m0936

ми. В математике по умолчанию рассматривают значения функций, соответствующие наименьшему (главному) периоду:

y arcctgx при x ; . В общем случае обратные тригоно-

метрические функции являются многозначными. В указанных выше областях определения тригонометрических функций (являющихся областями значений для обратных тригонометрических функций) выполняются условия однозначности.

Графики основных элементарных функций представлены в прил. А.

Из основных элементарных функций образуют другие элементарные функции (составные и сложные).

Составные элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и могут быть представлены одной аналитической формулой в области существования функции.

Пример. y 2lnx 6 – элементарная функция, составлен-

3 x2

ная из основных элементарных функций с помощью арифметических операций.

Другим важным способом составления элементарных функций является композиция (суперпозиция) элементарных функций. В результате образуется сложная элементарная функция.

Если аргументом элементарной функции является тоже элементарная функция, то такая функция от функции называется

сложной.

Сложную функцию можно разложить на основные элементарные функции с промежуточными аргументами.

31

Пример. y sin2 x [u x, v sinu, y v2 ]; y v2 y sinu 2 sin2 u y sin2 x,

где u и v – промежуточные аргументы; x – основной аргумент; функции v v u , y y v – основные элементарные функции

промежуточных аргументов.

При составлении сложной функции важен порядок следования функций в ее композиции.

Пример. Если f x x3, а g x sinx, то g f x sinx3, а f g x sin3 x. Получили принципиально различные по свойствам функции. В частности, первая из этих функций не является периодической, а вторая является.

Замечание. При составлении элементарных функций можно одновременно использовать операцию композиции и арифметические операции.

Если функцию нельзя представить в виде одного аналитического выражения (формулы), содержащего элементарные функции, объединенные конечным числом арифметических операций и (или) посредством композиции, то такую функцию называют

неэлементарной.

Примеры. Простейшие неэлементарные функции:

1 при x 0,

1) y sgn x 0 при x 0,

1 при x 0 (читается «сигнум икс», рис. 6.1); 2) единичная функция Хевисайда

0 при x 0, y x

1 при x 0

(рис. 6.2).

32

Рис. 6.1. График функции «сигнум х»

Рис. 6.2. График функции Хевисайда

yA t 2 t 2 t 2 ... .

Внастоящее время неэлементарные функции широко используются в теории автоматического управления, радиоэлектронике и вычислительной технике.

Задачи к разделу 6.2

6.2.1. Даны функции: f x x; g x arcsinx; h x 3x .

Найти функции: f g h x , f h g x , f f h x ,

6.2.3. Показать, что следующие функции являются элементарными:

6.2.4. Построить графики функций:

а) y x 3 2 4; б) y x 5 3; в) y x 2 3; г)y x ;

6.2.5. Построить графики функций:

а) y 2x 1; б)y 2x 1; в) y log2 x 1 ; г)y log2 x 1.

6.2.6. Построить графики функций:

в) y sin arcsinx и y arcsin sinx .

6.2.7. Построить графики функций:

а) y x – целая часть х; б) y x – дробная часть х;

в) y x – число простых чисел, не превышающих числа х при x 0, 20 .

6.2.8. Убедиться в том, что график функции Дирихле

0 при x Q, y

1 при x Q не существует в его обычном понимании.

6.3. Пределы функций в точке и на бесконечности

Для функций одной действительной переменной вводят два вида пределов:

–предел функции на бесконечности (или на минус бесконечности);

–предел функции в точке.

34

Пусть дана функция y f x и x , или x a, .

Число A называется пределом функции y f x на бесконеч-

ности, если для любого сколь угодно малого числа 0 найдется такое значение аргумента x , после которого при всех значе-

ниях аргумента x x значения функции будут находиться внутри интервала A , A .

Условие попадания в интервал A , A равносильно не-

равенству f x A .

Символьная запись предела функции на бесконечности имеет

вид: lim f x A или f x A при x .

x

При введении понятия предела функции в точке используют понятия -окрестности точки (числа) и предельной точки (числа).

Любой интервал числовой оси, содержащий точку x a, на-

зывается окрестностью этой точки. Интервал a , a на-

изображения -окрестностей показаны на рис. 6.4.

Точка a называется предельной точкой числового множества М,

если в любой как угодно малой окрестности точки a содержатся числа из множества М.

Пример. Пусть множество M является интервалом ,

на числовой оси. Предельными точками этого множества являются все точки интервала , , а также концы этого интервала и

35

диться внутри интервала A , A .

Символьная запись предела функции в точке: lim f x A.

x a

Замечание 1. Из определения предела функции в точке следует, что функция должна быть определена в некоторой проколотой -окрестности предельной точки x = a, но не обязательно в самой точке.

Замечание 2. В данном разделе использована геометрическая интерпретация действительных чисел в виде точек на числовой оси. Если рассматривается некоторое множество действительных чисел E, то при геометрической интерпретации различают:

–внутренние точки множества E, если они входят вместе с некоторой окрестностью в это множество;

–граничные точки множества E, для каждой из которых ее окрестность содержит точки, принадлежащие и не принадлежащие множеству E.

Задачи к разделу 6.3

6.3.1. Сформулировать определение предела функции y f x на минус бесконечности и дать его геометрическую ин-

терпретацию.

6.3.2.Найти все предельные точки множеств:

а) a, b b, c ; б) a; b .

6.3.3.Провести аналогию между пределом последовательности и пределом функции на бесконечности и вычислить следующие пределы:

6.3.4.Дать определение того, что число A не является пределом функции y f x при x a.

6.3.5.Дать определение того, что никакое число не является пределом функции y f x : а) при x a; б) при x .

36

6.4.Основные свойства пределов функций в точке

ина бесконечности

Основные свойства пределов функций с непрерывным аргументом совпадают с аналогичными свойствами числовых последовательностей.

1.Если предел функции существует, то он единственный.

2.Предел постоянной величины равен этой постоянной:

limC C (limC C).

множестве действительных чисел.

Эти равенства остаются верными, если вместо пределов при x a рассматривать пределы при x или x .

37

6.5. Бесконечно малые функции и их свойства

x .

Замечание 1. В прикладных задачах бесконечно малые постоянные величины (например, масса электрона, размеры атома и т.п.) с математической точки зрения не являются бесконечно малыми. Эти величины постоянны и не стремятся в пределе к нулю. В математике бесконечно малые величины являются функциями.

Замечание 2. Понятие бесконечной малости существенно зависит от того, к чему стремится аргумент. Функция, являющаяся бесконечно малой при x a, может не быть таковой, например, при x b a.

Свойства бесконечно малых последовательностей (б.м.п.) дословно переносятся на бесконечно малые функции:

1)сумма конечного количества б.м.ф. является б.м.ф.;

2)произведение конечного количества б.м.ф. является б.м.ф.;

38

3)произведение ограниченной функции и б.м.ф. является б.м.ф.;

4)произведение любого числа и б.м.ф. остается б.м.ф.

В приложениях наиболее часто встречаются пределы б.м.ф.

при x a (или при x ), если lim x (соответственно

x a

lim x ).

x

Одна и та же функция может быть бесконечно малой и бесконечно большой в различных частях области существования.

6.7. Сравнение функций. Эквивалентная замена функций

При сравнении двух функций x и x , каждую из кото-

рых при x a (или при x ) можно считать бесконечно малой величиной, возможны три случая.

39

ся бесконечно малой величиной более высокого порядка, чемx . Пишут: x x или x o x . Знак o читается

«о малое».

Пример. lim x2 limx 0,

x 0 x x 0

значит, в окрестности нуля функ-

ция y x2 является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем y x (рис. 6.7).

малые функции называются экви-

валентными. Пишут: x ~ x .

нечный порядок малости друг относительно друга. В этом случае условие эквивалентности имеет вид x ~K x .

40