m0936

6.7.3.Бесконечно большие функции можно классифицировать по тому же принципу, что и бесконечно малые. Определить, что значит бесконечно большая функция более высокого порядка

ичто такое эквивалентные бесконечно большие функции.

6.7.4.Используя определение из задачи 6.7.3, проверить, будут ли эквивалентны две данные б.б.ф. при x :

а) x3 2x2 3x 4 и x3 1000x2 10000000;

б) x2 3x3 2x 6 и x3 x2 5x 2.

6.8. Вычисление пределов функций одной действительной переменной. Раскрытие неопределенностей

Вычисление пределов начинают с подстановки предельных значений аргумента x a или x в функцию под знаком предела. После этого производят алгебраические операции по упрощению функциональных зависимостей и получению конечного результата в виде:

A конечное ненулевое число,

lim 0,

x a

.

При условных операциях с нулями и бесконечностями под нулями понимают б.м.ф., под бесконечностями – б.б.ф. (подробности см. в разделе 5.5).

Если при условных операциях с нулями и бесконечностями получена неопределенность общего вида, то функцию под знаком предела преобразуют так, чтобы получить одну из основных не-

определенностей: , 0, , 0 , 0 , 00 , 1 .

0

Для раскрытия основных неопределенностей используют приведенные ниже правила.

42

Правило 1.

При вычислении пределов функции на бесконечности с не-

определенностью используют те же приемы, что и при вычис-

лении пределов последовательностей:

которых можно вынести множители xm и xn , где m, n – наи-

большие степени в функциях f1 x , f2 x .

В функциях 1 x , 2 x выделяют б.м.ф., пределы которых при x равны нулю.

Пример 1.

43

Правило 2.

При вычислении пределов функции с неопределенностью 0 0

используют те же приемы, что и при вычислении пределов последовательностей:

При вычислении предела в точке a правило 1 не применимо.

В этом случае в числителе и знаменателе необходимо выделить множители x a и сократить. После этого неопределен-

ность, как правило, раскрывается.

При выделении двучленов вида x a в общем случае ис-

пользуют деление полиномов уголком. В частных случаях применяют формулы, известные из школьного курса математики, например,

x2 a2 x a x a , x3 a3 x a x2 xa a2 , x3 a3 x a x2 xa a2 .

Правило 3.

Перевод иррациональностей из числителя в знаменатель и наоборот осуществляется за счет умножения на сопряженную иррациональность.

44

Правило 3 позволяет во многих случаях раскрывать неопределенность вида .

Пример.

Правило 4.

Если функции в пределе lim f1 x содержат иррациональ-

x a f2 x

ные выражения различных степеней, затрудняющие или не позволяющие использовать правила 1–3 непосредственно, то предварительно производят замену переменной, позволяющую избавиться от корней. В результате приходят к отношению полиномов и используют правило 1 или 2.

Пример.

Замечание. НОК – наименьшее общее кратное.

Правило 5.

При вычислении предела показательно-степенной функции

lim f x x , если имеем неопределенность общего вида, то с

x a

помощью тождественных математических преобразований приводим указанную функцию к неопределенности [1 ] или выражению q .

45

При неопределенности [1 ] из функции под знаком предела выделяют второй «замечательный» предел и заменяют его на постоянную величину. Затем вычисляют предел показателя степени как функции и получают окончательный результат.

ность общего вида, поэтому преобразуем функцию под знаком предела с целью приведения к основной неопределенности.

Выделяем второй «замечательный» предел:

e3

Если показательно-степенная функция приводится в пределе

46

Правило 6.

0

Если при неопределенности в составе функции под зна-

0

ком предела содержатся тригонометрические функции, то из исходной функции выделяют первый «замечательный» предел. В результате, как правило, неопределенность устраняется или выражение под знаком предела существенно упрощается.

Пример 1.

сле этого выделяют первый «замечательный» предел.

Пример 2.

Правило 7.

0

При неопределенности вычисление пределов можно

0

производить с помощью эквивалентной замены функций, если x 0 или x 0 (см. раздел 6.7).

47

Замечание 1. Эквивалентную замену функций нельзя непосредственно использовать, если в числителе или знаменателе имеет место разность функций одного порядка 0 0 (см. пример 1 к правилу 6). В подобных случаях необходимо сначала преобразовать математическое выражение под знаком предела так, чтобы исключить б.м.ф. функций одного порядка, и затем использовать эквивалентную замену функций.

Замечание 2. Эквивалентную замену функций производят при x 0 ( x 0). Если x a 0 ( x a 0), то производят замену переменной так, чтобы t 0при x a. Затем используют эквивалентную замену.

Пример:

Правило 8.

При вычислении пределов применяются также другие известные пределы, которые можно найти с помощью второго «замечательного» предела:

стности limln 1 x 1.

48

– четвертый «замечательный» предел limax 1 lna, в част-

limln t 1 1limln t 1 1.

6.8.2. Используя правило 1, вычислить пределы:

49

6.8.5. Используя правило 3, вычислить пределы:

6.8.6. Используя правило 4, вычислить пределы:

6.8.7. Используя правило 5, вычислить пределы:

6.8.8. Используя правило 6, вычислить пределы: