Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

681

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

15.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

и
		t
g(t) = f (t)+B(t)u(0)β− pu			T β−q(t)u(t)β.
g(t) = f (t)+B(t)u(0)β− pu			T β−q(t)u(t)β.
		T
Заменим уравнение (7) уравнением
nT ~				(8)
z(t) = ∫K(t, s)z(s)ds + g(t)				(8)
0
с вырожденным ядром
~	m			(9)
K (t, s) = ∑a j (t)bj (s) .				(9)
	j=0
Тогда уравнение (8) принимает вид
nT ~	nT	m
z(t) = ∫K (t, s)z(s)ds + g(t) = ∫		(∑a j (t)bj (s))z(s)ds + g(t) .		(10)
0	0	j=0
Умножим обе части уравнения (10) на функции bi (t) и проинтег-
рируем почленно от 0 до nT.	Проделав это последовательно для всех
индексов i =1, ..., m, получим систему равенств:

∫bi (t)z(t)dt = ∫bi (t) ∫

(∑aj (t)bj (s))z(s)dsdt + ∫bi (t)g(t)dt,

j=0

m nT

∫bi (t)z(t)dt =∑∫bi (t)aj (s)dt ∫bj (s)z(s)ds + ∫bi (t)g(t)dt, i =

0, m

j=0 0

Обозначим

∫bi (t)z(t)dt =Qi , ∫bi (t)aj (s)dt =αij , ∫bi (t)g(t)dt =ci , i =

0, m

После введения таких обозначений система (11) примет вид

Qi =∑αijQj +c i , i =

0, m

j=0

Если матрица

A={γij},

где γij

1,i = j

=eij −αij , eij =

0,i ≠ j

(11)

(12)

(13)

имеет обратную матрицу A−1 ={θij}, то уравнение (8) имеет единственное решение:

	~	m
	~	∑a j (t)Q j + g(t) ,
	z (t) =	∑a j (t)Q j + g(t) ,
		j=0
или
~	nT		(14)
~
z (t) = ∫R(t, s)z(s)ds + g(t) ,
	0
где
		m m
R(t,s) =∑∑aj (t)θjibi (s).			(15)

j=1 i=1

Таким образом, краевая задача (1), (2) однозначно разрешима. Известно [7], что при естественных предположениях относитель-

но ядра K (t, s) для любого заданного ε > 0 ядро								~	можно опреде-
но ядра K (t, s) для любого заданного ε > 0 ядро								K (t, s)	можно опреде-
лить так, чтобы выполнялось неравенство
nT nT				2	dtds ≤ε		2	.	(16)
				2			2
∫ ∫[K(t,s)−K(t,s)]
0	0
Пусть m×m – матрица А (13), построенная по функциям a j (t) ,
bj (s) , j =1,..., m , обратима и A−1 ={θij}. Если
			ε<	1,					(17)
где				r
где
	nT nT				1
	nT nT				2

	∫ ∫					,			(18)
r =1+			[R(t,s)]2 dtds			,			(18)
	0	0

а функция R(t, s) определена равенством (15), то уравнение (7) с ядром K (t, s) , удовлетворяющим неравенству (16), имеет единственное решение.

Таким образом доказали следующую теорему.

Теорема 1. Пусть m×m – матрица (13), построенная по функциям a j (t) , bj (s) , j =1,..., m , обратима и B = A−1 ={θij}. Если выполняется

условие (17), где число r определяется равенством (18), а функция R(t, s) определена равенством (15), тогда краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, причем ее решение имеет представление

Q(t)

с точностью

t	~	t
= ∫z		(s)ds − ∫B(s)Q(0)ds
0		0

	nT			2	ε2r4 nT		2
	∫[z(t)−			z(t)] dt ≤		∫	[g(t)] dt
	∫[z(t)−			z(t)] dt ≤	(1−ε r)2	∫	[g(t)] dt
	0				0
и, кроме того,
			Q(0) =u(0)β+nT∫W (0,s)z(s)ds.
					0
Рассмотрим линейную модель Филлипса – Гудвина динамики
чистого внутреннего продукта (ЧВП) [5]:
′		t			′

		T						(19)
TY (t)+Y		T		=cY (t)+BY (t)+η(t)+ A(t), t [0, nT ],				(19)
		T

где Y (t) – интенсивность воспроизводства ЧВП; T – лаг запаздывания

воспроизводства ЧВП;	t		– целая часть числа	t	; с – предельная
T				T

склонность к потреблению; В – коэффициент акселератора; η(t) – неконтролируемое возмущение; A(t) = Ca (t) + Ia (t) + Ex (t) + Gv (t) – автономные инвестиции; Ca (t) – интенсивность автономного потребления; Ia (t) – интенсивность автономных инвестиций; Ex (t) – чистый экспорт; Gv (t) – государственные закупки; n – натуральное число.

Краевое условие в общем виде выглядит [6] следующим образом:

lY ≡ψY (0)+nT∫φ(s)Y ′(s)ds =β.

(20)

Рассмотрим задачу об ω-кратном изменении ЧВП к конечному моменту времени nT :

Y (nT )=ωY (0).

(21)

Краевое условие (21) может быть записано в виде (20), если по-

ложить ψ=1−ω, φ=1, β=0.

Введем следующие обозначения:

= p, −

=q(t),

η(t)+ A(t)

= f (t).

T −B

−B

T −B

Тогда уравнение (19) примет вид

′

, t ≥ 0 .

Y (t)

+ pY

T + q(t)Y (t) = f (t)

(22)

Используя подстановку Y (t)=∫t

z(s)ds, z(t)=Y′(t),

получим урав-

нение для z(t):

z(t)= nT∫K(t, s)z(s)ds + f (t).

(23)

Уравнение (23) – интегральное уравнение Фредгольма, где K(t, s) –

ядро этого уравнения. Рассмотрим краевую задачу:

′	t
		T + q(t)Y (t) = f (t) , lY ≡Y (nT )−ωY (0)	=0.	(24)
Y (t) + pY

	T

Сведем краевую задачу (24) к интегральному уравнению (23), используя утверждение (см. [6]): по числу ψ и функции φ можно найти

функцию u(t) такую, что u(0)≠ 0 , lu =1, и система уравнений

Y′(t)+B(t)Y (0)=z(t), lY =0,

где B(t)= − uu′((0t)), однозначно разрешима и ее решение имеет представ-

ление

Y (t)= ∫W (t, s)z(s)ds ,

1−u(t)φ(s),0	≤s ≤t ≤nT
	.
где W (t,s)=	.
−u(t)φ(s),0≤t <s ≤nT

Функцию u(t) выберем следующим образом:
	u(t) =tω+nT .
	nT
Применим «W-подстановку» к уравнению (22):
′		(t) + B(t)Y (0)+ f (t).
Y (t)+ B(t)Y (0)= −pY ([t /T ]T )− q(t)Y		(t) + B(t)Y (0)+ f (t).
Получим уравнение
z(t)= −nT∫ pW ([t], s)z(s)ds − nT∫q(t)W (t, s)z(s)ds + nT∫B(t)W (0, s)z(s)ds + f (t),
0	0	0
где W ([t], s)= 1−u([t]),0 ≤ s ≤ [t] ≤ nT , W (0, s)= 1−u(0), s = 0			.
−u([t]),0 ≤ [t] < s ≤ nT		−u(0),0 < s ≤ nT

Это уравнение принимает вид (23), если положить

K(t, s)= B(t)W (0, s)− pW ([t], s)− qW (t, s).

Поступая аналогично приведенным выше рассуждениям, заменим уравнение (23) уравнением (8) с вырожденным ядром (9). Уравнение примет вид (10). Умножив обе части уравнения (10) на bi (t) и про-

интегрировав почленно от 0 до nT , получим равенства (11). Введем обозначения:

nT∫bi (t)z(t)dt = Yi ,	nT∫bi (t)a j (t)dt =αij ,	nT∫bi (t)f (t)dt = ci , i =				.
nT∫bi (t)z(t)dt = Yi ,	nT∫bi (t)a j (t)dt =αij ,	nT∫bi (t)f (t)dt = ci , i =			0, m	.
0	0	0
Тогда система примет вид
	m
	Yi =∑αijYj +ci ,	i =		.			(25)
	Yi =∑αijYj +ci ,	i =	0,m	.			(25)

j=0

Уравнение (10) имеет единственное решение, если матрица А (см. формулу (13)) имеет обратную матрицу A−1 ={θij} и выполнено неравенство (17), а решение уравнения имеет вид

	~	nT
	~	∫R(t, s)z(s)ds + f (t) .
	z (t) =	∫R(t, s)z(s)ds + f (t) .
		0

Таким образом, доказана теорема:

Теорема 2. Пусть матрица А – обратима и выполнено неравенст-

во ε< 1r , где r определено равенством (18). Тогда краевая задача (24)

однозначно разрешима, причем ее решение имеет представление

Y (t)= ∫z (s)ds

− ∫B(s)Y (0)ds ,

с точностью

ε 2 r 4

∫

[z(t)− z (t)]

dt ≤

∫

[f (t)]

dt ,

(1−ε r)

и, кроме того,

Y (0)= ∫W

(0, s)z(s)ds .

Пример 1. Краевую задачу (1), (2) решим с помощью системы

аналитических

вычислений

Maple.

Будем

полагать

n = 3 ,

T =1 ,

A(t) =1,

η(t) =0,

λ=0,3,

M =0,5, тем самым рассматривая ядро K (t, s)

на квадрате [0,3]×[0,3] . В

качестве

ядра

возьмем кусочно-

K (t, s)

постоянную аппроксимацию ядра

K (t, s) , соответствующую равно-

мерному разбиению квадрата [0,3]×[0,3]

на прямоугольники с шагом

разбиения 0,015.

Получим:

= −

a =η

t −1 −η

t −2

, a =η

t −2

−η

t −3 , a =

η t

−η

t −1

)

(

)

(

)

(

))

(

t −1 −η

t −2

))

, a =

(

t −2

)

−η

t −3

(

)

(

))

λ A(t)

a j+6

−sj )(3−tj )−1 (η(t −0,015 j)−η(t −0,015( j +1))),

aj+206

= 2

λ A(t)

(3−t)(η(t −0,015 j)−η(t −0,015( j +1))),

j =

0,199

b0 = 3 − s , b1 = −1+ 4 (3−s) (η(s)−η(s −1)),9

b2 = −1+ 2 (3−s) (η(s)−η(s −2)), b3 =(3−s)(η(s)−η(s −3)),9

b4 =(3−s)(η(s −1)−η(s −3)), b5 =(3−s)(η(s−2)−η(s−3)),

bj+6 =η(s)−η(s −0,015 j), bj+206 =(3−s)(η(s −0,015 j)−η(s −3)), j = 0,199 .

При этом

~	5	199	(t)bj+6	(s)+ a j+206 (t)bj+206 (s)).
K (t, s) = ∑a j (t)bj (s)+ ∑(a j+6			(t)bj+6	(s)+ a j+206 (t)bj+206 (s)).
	j=0	j=0

Кроме того,

ε=0,036, r =8,5593.

Следовательно, указанная краевая задача однозначно разрешима и имеет представление

	~		t		1
	Q(t)	= ∫z(t)dt −				tQ(0).
	Q(t)	= ∫z(t)dt −			3	tQ(0).
			0		3
Кроме того, Q(0)=	2β−	2	∫3	(3−s)z(s)ds =1,914291457.
	3	3	0
			0

Пример 2. Для решения краевой задачи (24) воспользуемся системой аналитических вычислений Maple. Пусть в краевой задаче n =3,

T =1, B =0,05, c =0,04, A(t)=2, η(t)=0, ω=1,1. В качестве вырож-

денного ядра выберем кусочно-постоянную аппроксимацию ядра K(t, s) с шагом разбиения 0,015 квадрата [0,3]×[0,3] .

Получим:

a =	ω	, a =		ω p		(		η		t −1 −η					t −2	))	, a			= 2ω p				(	η	t −2		)	−η		t −3		,
0	3	1		3		(			(			)		(		))			2		3			(	(			)		(		))
	a = p		(	η t	)		−η				t −1			, a =		ω		+1 p			(	η	t −1 −η				t −2			))		,
	a = p			η t			−η				t −1			, a =				+1 p				η	t −1 −η				t −2					,
		3		(						(		))			4							(			)	(
																3
												2ω
					a5				=				+1 p(η(t −2)−η(t −3)),
					a5				=			3	+1 p(η(t −2)−η(t −3)),
												3

		a j+6 =	tω	q(η(t −0,015 j)−η(t −0,015( j +1))),
		a j+6 =		q(η(t −0,015 j)−η(t −0,015( j +1))),
		3
	tω
	tω
a j+206	=	+1 q(η(t		−0,015 j)−η(t −0,015( j +1))), j =0,199, b0 =1,
a j+206	=	+1 q(η(t		−0,015 j)−η(t −0,015( j +1))), j =0,199, b0 =1,
	3
	b1 =η(s)−η(s−1), b2 =η(s)−η(s −2), b3 =η(s)−η(s−3),
b4 =η(s −1)−η(s −3),				b5 =η(s −2)−η(s −3), bj+6 =η(s)−η(s −0,015 j),
		bj+206 =η(s −0,015 j)−η(s −3), j =
		bj+206 =η(s −0,015 j)−η(s −3), j =			0,199.

Врезультате получим:

ε=0,006235, r =74,5636.

Следовательно, указанная краевая задача однозначно разрешима и имеет представление

Y (t)=∫t	z(t)dt +	ωtY (0).
0		3
0

Причем Y (0)=−∫3 z(s)ds =1,894142254.

Таким образом, проведено исследование разрешимости краевых задач для двух модифицированных динамических моделей экономики: модели Видала – Вулфа объема сбыта товара в зависимости от расходов на рекламу и модели Филлипса – Гудвина динамики чистого внутреннего продукта.

В ходе исследования для каждой динамической модели были получены следующие результаты:

•доказана разрешимость поставленной краевой задачи;

•получено приближенное решение;

•доказана теорема об условиях разрешимости.

Библиографический список

1.Ален Р. Математическая экономия. – М.: Иностранная литера-

тура, 1963. – 668 с.

2.Тинбэрхэн Я., Бос Х. Математические модели экономического роста. – М.: Прогресс, 1967. – 176 с.

3.Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. – М.: Экономика, 1982. – 408 с.

4.Симонов П.М. О некоторых динамических моделях микроэкономики // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. –

Пермь, 2002. – № 3. – С. 109–114.

5.Симонов П.М. О некоторых динамических моделях макроэкономики // Экономическая кибернетика: Математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: сб. ст. /

Перм. ун-т. – Пермь, 2002. – С. 213–231.

6.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1991. – 280 с.

7.Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 5. – С. 56–71.

References

1.Allen R. Matematicheskaja jekonomika [Mathematical Economics]. Moskow: Inostrannaya literatura, 1963, 668 p.

2.Tinbergen J., Bos H. Matematicheskie modeli jekonomicheskogo rosta [Mathematical models of economic growth]. Moscow: Progress, 1967, 176 p.

3.Kobrinskij N.E., Majminas E.Z., Smirnov A.D. Jekonomicheskaja kibernetika [Economic cybernetics]. Moscow: Jekonomika, 1982, 408 p.

4.Simonov P.M. O nekotoryh dinamicheskih modeljah mikrojekonomiki [About some dynamic models of microeconomics]. Vestnik Permskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Matematika i prikladnaja matematika, 2002, no. 3, pp. 109–114.

5.Simonov P.M. O nekotoryh dinamicheskih modeljah makrojekonomiki [About some dynamic models of macroeconomics]. Jekonomicheskaja kibernetika: Matematicheskie i instrumental'nye metody analiza, prognozirovanija i upravlenija: sbornik statej. Perm': Permskij gosudarstvennyj universitet, 2002, pp. 213–231.

6.Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatullina L.F. Vvedenie v teoriju funkcional'no-differencial'nyh uravnenij [Introduction to the theory of functional differential equations]. Moscow: Nauka, 1991, 280 p.

7. Maksimov V.P., Rumjancev A.N. Kraevye zadachi i zadachi impul'snogo upravlenija v jekonomicheskoj dinamike. Konstruktivnoe issledovanie [Boundary value problems and tasks of impulse control in economic dynamics. Constructive research]. Izvestiya vuzov. Matematika, 1993, no. 5, pp. 56–71.

Получено 27.09.2012

Об авторах

Гасанова Марина Лютфалиевна (Пермь, Россия) – студент ка-

федры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсо-

мольский пр., 29, e-mail: marinagbsk@rambler.ru).

Исмагилова Айгуль Рафилевна (Пермь, Россия) – студент ка-

мольский пр., 29, e-mail: aigulya_winny@mail.ru).

Соколов Владимир Александрович (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: Sokolov.pstu@gmail.com).

About the authors

Gasanova Marina Lutfalievna (Perm, Russia) – student, Department of Applied Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (614990, 29, Komsomolsky av., Perm, Russia, e-mail: marinagbsk@rambler.ru).

Ismagilova Aigul Rafilevna (Perm, Russia) – student, Department of Applied Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: aigulya_winny@mail.ru).

Sokolov Vladimir Aleksandrovich (Perm, Russia) – Ph.D of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russia, e-mail: Sokolov.pstu@gmail.com).

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.75 Mб1673.pdf
#
15.11.20223.46 Mб9674.pdf
#
15.11.20226.65 Mб5675.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0677.pdf
#
15.11.20223.48 Mб0678.pdf
#
15.11.202215.43 Mб1681.pdf
#
15.11.20221.92 Mб3682.pdf
#
15.11.20223.51 Mб0683.pdf
#
15.11.20221.52 Mб0684.pdf
#
15.11.20222.08 Mб0685.pdf
#
15.11.20223.55 Mб1688.pdf