Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1262 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

m0936

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
7.46 Mб
Скачать
☆

12.2.Основные свойства неопределенных интегралов

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

f x dx F x C f x .

На основании этого свойства правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием первообразной. После дифференцирования должны получить подынтегральную функцию f x .

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до произвольной постоянной:

dF x F x C.

3.Дифференциал от неопределенного интеграла равен дифференциалу первообразной и равен подынтегральному выражению:

d f x dx dF x f x dx.

Из свойств 2 и 3 следует, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно компенсируют друг друга.

4. Постоянный множитель можно вносить под знак интеграла (и дифференциала) и выносить из-под него:

A f x dx Af x dx f x d Ax .

5. Неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций:

A1 f1 x A2 f2 x An fn x dx

A1 f1 x dx A2 f2 x dx An fn x dx.

Свойства 4 и 5 являются линейными свойствами неопределенного интеграла.

6. Любая формула для вычисления интеграла сохраняет свой вид, если переменную интегрирования в подынтегральном выражении заменить на дифференцируемую функцию u u x . В ма-

тематической форме

это можно представить так:

если

f x dx F x C, то

f u du F u C, где

u u x –

произ-

вольная дифференцируемая функция.

 

 

211

Это свойство вытекает из независимости (инвариантности) формы дифференциала сложной функции от выбора переменной (основной или промежуточной).

Задачи к разделу 12.2

12.2.1. Пользуясь свойством 1, доказать следующие равенства:

а)

в)

д)

ж)

и)

x

 

 

 

2

 

x2

 

 

 

 

 

 

C; б)

 

 

dx

 

 

ctgx C;

 

xdx

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

dx

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

C; г)

 

 

dx

 

 

1

 

 

2 x

 

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C; е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

x2 5

tgxdx ln

cosx

C;

 

 

 

 

 

 

x2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgxdx ln

 

sinx

 

C; з)

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

x

 

 

C.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.2.2. Пользуясь свойством 5, доказать, что неопределенный интеграл от разности равен разности неопределенных интегралов.

12.3. Табличные интегралы

Каждая формула для производной конкретной функции

F x dF x f x может быть обращена и представлена в виде: dx

f x dx dF x F x C.

Пример. sin x cosx cosxdx sin x C.

Используя данный способ вычисления и свойства неопределенных интегралов, составляют список основных табличных интегралов, первообразные которых являются основными элементарными функциями, а производные от правых частей совпадают с подынтегральными функциями. Этот список расширяют за счет нескольких интегралов, наиболее часто встречающихся при вычислениях. Кроме того, в исходную таблицу (табл. 12.1) неопределенных интегралов часто включают список интегралов с промежуточной переменной интегрирования u u x , используя свойство 6 (см. раздел 12.2).

212

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 12.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С основной переменной

 

 

 

 

С промежуточной переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования u u x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx F x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f u du F u C

1

 

x dx

 

 

x

1

C; R, 1

 

u dx

 

u

1

C; R, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важные частные случаи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1а

 

0dx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0du C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1б

 

1dx x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1du u C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1в

 

 

dx

 

 

ln

 

x

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

ln

 

u

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

axdx

 

 

 

 

a

x

 

 

 

C ; a 0, a 1

 

audx

 

 

 

a

u

 

 

C ; a 0, a 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2а

 

exdx ex C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eudx eu C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

sinxdx cosx C

 

 

 

 

 

sinudu cosu C

 

 

 

4

 

cosxdx sinx C

 

 

 

 

 

cosudu sinu C

 

 

 

5

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

ctgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

ctgu C

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

2

u

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

tgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

tgu C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

arcsinx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

arcsinu C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

arctgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

arctgu C

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

1 u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дополнительные табличные интегралы

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

u

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

10

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

arctg

x

C, a const

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

1

arctg

u

C, a const

 

a

2

 

 

 

 

2

 

 

a

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

x2 a2

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

u u2 a2

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

ln

 

a x

 

C;

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

1

 

ln

 

a u

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

a

2

 

u

2

 

 

 

 

 

 

a u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

a

 

,

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

a

 

,

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

213

Окончание табл. 12.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С основной переменной

 

 

 

С промежуточной переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования u u x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx F x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f u du F u C

 

 

13

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

1

ln

 

x

2

a

2

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

udu

 

 

 

1

 

ln

 

u

2

a

2

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

a

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

a

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

a

,

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

a

,

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 a2 du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

a2 ln x

 

 

 

C;

 

1

u

 

 

 

a2 ln u

 

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 a2

u2 a2

 

 

x2 a2

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 u2du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

a

 

x

 

 

a

 

arcsin

 

 

 

C;

 

 

 

 

 

 

u

a

 

u

 

a

 

arcsin

 

 

C;

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Каждая формула таблицы справедлива в том интервале, в котором непрерывна подынтегральная функция (в общем случае для подынтегральной функции можно требовать менее ограничительного свойства, чем непрерывность, но для функций из таблицы это не противоречит общности).

Правильность дополнительных табличных интегралов легко проверить дифференцированием правых частей (первообразных).

Пример. Проверить дифференцированием правильность

формулы

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

ln

 

a x

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

2

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

a x

.

 

 

1. При

 

0 выполняется равенство

 

 

 

a x

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

1

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a x

 

 

1

 

 

a x

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

2a a x

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 a x

 

 

a x a x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

a x

 

 

 

a x 2

a2 x2

 

 

 

 

 

 

214

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. При

a x

0 выполняется равенство

 

a x

 

 

 

x a

.

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

x a

 

 

1

 

a x

 

 

 

 

 

1

 

x a

 

 

 

 

 

1 x a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

C

 

 

 

 

 

ln

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

2a

x a

 

 

 

2a x a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x a

 

x a x a

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

x a

 

x a 2

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи к разделу 12.3

 

 

 

 

 

 

12.3.1. Показать,

что

 

формула

 

dx

ln

 

x

 

C

 

 

справедлива

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при x 0.

12.3.2.Проверить дифференцированием правильность формул интегрирования 9–15 из дополнительного списка табличных интегралов.

12.3.3.Пользуясь только таблицей интегралов, найти следующие неопределенные интегралы:

а)

ж)

3xdx; б) dx ; в) x

dx

3 x3 x ; з)

 

 

 

dx

 

x3 7

 

 

 

dx

; е)

 

dx;

 

 

; г)

 

 

 

 

10x

 

xdx; д)

 

5

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; и)

 

1 x2

dx.

 

x 1 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.3.4. Пользуясь таблицей интегралов и свойством 4 из раздела 12.2, найти интегралы:

а)

dx

 

; б)

 

5xdx; в) 2x 5dx; г) 23x 2dx; д)

 

dx

.

10x

2

2 x

 

 

 

 

 

 

3

 

12.3.5. Пользуясь таблицей интегралов и свойством 5 из раздела 12.2, найти интегралы:

а) 3x2 5x 2 dx; б) 2cosx 3sinx dx; в) x2 5 2 dx;

г) x2 x 1 3dx; д) x 1 x 1dx; е) 2x 1 3x 1 5x 1dx.

12.4.Общие методы интегрирования

Вматематике и ее приложениях часто встречаются не табличные интегралы. Основная руководящая идея нахождения таких интегралов заключается в том, чтобы с помощью тождест-

215

венных математических преобразований и замен переменных привести исходный интеграл к другим интегралам, значения которых известны. Обычно такие интегралы являются табличными.

Наиболее общими методами интегрирования не табличных интегралов являются следующие:

–метод интегрирования с помощью поправок;

–метод подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала;

–метод разложения (метод представления подынтегральной функции в виде линейной комбинации более простых функций);

–метод интегрирования с заменой переменной (прямая и обратная подстановки);

–метод интегрирования по частям.

Во многих случаях указанные методы используются совместно. Рассмотрим общие методы интегрирования подробнее.

12.4.1. Метод интегрирования с помощью поправок

Область применения табличных интегралов можно существенно расширить, используя следующие свойства дифференциала:

– если к переменной под знаком дифференциала прибавить (или вычесть из нее) постоянную величину, то значение дифференциала не изменится:

dx d x b , b const;

– если переменную под знаком дифференциала умножить на постоянную величину, а дифференциал в целом разделить на ту же величину, то значение выражения не изменится:

dx

1

d ax ,

a const,

a 0.

 

 

a

 

 

Используя поправки, можно согласовать в неопределенном интеграле переменную интегрирования и промежуточный аргумент сложной подынтегральной функции и таким образом прийти к табличному интегралу:

f x b dx f x b d x b x b u f u du;

11

f ax dx a f ax d ax ax u a f u du.

216

После определения значения интеграла с новой переменной возвращаемся к исходной переменной.

Метод поправок является, по существу, важным частным случаем метода замены переменных (см. подраздел 12.4.4).

Рассмотрим примеры применения метода поправок. Пример 1. Найти интеграл cos 3x 2 dx.

Решение. С помощью поправок изменим переменную интегрирования под знаком дифференциала и согласуем ее с промежуточной переменной сложной подынтегральной функции.

 

cos 3x 2 dx cos 3x 2

1

d 3x 2 3x 2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosu du

 

sinu C

sin 3x 2 C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

2

1 u

2

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsinu C arcsin x C. a

12.4.2. Метод подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала

Метод основан на подведении части подынтегральной функции под знак дифференциала. Эта операция является обратной по отношению к вычислению дифференциала и может вызвать определенные трудности на первоначальном этапе ее применения.

Названный метод целесообразно применять в случае, когда

подынтегральное выражение

f x dx

раскладывается на множи-

тели f x g x x dx,

x 1,

иными словами,

если под

 

 

 

 

знаком интеграла присутствуют некоторая функция

x и ее

производная x в качестве множителя. Если это так, то инте-

217

грал удастся существенно упростить, а во многих случаях и найти его значение.

Рассмотрим общую схему интегрирования с подведением под знак дифференциала части подынтегральной функции.

1. Разложить функцию f x на множители:

f x g x x

(если это не удается, то следует использовать другие методы интегрирования).

2. Записать подынтегральное выражение в виде

f x dx g x d x

(так как x dx d x .

3.Сделать замену переменной x u, при этом интеграл примет вид: g u du.

4.Найти значение полученного интеграла (если это не удается, то следует применить другой метод интегрирования).

5.В найденном значении интеграла сделать обратную замену u x .

Рассмотрим конкретные примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти интеграл

 

 

 

 

lnx

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

lnx

 

dx

 

 

lnx

ln x

 

dx

 

ln xd ln x

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnx u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

udu u2du

u2 C

 

lnx

 

C.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти интеграл tg xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg xdx

 

 

 

 

sin xdx

 

sin x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx dx

 

 

 

 

 

 

 

 

d cosx

 

 

 

cosx

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx u duu ln u C ln cosx C.

218

Операция подведения под знак дифференциала части подынтегральной функции, по существу, является операцией интегрирования, которая выполняется в рассматриваемом методе в неявной форме на эвристическом уровне (т.е. присутствует элемент догадки) или с использованием специальной таблицы вида:

darcsinx

 

dx

, d ln

 

x

 

 

dx

и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

x

На первоначальном этапе усвоения метода интегрирования с подведением под знак дифференциала целесообразно использовать второй метод, в котором указанная операция выполняется в явной алгоритмической форме с помощью вычисления дополнительного (обычно табличного) интеграла. Рассмотрим этот метод подробно.

Пусть необходимо вычислить интеграл J f x dx.

1. Подынтегральную функцию f x представляем в виде произведения двух функций, из которых первую рассматриваем как сложную функцию, а вторую функцию подводим под знак дифференциала интегрированием:

Jf x dx g x x dx.

2.Для подведения второй функции под знак дифференциала для нее вводят две взаимоисключающие операции (вычисление дифференциала и интегрирование), а фактически выполняют

только одну операцию – интегрирование:

J g x x dx [ x dx d x dx d x ]

g x d x [ x u] g u du.

Замечание. Если указанные операции выполнить не удается, то исходный интеграл разобранным методом вычислить нельзя.

Пример 3. Найти интеграл

 

cosxdx

.

 

 

Решение:

 

 

sinx 2

 

 

 

 

 

 

cosxdx

[cosxdx d

cosxdx dsinx d sinx 2 ]

sinx 2

 

 

 

 

 

219

 

 

 

 

1

 

d sin x 2 sin x 2 u

du

ln

 

u

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x 2

 

ln sin x 2 C.

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти интеграл

 

arctg4 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg4 xdx

 

 

4

 

dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d arctgx

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

1 x

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

arctgx u

 

 

 

4

 

 

 

u5

 

 

 

 

arctg5

x

 

 

arctgx

d arctgx

u

 

du

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

C.

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.4.3.Метод разложения подынтегральной функции

Вметоде разложения подынтегральную функцию с помощью формул преобразования тригонометрических и алгебраических функций представляют в виде линейной комбинации более простых функций. Это позволяет представить исходный интеграл в виде суммы более простых по структуре интегралов, которые вычисляются отдельно.

Впростейшем случае непосредственного интегрирования исходный интеграл раскладывается на табличные интегралы элементарными («школьными») методами.

Пример 1. Найти интеграл 6x 1dx. 2x

Решение:

 

 

 

6

x

1

 

 

 

 

2

x

3

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

x

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dx

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ln3

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

ln3

2

 

ln2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

1

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln3

 

2x ln2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

220

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности