m0936

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Часть II

НОВОСИБИРСК

2014

УДК 51:001.4 ББК 22.1я73 П691

Практикум по высшей математике для технических

П691 специальностей /И. А.Вылегжанин, А.В. Пожидаев, П. И. Остроменский, Л. Г. Шандаров. – Новосибирск :Изд-во СГУПСа, 2014. – Ч. II. – 290 с.

ISBN 978-5-93461-633-6 (ч. II) ISBN978-5-93461-614-5

Представлены следующие темы высшей математики: основы теории пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления, неопределенный интеграл, которые изучаются на практических занятиях и самостоятельно во втором семестре первого курса большинства технических специальностей.

Предназначен для студентов технических специальностей, изучающих строительство зданий и сооружений, железных и автомобильных дорог, эксплуатацию подъемно-транспортных, строительных и дорожных машин, а также транспортного оборудования.

УДК 51:001.4

ББК 22.1я73

Утвержден к изданию на заседании редакционно-издательского совета университета.

Ответственный редактор канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Вдовин

Р ец ен з ен т ы:

кафедравысшейматематикиНГУЭУ(завкафедройканд.физ.-мат.

наук, доц. Ю.Н. Владимиров)

завкафедрой прикладной математики НГТУ д-р техн. наук, проф.

Ю.Г. Соловейчик, д-р техн. наук М.Э. Рояк

Предисловие

Опыт использования части I практикума в 2011/12 учеб. г. при обучении студентов первого курса инженерных специальностей СГУПСа показал, что принятая форма изложения учебного материала является достаточно удачной и эффективной.

Учебный материал разбит на отдельные, по возможности замкнутые, темы. Каждая тема содержит:

–краткий теоретический материал, необходимый для решения типовых задач по теме;

–подробное изложение методик решения разных видов типовых задач;

–задачи в количестве, достаточном для проведения аудиторных занятий (2–3 ч в неделю) и самостоятельного решения (с ответами);

–прикладные задачи, которые с помощью методов математического моделирования приводятся к математическим задачам, методики решения которых изучаются в теме;

–образцы решенных задач с текстовыми пояснениями;

–подробный перечень конкретных требований к практическому усвоению студентом каждой темы.

Указанный перечень позволяет студенту и преподавателю, ведущему практические занятия, однозначно понимать, что должен знать и уметь студент после изучения темы. Кроме того, компактное представление знаний и умений в виде перечня дает возможность преподавателям других кафедр быстро оценить уро-

3

вень компетентности, который будет иметь студент при успешном изучении темы.

Объем учебных материалов, приведенный в части II практикума, соответствует государственным образовательным стандартам третьего поколения для специалистов, изучающих дисциплину общим объемом 570–650 учеб. ч, и бакалавров, которым на овладение дисциплиной выделяется 360–440 учеб. ч, по инже- нерно-техническим направлениям подготовки в области строительства и эксплуатации железных и автомобильных дорог, транспортных мостов и тоннелей, разработки и эксплуатации подъем- но-транспортных и технологических машин и оборудования.

При самостоятельном решении задач необходимо приводить краткие пояснения, которые:

–повышают понимание и усвоение логической последовательности шагов решения задач;

–позволяют сформировать оценочные суждения при выборе наиболее рационального варианта решения из нескольких возможных;

–способствуют выработке навыка перенесения изучаемого алгоритма решения на аналогичные задачи практикума и далее на похожие расчетные ситуации в инженерной деятельности.

При изучении математического анализа особое внимание необходимо уделять геометрической и прикладным интерпретациям аналитических вычислений. Эффективные приложения математики в инженерной деятельности в значительной степени связаны с удачными интерпретациями.

4

Введение

Математический анализ – часть математики, в которой изучаются методы исследования функций и операции с математическими объектами, содержащими функции, на основе предельных переходов (пределов).

Физические явления, законы движения и процессы взаимодействия в технических системах обычно описываются с помощью функций и математических объектов, содержащих функции. Поэтому хорошее знание основ математического анализа является важнейшей частью математического образования инженера. Эти знания, безусловно, необходимы для осознанного качественного усвоения общетехнических и специальных учебных дисциплин, а также успешного использования в инженерной деятельности при математическом моделировании технических и производственных систем.

В общем случае числовая функция – математический объект, характеризующий однозначное соответствие между элементами двух числовых множеств.

Общее обозначение функции – f : X Y , где числовое множество Х – область существования (область определения)

функции; числовое множество Y – область значений функции;

f– условное обозначение (знак) функции.

Вкурсах высшей математики, ориентированных на инженерные, экономические и другие приложения, любой элемент из множества Х обычно называют независимой переменной (аргу-

ментом). Любой элемент из области значений функции называ-

ется зависимой переменной величиной, или значением функции.

Функциональную зависимость между указанными переменными

выражают в виде: y f x , y f x1,x2, ,xn и т.п.

Функции классифицируют по разным критериям. В частности, класс функций действительных переменных, аргументами которых являются действительные числа, можно разбить на четыре существенно различных класса:

5

1)скалярные функции одной переменной y = f(x), у которых аргументом являются скалярные величины (дискретные или непрерывные);

2)векторные функции одного скалярного аргумента: r r(t), где t R;

3)скалярные функции нескольких скалярных аргументов или

одного векторного аргумента: y y(x1,x2, ,xn ) либо y y(r),

где r x1,x2, ,xn , x1,x2, ,xn Rn;

4) векторные функции одного векторного аргумента:

rf .

Вчасти II практикума будем рассматривать скалярные функции одной действительной переменной и математические объекты, существенно связанные с этими функциями, а также векторные функции одного скалярного аргумента. Функции нескольких переменных и их приложения изучаются в части III практикума.

Тема 5: Числовые последовательности

иих пределы

5.1.Исходные положения

Числовой последовательностью называется дискретная функция fn : N R, описывающая соответствие между числами из множества натуральных чисел n N и числами из множества действительных чисел y R.

В развернутом виде числовую последовательность представляют так: y1, y2, , yn, yn ; yn – общие члены последова-

тельности, которые, как правило, представляются в виде формул, позволяющих определить любой член последовательности по его номеру (или по значениям одного или нескольких предыдущих членов); yn , vn , an – условные обозначения последователь-

ности в целом.

Примеры:

6

2)1, 1,1, 1,1, , 1 n 1, 1 n 1 ;

3)десятичные приближения числа 2: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … .

Общий член последовательности может быть представлен рекуррентной формулой, позволяющей определить последующий член, если известны один или несколько предыдущих членов.

Из школьной математики известны два вида последовательностей: арифметические и геометрические прогрессии. Члены арифметической прогрессии можно определить с помощью общей формулы

an a1 n 1 d ,

где а1 – первый член последовательности; d – разность прогрессии. Их можно также определить с помощью рекуррентной формулы an an 1 d, позволяющей находить каждый последующий член по предыдущему. Аналогичные формулы имеют место и для геометрической прогрессии:

bn b1qn 1,

где b1 – первый член геометрической прогрессии; q – ее знаменатель (общая формула); bn bn 1q – рекуррентная формула.

В приложениях важную роль играют монотонные и ограниченные последовательности.

Монотонными называются возрастающие y1 y2 ... yn ...

и убывающие y1 y2 ... yn ... последовательности.

Примеры:

тонно возрастающая последовательность;

7

2)1, 2, 3, 4, 5, … – ограниченная снизу, но не ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность;

3)1, –1, 1, –1, 1, …, (–1)n+1, … – ограниченная M 1 немо-

нотонная последовательность;

4) 1, –2, 3, –4, 5, …, (–1)n+1n, … – неограниченная немонотон-

ная последовательность.

Задачи к разделу 5.1

5.1.1. Для следующих последовательностей определить пять их первых членов:

5.1.2. Для следующих последовательностей выписать по пять их первых членов:

Убедиться, что последовательность б данной задачи совпадает с последовательностью б предыдущей задачи.

5.1.3. Для следующих последовательностей выписать по пять членов, начиная с третьего:

а) f1 = 1; f2 = 1; fn = fn–1 + fn–2 (числа Фибоначчи);

б) g1 1; g2 1;gn 2gn 1 3gn 2 .

5.1.4. Проверить, является ли последовательность монотонной и ограниченной:

5.1.5. Доказать, что последовательность монотонна и ограничена:

1

а) t1 1; tn tn 1 2n ; б)u1 2; un 2 un 1 .

8

5.2. Предел числовой последовательности. Геометрическое представление предела последовательности

Число A называется пределом числовой последовательности

yn , если при неограниченном увеличении числа n (n ) для любого заранее выбранного как угодно малого числа 0 найдется такой член последовательности с номером n , что все по-

следующие члены последовательности с номерами n n будут находиться внутри интервала

(антье) числа 1.

1

Проверка. Пусть 0,2, тогда n 0,2 1 6.

0,2

9

n 5 все члены последовательности будут находиться внутри ин-

Рис. 5.1. Графическое изображение предела последовательности

Из таблицы и рис. 5.1 следует, что при n график функции (последовательности) стремится к прямой линии y A 1,

которая соответствует пределу последовательности.

Интервал A , A называется -окрестностью пре-

дельной точки A (числа A).

Замечание. Общее математическое определение предельной точки несколько шире, но оно нам пока не понадобится.

Числовая последовательность yn имеет предел, равный бес-

конечности (или плюс бесконечности) (lim yn ), если при

n

n для любого заранее выбранного как угодно большого числа E 0 найдется такой член последовательности с номером

10