m0936

n , что все последующие члены последовательности с номера-

ми n n будут удовлетворять неравенству yn E.

Задачи к разделу 5.2

5.2.1. Построить график числовой последовательности (не менее десяти точек), используя данные таблицы; показать-окрестность заданного предела при 0,1; найти n при про-

извольном значении 0 и 0,1, если предел A известен; проверить правильность вычислений.

5.2.2. Дать геометрическую интерпретацию того, что последовательность имеет предел, равный бесконечности.

5.2.3. Сформулировать определение того, что lim yn .

n

5.2.4.Сформулировать определение того, что последовательность не имеет конечного предела.

5.2.5.Точкой сгущения последовательности в общем случае называется точка, в любой -окрестности которой имеется бесконечное количество членов последовательности. Составить последовательность с двумя точками сгущения. Что в этом случае можно сказать о пределе последовательности?

5.3.Основные свойства сходящихся последовательностей

Последовательности, имеющие конечные пределы, называ-

ются сходящимися.

Сходящиеся последовательности yn , zn обладают сле-

дующими свойствами:

11

1)предел сходящейся последовательности является единственным (т.е. последовательность не может иметь более одного предела);

2)если C const, то limC C;

n

5.3.2. Пусть yn – сходящаяся последовательность. Верны ли следующие равенства:

5.3.3. а) Доказать, что если последовательность yn сходит-

ся, а последовательность zn – нет, то последовательностиyn zn , yn zn не сходятся.

12

б) Доказать, что если последовательность yn сходится к числу, не равному нулю, а последовательность zn – нет, то по-

y

следовательности yn zn и n не сходятся.

zn

5.3.4.Привести пример несходящихся последовательностей

yn , zn таких, что:

5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Последовательность n f n называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если ее предел при n равен

нулю: lim n 0.

n

В задачах наиболее часто встречаются пределы б.м.п. сле-

Основные свойства б.м.п.:

1)сумма конечного количества б.м.п. является б.м.п.;

2)произведение конечного количества б.м.п. является б.м.п.;

3)произведение ограниченной последовательности на б.м.п. является б.м.п.;

4)произведение любого числа на б.м.п. остается б.м.п. Последовательность n называется бесконечно большой

(б.б.п.), если ее предел равен бесконечности: lim n .

n

13

Если n – б.б.п., то последовательность n 1 – б.м.п.

n

Свойства б.б.п. аналогичны свойствам б.м.п.

Задачи к разделу 5.4

5.4.1. Сформулировать свойства б.б.п., обращая внимание на то, что не все они получаются простой заменой б.м.п. на б.б.п.

5.4.2. Пусть n – б.м.п. Показать, что равенство lim 1

n n

может оказаться неверным.

5.4.3.Пользуясь основными свойствами б.м.п., доказать, что разность двух б.м.п. также является б.м.п.

5.4.4.Составить две б.б.п. n и n такие, что:

5.5. Вычисление пределов числовых последовательностей. Раскрытие неопределенностей

При вычислении пределов последовательностей сначала в общий член последовательности yn вместо n подставляют знак бесконечности и проводят условные операции с бесконечностями. В математике бесконечность рассматривается как математический объект, описывающий неограниченную переменную величину (б.б.п.).

Чтобы выполнять математические операции с бесконечностями { , }, их добавляют к множеству действительных чисел

14

в качестве несобственных элементов этого множества. Такое расширение числовой системы действительных чисел позволяет установить определенные правила условных операций с конечными величинами, бесконечностями и нулями. При таких операциях под нулями следует понимать б.м.п., под бесконечностью – б.б.п. Поэтому при условных операциях с нулями и бесконечностями используют основные свойства б.м.п. и б.б.п.

В частности, при вычислении пределов последовательностей

знак выбирается в зависимости от знака b и знака б.м.п. в знаменателе; ; ;

Некоторые формальные операции с нулями и бесконечностями приводят к неопределенностям, когда невозможно указать математический результат этих операций. В этих случаях производят тождественные математические преобразования с общим членом последовательности так, чтобы исключить неопределенности. Совокупность математических приемов и способов вычисления пределов последовательностей в случае неопределенностей называют раскрытием неопределенностей.

Для основных видов неопределенностей , 0, , 0 ,

0

0 , 00 , 1 разработаны специальные общие приемы раскрытия неопределенностей. Все другие виды неопределенностей сначала приводятся к основным неопределенностям с помощью тождественных преобразований общего члена последовательности под знаком предела.

Вычисления по раскрытию неопределенностей и нахождению предела прекращают, если получены следующие результаты:

15

A конечное число,

lim yn или ,

n

не существует.

Для раскрытия неопределенностей при необходимости числовую последовательность можно рассматривать как частный случай функции с непрерывным аргументом y f x , x R. При этом принимают, что дискретное множество значений непрерывной функции, определенное при x n, совпадает с соответствующими членами последовательности. Это позволяет распространять на числовые последовательности алгебраические и тригонометрические формулы, доказанные для функций с непрерывным аргументом.

Не существует единого правила вычисления пределов. Ниже рассмотрим правила, позволяющие вычислять пределы для некоторых видов последовательностей.

Правило 1. Рассмотрим предел вида

lim a1n 1 a2n 2 ... akn k , n b1n 1 b2n 2 ... bmn m

где a1,a2, , ak; b1,b2, ,bm; 1, 2, , k; 1, 2, , m– действи-

тельные числа, некоторые из которых могут быть равны нулю. В этом случае среди показателей степеней 1, 2, , k;

1, 2, , m находим наибольший (обозначим его ), выносим за

скобки в числителе и знаменателе n и сокращаем. В оставшихся выражениях выделяют б.м.п., пределы которых равны нулю. После исключения б.м.п. определяется значение предела.

Пример. Найти lim 4n3 2n 1 . n 2n3 3n2 2

Решение. Подставляем в общий член последовательности вместо n знак и, используя свойства б.б.п., полученную неопределенность общего вида приводим к основному виду неопределенности.

16

Замечание. Для сокращения записи вычислений б.м.п. целесообразно заменять нулями, так как их пределы по определению равны нулю. При определении вида неопределенности можно опускать конечные слагаемые и конечные множители, так как они не изменяют б.б.п.

Правило 2. Если в общем члене последовательности имеются корни различных степеней, то в зависимости от вида общего члена можно использовать либо замену переменной, либо избавление от иррациональности путем умножения на сопряженные математические выражения.

Решение:

lim n n 1 n [ ] [ ]

17

n 3n 2 2n 3

5.6. Использование «замечательных» пределов для раскрытия неопределенностей

Эффективным способом раскрытия неопределенностей является способ приведения общего члена последовательности к виду, позволяющему использовать известные пределы. Некоторые из этих пределов называют «замечательными» и широко используют при решении задач.

Первый «замечательный» предел limn sin 1 1.

n n

18

Пример. Найти lim 1 cos2 n .

n 0 n sin n

Решение:

Пределы показательно-степенных последовательностей вида

lim f n n приводятся ко второму «замечательному» пределу,

n

если lim f n 1, lim n .

n n

19