Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

681

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

15.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	e		1 2π
u =	0	−		∫x0 (t)dt. Таким образом, определен оператор T :Z → X0 ,
	2πk		2π
		0

который согласно равенству (7) ставит каждому элементу x0 Z в соответствие единственный элемент u =Tx0 . Второе утверждение леммы

очевидно. Лемма доказана.

Замечание. Из утверждения леммы 2, в частности, следует, что если элемент x X0 удовлетворяет уравнению

−

2π

f x(t)

∫x(t)dt

x(t)

2πk

2π

x(t)

(9)

2π

+k x(t)+

−

∫x(t)dt =e(t),

2πk

2π

где e0 =2∫πe(t)dt , то он является решением задачи (2), (3).

Лемма 3. Для оператора T :Z → X0 , определенного равенством (7), справедлива оценка

bT (r)=sup

≤2π

2π

r +

, где e0 =

2∫πe(t)dt .

2πk

≤r

Доказательство.

Воспользуемся

неравенством

x(t)

≤2π

2π

x(t)

. Напомним, что Tx ker L ={x(t)≡const}. Поэтому

X 0

X0 =

≤

2∫π

x(t)

dt ≤

+2π

2π

X0 .

2πk

2π

Отсюда,

переходя к супремуму по всем

X0 ≤r ,

получим тре-

буемое.

Лемма 4. Пусть существуют константы a, b ≥0 , что выполняется

неравенство

f (u)

≤a +b

для всех u R1 . Тогда оператор F : X0 →Y ,

определенный равенством (6), вполне непрерывен и справедлива оценка

(r)= sup

≤4π2

2πbr2 +2π

a +

2π

r +

(10)

X0 ≤r

Доказательство.

Вместе

оценкой

x(t)

(см. доказательство

леммы

нам

потребуется

также

оценка

≤

x(t)

2π

x(t)

. С учетом условия на функцию

f получим

12 ≤

2π

−

2π

∫

e(t)

f (x)

x(t)

kx(t)

∫(a

x(t)

)

x(t)

2π

x(t)

2π

2 2π

∫k

≤

Y +2π a +

X0 +

4π

Отсюда и следует неравенство (10). Лемма доказана. Следующую теорему существования сформулируем в удобном

для нас виде.

Теорема 1 ([6]). Пусть оператор F : X0 →Y вполне непрерывен и существует непрерывный оператор T :Z → X0 , такой, что выполнены условия:

1)T (X0 ) ker L ;

2)F (x +Tx) R(L) для любого x X0 ;

3)неравенство bF (r +bT (r))<K p −1 r имеет решение r0 >0 .

Тогда уравнение Lx =Fx имеет хотя бы одно решение. Необходимые вспомогательные утверждения для применения

теоремы 1 содержаться в леммах 1–4.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

существуют константы a ≥0, b >0,

что выполняется неравен-

ство

f (u)

≤a +b

для всех u R1;

3a +(2π)

k <3

ρ−1 , где ρ=2π( 3 +

2π) 3 +(2π)

Если e( ) L2

удовлетворяет следующим условиям:

														3		2
3)		e			<			3		3	−a	−	(2π)2		k			,
								3		3			(2π)2

				Y						ρ
						4								3

							2πb

4)	e0			<min(M ,N ), e0 =										2∫πe(t)dt ,
4)

														0
														3	2							3
	ρ						3		3			(2π)2										(3)2	k
	ρ						3		3			(2π)2										(3)2	k
где M =	3		k						ρ	−a −				k			−		e	Y	, N =	5	b	,
	3					4 2πb			ρ					3								2ρ(2π)2	b

то задача (2), (3) имеет по крайней мере одно периодическое решение. Доказательство. Оператор F является вполне непрерывным [8].

В силу утверждений леммы 2 операторы T , F удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы 1. Для проверки выполнения условия 3 в соответствии с утверждениями лемм 3, 4 рассмотрим неравенство

+b (2π)2 (2π)2 +

r +

2πk

(11)

(

+ 3

+2π

a +k

(2π)2

2π)2

r +

2π+

2πk

(2π)2

и представим его в виде

+Br +C <

0 ,

где

A =

(2π)2

+ 3 b ,

2π

2πb

B =

(2π)2 +

3 3a +

(2π)2 k +

−

C =

L +

2π+

2πb

3a+(2π)2 k +

. Чтобы неравенство (11)

выполнялось

при

некотором

r0 >0 , достаточно

потребовать

выполнение

условий

B <0 и B2 −4AC >0 .

Если числа a ≥0,

k >0 удовлетворяют соотношению, записанному

в условии 2 теоремы 2, и функция e(t)

такова, что

<N , то справед-

2πb

ливо неравенство 3a +(2π)2 k +

2π

3 +(2π)

23 (

3 + 2π)

Последнее неравенство гарантирует, что B <0 .

Если, кроме того, функция e(t) такова, что выполнены условие 3

теоремы 2 и условие

<M , то верно неравенство

( 3 +

2π)

4(2π)

3 3

2π

( 3 +

2π) 3a +

(2π)2 k

−

+(2π)2

Следовательно, B2 −4AC >0 .

Таким образом, согласно теореме 1 операторное уравнение (4) является разрешимым, а следовательно, задача (2), (3) имеет хотя бы одно решение.

Отметим, что в теореме 2 функция e(t), e L2 , не предполагается интегрально-периодической, т.е. удовлетворяющей условию

2∫πe(t)dt =0 . Тот факт, что решение задачи (2), (3) удовлетворяет урав-

нению (9), предоставляет возможность построения приближенного метода поиска такого решения. Предположим, что в условиях теоремы 2 решение единственное (отметим, что единственность гарантируется естественными ограничениями на функцию f (x)). Приведем описание ите-

рационной процедуры, основанной на применении метода Т-оператора. Предположим, что в качестве нулевого приближения выбрана

функция x0 (t), согласованная с начальным условием x0 (0)=Tx0 . По-

следовательные приближения решения определяются по следующим итерационным формулам:

xn (0)=Txn =	1	2∫πe(s)ds −	1	2∫π xn (s)ds,
xn (0)=Txn =	2πk	2∫πe(s)ds −	2π	2∫π xn (s)ds,
		0		0

xn+1 (t)=xn (0)+∫t (− f (xn )xn (s)−kxn (s)+e(s))ds,

xn+1 (t)= xn (0)+∫t xn+1 (s)ds , где n =1, 2, ....

Численная реализация метода нахождения периодического решения по предложенной схеме предполагается темой отдельной статьи.

Заключение

Рассмотрена математическая модель динамики отдельного MEMS-резонатора с идеальной жесткостью, описываемой периодической краевой задачей для уравнения Льенара с функцией g(x) специ-

ального вида. Применение вспомогательного уравнения, построенного для исходной краевой задачи, а также теоремы существования для квазилинейного операторного уравнения в случае резонанса позволило получить эффективные условия разрешимости, выраженные в терминах уравнения Льенара. Предложена перспективная схема нахождения периодического решения, основанная на использовании метода Т-оператора.

Библиографический список

1.Nguyen C.T.-C. Micromechanical devices for wireless communications // Workshop Micro Electro Mechanical Systems. – 1998. – Jan. 25–29. – P. 1–7.

2.Aoyagi T. Network of neural oscillators for retrieving phase information // Phys. Rev. Lett. – 1995. – Vol. 74. – P. 4075–4078.

3.Hoppensteadt F.C., Izhikevich E.M. Synchronization of MEMS resonators and mechanical neurocomputing // Transactions on circuits and systems. – 2001. – Vol. 48. – P. 133–138.

4.Mizohata S., Yamaguti S. On the existence of periodic solutions of the nonlinear differential equations x′′+α(x) x′+ϕ(x) = p(t) // Mem. Coll.

Sci. Univ. Kyoto. – 1952. – Vol. 22 – P. 109–113.

5. Mawhin J., Ward J.R. Periodic solutions of some forced Lienard differential equations at resonance // Arch. Math. – 1983. – Vol. 41. – P. 337–351.

6.Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А. Периодические решения уравнения Ван дер Поля с отклоняющимся аргументом // Вестник ИжГТУ. –

Ижевск, 2011. – № 3(51). – C. 174–177.

7.Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологичеcки нетеровых операторов. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 1994. – 93 с.

8.Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Физматлит, 2007. – 488 с.

References

1.Nguyen C.T.-C. Micromechanical devices for wireless communications. Proc. IEEE Int. Workshop Micro Electro Mechanical Systems, 1998, Jan. 25–29, pp. 1–7.

2.Aoyagi T. Network of neural oscillators for retrieving phase information. Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 74, pp. 4075–4078.

3.Hoppensteadt F.C, Izhikevich E.M. Synchronization of MEMS resonators and mechanical neurocomputing. Transactions on circuits and systems, 2001, vol. 48, pp. 133–138.

4.Mizohata S., Yamaguti S. On the existence of periodic solutions of the nonlinear differential equations. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, 1952, vol. 22, pp. 109–113.

5.Mawhin J., Ward J.R. Periodic solutions of some forced Lienard differential equations at resonance. Arch. Math., 1983, vol. 41, pp. 337–351.

6.Abdullaev A.R., Savochkina A.A. Periodicheskie reshenija uravnenija Van der Polja s otklonjajuwimsja argumentom [Periodic solution of Pol van der equation with deviating argument]. Vestnik Izhevskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2011, no. 3 (51), pp. 174–177.

7.Abdullaev A.R., Burmistrova A.B. Jelementy teorii topologichecki neterovyh operatorov [Elements of the theory of topologically noetherian operators]. Chelyabinsk: Chelyabinskij gosudarstvennyj universitet, 1994, 93 p.

8.Trenogin V.A. Funkcional'nyj analiz [Functional analysis]. Moscow: Fizmatlit, 2007, 488 p.

Получено 27.09.2012

Об авторах

Абдуллаев Абдулла Рамазанович (Пермь, Россия) – доктор фи-

зико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: h.m@pstu.ru).

Жиганкова Полина Олеговна (Пермь, Россия) – студент фа-

культета прикладной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь,

Комсомольский пр., 29, e-mail: h.m@pstu.ru).

About the authors

Abdullaev Abdulla Ramazanovich (Perm, Russia) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Acting Head of the Department of Higher Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: h.m@pstu.ru).

Zhigankova Polina Olegovna (Perm, Russia) – student, Faculty of Applied Mathematics and Mechanics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: h.m@pstu.ru).

УДК 517.929; 519.863.2

М.Л. Гасанова, А.Р. Исмагилова, В.А. Соколов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРО- И МАКРОЭКОНОМИКИ

Дан обзор исследований по применению W-метода Азбелева для функциональнодифференциальных уравнений с кусочно-постоянными запаздываниями. Рассмотрены модификации некоторых динамических моделей микро- и макроэкономики. Исследованы краевые задачи для двух модифицированных динамических моделей экономики: линейной модели Видала – Вулфа объема сбыта товара в зависимости от расходов на рекламу и линейной модели Филлипса – Гудвина динамики ЧВП. Доказаны теоремы о разрешимости поставленных краевых задач. Приведены численные примеры применения рассматриваемого метода.

Ключевые слова: динамические модели, краевые задачи, линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, интегральное уравнение, вырожденное ядро.

M.M. Gasanova, A.R. Ismagilova, V.A. Sokolov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia

RESEARCH OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SOME DYNAMIC MODELS OF MICROAND MACROECONOMICS

The review of research on application of a W-method of Azbelev for functional differential equations with piecewise constant delays are given. Modifications of some dynamic models of microand macroeconomics are considered. Boundary value problems for two modified dynamic models of economy are researched: the linear model of Vidal-Wolfe of goods sales volume in depending on advertising costs and linear model of Phillips-Goodwin of a net domestic product dynamics. Theorems of solubility of the delivered boundary value problems are proved. Numerical examples of applications of this method are given.

Keywords: dynamic models, boundary value problems, linear differential equations with delay, integral equation, singular kernel.

Для моделирования динамических процессов в экономике используются в большинстве случаев (см., например, [1–3]) инерционные и дискретные запаздывания между входными и выходными процессами, что не всегда адекватно реальным процессам. В работах [4, 5] предложено моделировать переходные процессы решениями линейных

дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными запаздываниями. Решением таких уравнений называется [6] абсолютная непрерывная функция, удовлетворяющая им почти всюду.

Далее исследованы краевые задачи для указанных модифицированных моделей микро- и макроэкономики.

Рассмотрим линейную модель Видала – Вулфа [4] объема сбыта товара в зависимости от расходов на рекламу:


′	t			Q(t)
TQ (t)+Q		T	=λA(t) 1−		+η(t) , t [0;nT ],	(1)
TQ (t)+Q		T	=λA(t) 1−		+η(t) , t [0;nT ],	(1)
	T			M
где Q(t) – объем реализации товара в момент времени t ; A(t) ≥0						– ин-

тенсивность затрат на рекламу в момент времени t , периодическая

функция с периодом T ;	M >0 – уровень насыщения рынка данным
товаром; T >0 – среднее время забывания потребителями информации
о рекламируемом товаре;		t	– целая часть числа	t	; λ – коэффици-
	T			T

ент чувствительности, скорости реакции или подстройки цены; η(t) – неконтролируемое возмущение; n – натуральное число.

В качестве показателя функционирования модели (1) выберем интегральный объем реализации товара:

		nT∫Q(s)ds =β.					(2)
		0
Исследуем краевую задачу (1), (2).
Введем следующие обозначения:
p =	1	, q(t) =	λ	A(t) ,	f (t) =	λ	A(t) .
	T		MT			T

Тогда уравнение (1) может быть записано в виде


′	t
Q (t)+ pQ		T	+q(t)Q(t) = f (t) , t [0;nT ],	(3)
Q (t)+ pQ		T	+q(t)Q(t) = f (t) , t [0;nT ],	(3)
	T

а краевое условие (2) в виде

lQ ≡ψQ(0)+nT∫φ(s)Q′(s)ds =β,

где число ψ=nT и функция φ(s) =nT −s (см. [6], с.	32). По числу ψ
и функции φ подберем такую функцию u(t) , что u(0)	≠0, lu =1:

u(t) =	2	(nT −t) .
u(t) =	n2T 2	(nT −t) .
	n2T 2
Тогда система уравнений
Q&(t) + B(t)Q(t) = z(t) , lQ =β,			(4)

где B(t) = −uu&((0t)) , однозначно разрешима [6] и ее решение имеет пред-

ставление

Q(t) =u(t)β+nT∫W (t,s)z(s)ds,

(5)

1−u(t)φ(s),0≤s ≤t ≤nT

где W (t,s) =

−u(t)φ(s),0≤t <s ≤nT

Воспользуемся «W-подстановкой» (5) применительно к уравне-

нию (3):

′

Q (t)

+B(t)Q(0) =−pQ

−q(t)Q(t)+B(t)Q(0)+ f (t) .

Получаем интегральное уравнение

z(t) =−q(t) ∫W (t,s)z(s)ds − p ∫W

T ,s z(s)ds +

(6)

+B(t)(u(0)β+ ∫W (0,s)z(s)ds)+ f (t)−pu

T β−q(t)u(t)β,

которое принимает вид

z(t) = nT∫K(t, s)z(s)ds + g(t) ,

(7)

если положить

K (t,s) =−q(t)W (t,s)− pW

+B(t)W (0,s)

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.75 Mб1673.pdf
#
15.11.20223.46 Mб9674.pdf
#
15.11.20226.65 Mб5675.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0677.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0678.pdf
#
15.11.202215.43 Mб1681.pdf
#
15.11.20221.92 Mб3682.pdf
#
15.11.20223.51 Mб0683.pdf
#
15.11.20221.52 Mб0684.pdf
#
15.11.20222.08 Mб0685.pdf
#
15.11.20223.55 Mб1688.pdf