m0936

3. Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции сравнением значений функции в критических точках и на концах интервала.

Рис. 9.15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

9.4.5.Асимптотические свойства функций

Вприложениях математики область существования функции представляет собой, как правило, объединение отдельных интервалов непрерывности, разделенных точками разрыва первого и второго рода (см. раздел 7.4).

Внекоторых точках разрыва второго рода график функции с одной стороны или с двух сторон может неограниченно приближаться к вертикальной прямой, проходящей через точку разрыва. Эта линия называется вертикальной асимптотой графика функции, а поведение функции в окрестности этой точки будем называть асимптотическим. Особенности этого поведения (асимптотические свойства) исследуются с помощью односторонних пределов (см. раздел 7.4, пример 2).

Кроме точек разрыва функция может иметь «линии разрыва», которые являются наклонными или, в частном случае, горизонтальными асимптотами.

131

Примеры наклонных, горизонтальных и вертикальных асимптот уже рассматривались в подразделе 4.5.3, посвященном гиперболе (см. часть I практикума). Про-

должим изучение различных асимптот и особенностей поведения функций в окрестности этих линий.

Прямая линия называется асимптотой кривой (в частности, графика функции), если по мере удаления от начала координат расстояние от точки линии до асимптоты стремится к нулю (рис. 9.16– 9.18).

Замечание. График функции может не иметь ни одной асимптоты.

Для удобства исследования функции принято различать вертикальные и наклонные асимптоты; горизонтальные асимптоты, как правило, относят к наклонным.

Если график функции неограниченно приближается к вертикальной прямой, то, очевидно, функция имеет разрыв второго рода. Поэтому вертикальные асимптоты могут быть только в точках разрыва второго рода. Алгоритм нахождения вертикальных асимптот состоит в следующем:

– находятся точки разрыва функции;

132

–в точках разрыва вычисляются односторонние пределы;

–если в некоторой точке разрыва х0 хотя бы один из односторонних пределов равен или , то график функции имеет вертикальную асимптоту с уравнением х = х0.

Замечание. Для правильного построения графика функции необходимо считать оба односторонних предела во всех точках разрыва.

Пример 1. Найти вертикальные асимптоты графика функ-

x 1

бесконечен, значит, вертикальной асимптоты в точке x1 0 нет.

133

фик функции имеет асимптоту x 1.

Наклонные асимптоты предполагают неограниченное возрастание модуля аргумента x (x или x ). Алгоритм нахождения наклонной асимптоты функции y f x при x (пра-

вой асимптоты) состоит в следующем:

– вычисляется предел lim f x ; если этот предел не сущест-

x x

вует или бесконечен, то график функции не имеет правой асим-

птоты. Если lim f x k R, то переходим к следующему пункту

x x

алгоритма;

– вычисляется предел lim f x kx ; если этот предел не су-

x

ществует или бесконечен, то график функции не имеет правой

асимптоты. Если lim f x kx b R, то правая асимптота су-

x

134

9.4.2. Найти точки экстремумов функций и промежутки возрастания и убывания:

а) y 5 2 x 2 ; б) y 3 x 3 2 3 x 5 2 ; в) y x3x 1.

9.4.3. Найти точки экстремумов функций:

а) y x2 6x 8 ; б) y x2 6x 8; в) y x2 6x 8 ;

г) y sinx ; д) y arcsin sinx .

135

9.4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в их областях существования:

а) y cosx; б) y arccosx; в) y 7x x2 10;

г) y ln 7x x2 10 .

9.4.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных интервалах:

9.5. Приближенные методы нахождения корней уравнений

При исследовании свойств функции y f x необходимо на-

первого рода (стационарных точек), которые могут быть экстремумами;

– корни уравнения f x 0 – абсциссы критических точек второго рода – возможные точки перегиба функции.

Будем представлять все указанные уравнения одним уравнением вида x 0.

136

Для многих видов уравнений x 0 отсутствуют точные методы определения корней, поэтому широко используются приближенные методы, которые разделяют на две группы:

–методы отделения корней;

–методы уточнения корней.

Методы отделения корней позволяют в области существования (определения) функции y x выделить отрезки, внутри

которых содержится только один корень. В этом случае справедлива теорема Больцано – Коши: если непрерывная функция y x на концах отрезка , принимает значения разных знаков, т.е. 0, то внутри отрезка содержится, по край-

ней мере, один корень уравнения x 0.

Общего алгоритма отделения корней не существует. В зависимости от особенностей функции используют, по существу, различные частные графические, аналитические и вычислительные приемы выделения отрезков, внутри которых содержится один корень. После выделения такого отрезка , можно существен-

но уменьшить его длину до заданной точности методами уточнения корней. Наиболее простым из таких методов является метод половинного деления (дихотомии), который позволяет с помощью простого удобного алгоритма уточнить значения корня уравнения с любой наперед заданной точностью. При этом на отрезке выделения корня уравнения x 0 функция y x

должна быть непрерывной и иметь разные знаки на концах этого отрезка.

Рассмотрим методику уточнения корня с использованием метода половинного деления на конкретном примере.

Пример. Найти корни уравнения sin2x lnx 0. Решение. Функция y sin2x – периодическая, а функция

y lnx – монотонно возрастающая, поэтому графики (рис. 9.21)

этих функций имеют единственную точку пересечения, которой соответствует нуль функции y sin2x lnx. Для отделения кор-

ня используем графический способ. Из графика следует, что значение корня лежит в промежутке 1; 1,5 . Таким образом, имеем

137

Точность 1 такого приближения равна половине длины проме-

жутка 1; 1,5 , т.е. 1 1,5 1 0,25. Корень лежит, вероятно, 2

внутри промежутка 1,25; 1,5 . Поверим эту гипотезу: y 1,25 sin2,5 ln1,25 0,5972 0,2231 0,82, y 1,5 sin3 ln1,5 0,14 0,41 0,27.

Рис. 9.21. Решение уравнения sin2x lnx 0

В крайних точках промежутка 1,25; 1,5 функция имеет раз-

ные знаки, поэтому за следующее приближение корня можно

138

= 0,03125. Продолжая процесс деления отрезка пополам, можно получить значение корня уравнения с любой заданной точностью.

Задачи к разделу 9.5

9.5.1.Уравнение x4 2x2 12x 8 0 имеет два действительных корня. Найти эти корни методом дихотомии с точностью до

0,01.

9.5.2.Уравнение x2 2x 5 2 2 x2 2x 5 x 5 имеет че-

тыре действительных корня. Найти эти корни методом дихотомии с точностью до 0,01.

9.5.3. Пользуясь методом дихотомии, найти корни следующих уравнений с точностью до 0,01:

а) x sinx 2; б) cosx x2 0; в) x ex 0. 10

9.5.4. Метод хорд приближенного решения уравнений состоит в следующем: пусть на промежутке , функция y x

имеет единственный корень и 0. Составляется урав-

нение прямой, проходящей через точки A ; и B ; и

находится точка A1 1, 1 пересечения этой прямой с осью абс-

цисс. По теореме Больцано – Коши определяется, на каком из промежутков , 1 или 1, находится корень уравнения, и

на этом промежутке снова строится аналогичная прямая. За последовательные приближения корня принимаются точки пересечения прямых с осью абсцисс, а за точность приближения – половина длины соответствующего промежутка приближения.

Спомощью метода хорд найти корни следующих уравнений

сточностью до 0,01:

а) x3 6x 2 0; б) x4 x 1 0.

139

9.6.Определение экстремальных значений функции

вприкладных задачах

Исследования экстремальных значений функции находят наиболее широкое применение в технических науках и инженерной деятельности.

Во многих случаях в прикладных задачах можно не использовать достаточные условия экстремума, а выбирать в качестве экстремальных значений те критические точки первого рода, которые соответствуют условиям прикладной задачи. Тогда достаточные условия экстремума можно использовать для проверки.

Пример 1. Из эллиптической заготовки (рис. 9.22) требу-

корнем выбран потому, что мы считаем длину стороны равной 2y, а длина по определению не может быть отрицательной), и

подставляем в уравнение площади прямоугольника. Тогда полу-

чаем S S x 4b xa2 x2 при 0 x a. Находим экстремумы a

функции S x , для этого сначала определяем критические точки первого рода из необходимого условия экстремума S x 0:

140