m0936

Элементарные функции, полученные из табличных с помощью арифметических операций, будем называть составными. Для составных функций справедливы следующие правила дифференцирования (если правые части равенств имеют смысл):

1) u v w ... u v w ... – производная суммы конечного числа функций равна сумме производных;

2)u v u v uv ;

3)C u Cu , где C const, – постоянный множитель вы-

носится за знак производной;

Примеры. Найти производные составных функций, используя табличные производные и правила дифференцирования:

f x g x не имеют производных в этой точке.

81

8.3.2. Привести пример функции f x , имеющей производ-

ную на всей числовой прямой, и функции g x , не имеющей про-

изводной в точках x1, x2, , xn , но таких, что функция f x g x

имеет производную на всей числовой прямой.

8.3.3. Привести пример функций f x , g x , которые не име-

ют производных в точке x0 , но:

а) функция f x g x имеет производную в этой точке;

б) функция f x g x имеет производную в этой точке;

в) функция f x g x имеет производную в этой точке.

8.3.4.Используя формулу u v u v uv , доказать, что:

а) u v w u vw uv w uvw ;

б) f g h s f ghs fg hs fgh s fghs .

8.3.5.Найти производные следующих функций:

8.4. Способы вычисления производных сложных функций

Для вычисления производных сложных функций используют различные способы, в основе которых лежит цепное правило дифференцирования.

Пусть дана сложная функция, которую можно разложить на табличные функции при ведении промежуточных аргументов:

y f x u x , v u , yv f v ,

где x – основной аргумент (независимая переменная); u, v – про-

межуточные аргументы. Промежуточные аргументы являются функциями независимой переменной x u u x ,v v x . После разложения производную сложной функции находят, используя цепное правило:

82

yx yv vu ux .

Рассмотрим способы вычисления производных сложных функций.

Первый способ (классический) основан на предварительном полном разложении сложной функции на табличные функции с явным введением промежуточных аргументов. Затем используется цепное правило.

Пример 1. Найти производную yx для функции y arcsin1 4x.

Решение.

1. Разбиваем сложную функцию на табличные с введением промежуточных аргументов:

yarcsin1 4x [u 1 4x,v u, yv arcsinv].

2.Дифференцируем табличные функции по промежуточным

аргументам и затем переходим к основному аргументу:

3. Перемножаем производные табличных функций, используя цепное правило, и получаем окончательный результат:

83

Второй способ (переход от простого к сложному). Этот способ заключается в том, что сначала выделяют табличную функцию с основным аргументом и дифференцируют ее. Затем эту функцию принимают за промежуточный аргумент, выделяют следующую табличную функцию с этим аргументом и дифференцируют по этому аргументу и т.д. Промежуточные аргументы обычно не вводят в явном виде.

Пример 1. Найти производную функции y arctg ln sin x3 .

Решение:

Явное указание промежуточных аргументов целесообразно опускать, выполняя их в уме. Это существенно сокращает вычисления.

Пример 2. Найти производную функции y sin2 1 x2 .

Решение:

Если сложные функции связаны между собой арифметическими операциями, то получаем сложносоставную функцию, при вычислении производной которой дополнительно используют правила дифференцирования, аналогичные указанным выше.

84

Замечание. Для правильного вычисления производных сложных функций необходимо хорошее знание таблицы производных и устойчивые навыки разложения сложной функции на табличные. При этом необходимо владеть двумя способами вычислений, чтобы один из способов использовать для проверки правильности вычислений.

Задачи к разделу 8.4

8.4.1. Найти производные функций:

yarctg3x .

8.4.3.Найти производные функций:

8.4.4. Найти производные функций:

а) y sin sin sin x ; б) y x x x ; в) y ln x ln x lnx ; г) y 2x 2x 2 .

85

8.4.5. Найти производные функций:

8.5. Логарифмическое дифференцирование

Способ вычисления производной, при котором функцию сначала логарифмируют, а затем дифференцируют как сложную функцию, называется логарифмическим дифференцированием:

y y x ln y x ln y x x ;

При логарифмическом дифференцировании удобнее не использовать приведенную выше готовую формулу, а выполнять последовательно операции логарифмирования и дифференцирования.

Логарифмическое дифференцирование целесообразно использовать при вычислении производной функции, содержащей в своем составе произведения и отношения других функций, а также для вычисления производных показательно-степенных функций вида y f x x .

86

используют также второй способ, основанный на представлении

как сложной функции.

Этот способ, по существу, является разновидностью первого способа, так как при выводе формулы y f x x e x ln f x ис-

пользуется логарифмирование или равносильные ему действия.

Пример. Найти производную функции y xarctgx .

Решение:

y xarctgx earctgx ln x;

87

Задачи к разделу 8.5

8.5.1. Используя логарифмическое дифференцирование, найти производные функций:

8.5.2. Используя логарифмическое дифференцирование, найти производные функций:

г) y x2 3x 4 x2 4x 5; д) y xxx .

8.6. Вычисление производных высших порядков

Производной второго порядка функции y y x называется производная от ее производной. Производной третьего порядка называется производная от ее второй производной. Производной четвертого порядка называется производная от ее третьей производной.

Замечание. Аналогично можно определить производные любого по-

В соответствии с определением производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляют последовательным дифференцированием производных предыдущих порядков. При этом используются те же табличные производные и правила дифференцирования, которые применялись для вычисления производных первого порядка.

88

Пример. Найти производную второго порядка функции