m0936

8.7.3. Считая параметр t положительным, изобразить в прямоугольной системе координат линии из задачи 8.7.1:

а) определить, сколько различных непрерывных функций задает каждая из этих линий;

б) определить, в каких точках этих линий производная бесконечна и в каких не существует.

8.8. Производные неявных функций

Неявной функцией будем называть функцию, представленную в виде уравнения с двумя аргументами F x, y 0. При этом один аргумент считается функцией другого аргумента y y x .

Для нахождения производной функции y y x , заданной

как неявная функция, необходимо продифференцировать обе части равенства F x, y 0 и выразить y из полученного уравне-

ния. При этом в процессе дифференцирования выражения F x, y

необходимо учитывать, что переменная y сама является функцией.

При нахождении второй производной дифференцируют ра-

91

8.8.2. Уравнение может не задавать ни одной функции, может задавать единственную непрерывную функцию и может задавать несколько (даже бесконечно много) непрерывных функций. Изобразив, если это возможно, в системе координат заданную линию, определить, сколько непрерывных функций задает ее уравнение (считая область определения совпадающей с областью существования):

92

8.8.5. Найти yx для неявно заданных функций:

2 2 2

а) x2 y2 R2; б) x3 y3 R3 .

8.9. Вычисление пределов функций с помощью производных (правило Бернулли – Лопиталя)

Правило Бернулли – Лопиталя используют для раскрытия не-

функций. С помощью этого правила вычисление предела отношения функций сводится к пределу отношения производных этих функций:

При этом должны выполняться следующие условия:

– функции f x и g x должны быть определены и диффе-

ренцируемы в некоторой проколотой окрестности предельной точки x a (или соответственно в окрестности бесконечности), при этом

– в любой достаточно малой окрестности точки x a производная функции g x не обращается в ноль: g x 0.

При вычислении пределов функций с помощью правила Бернулли – Лопиталя необходимо учитывать, что:

–правило можно использовать многократно, используя повторное дифференцирование;

–для раскрытия неопределенностей других видов функцию под знаком предела необходимо привести с помощью тождест-

93

Решение:

можно использовать правило Бернулли – Лопиталя:

После четырехкратного дифференцирования неопределенность раскрыта и предел вычислен.

Понятно, что если предел существует, то он равен либо ,

94

При нахождении предела показательно-степенной функции y f x x , если имеет место неопределенность, предварительно используют логарифмирование, а затем тождественные математические преобразования, приводящие к неопределенности вида

3

Пример 3. Найти lim cos2x x2 .

x 0

Решение:

3

lim cos2x x2 1 A.

x 0

Принимаем, что предел имеет некоторое конечное значение A, и логарифмируем обе части равенства:

Используя свойство предела функции, меняем местами операции логарифмирования и предела. Затем логарифмируем функцию под знаком предела и вычисляем предел, используя правило Бернулли – Лопиталя.

Второй способ вычисления предела показательно-степенной функции основан на использовании тождества

95

Пример. Найти lim xtgx .

x 0

Решение:

Задачи к разделу 8.9

8.9.1. Вычислить пределы, используя правило Бернулли – Лопиталя:

96

8.9.4. Вычислить пределы, используя правило Бернулли – Лопиталя:

8.10.Некоторые геометрические приложения производных

8.10.1.Определение уравнений касательной и нормали к кривой

Уравнение касательной в точке M0 x0, y0 к графику гладкой функции y f x имеет вид:

y y0 k x x0 ,

где k tg 0 f M0 – угловой коэффициент касательной, 0 –

угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 8.1).

Уравнение нормали можно представить так:

1

y y0 f M0 x x0 .

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к гра-

фику функции y x 5 в точке M0 с абсциссой x0 1.

Решение. Находим значение функции в точке x0 1:

Находим угловой коэффициент касательной:

Тогда уравнение касательной в точке M0 1; 2 имеет вид:

y 2 1 x 1 y x 9. 4 4 4

97

Для построения касательной (рис. 8.3) находим координаты еще одной точки (например,

Замечание. Для построения прямой (в частности касательной или нормали) достаточно знать коорди-

наты двух точек; для построения кривых обычно необходимо найти координаты не менее трех точек.

точке M0 1; 3 .

Решение. Уравнение x2 y2 4 0 задает окруж-

ность радиуса R 2 с центром в начале координат (рис. 8.4), координаты точки

98