2, 5 – губные щиты; 3 – специальный язычок для коррекции положения языка в полости рта; 4 – языковая защитка

Эластопозиционер – это очень гибкий аппарат, параболический по форме. Губные щиты 2 в сочетании с канавками для зубов 1 в переднем отделе продуцируют силу, постоянно действующую на неровно стоящие передние зубы, исправляя их положение.

На основе литературных данных составлена таблица клинических результатов лечения протрузии (табл. 1).

В табл. 1 представлены начальная и конечная величины протрузии, время и метод лечения данной аномалии.

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.75 Mб1673.pdf
#
15.11.20223.46 Mб9674.pdf
#
15.11.20226.65 Mб5675.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0677.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0678.pdf
#
15.11.202215.43 Mб1681.pdf
#
15.11.20221.92 Mб3682.pdf
#
15.11.20223.51 Mб0683.pdf
#
15.11.20221.52 Mб0684.pdf
#
15.11.20222.08 Mб0685.pdf
#
15.11.20223.55 Mб1688.pdf