m0936

– в интервалах ,0 и

0,1

Рис. 10.6. Эскиз графика функции

y x 3

x2

функция отрицательна, в интер-

вале 1, – положительна;

– в пробной точке x 1 значение функции y 1 2.

2. Исследование свойств функции с использованием произ-

водных.

2.1. Находим критические точки первого рода:

2

y x 3

x2 1

.

x 0

3 3 x

При

производная

не существует (правая произ-

y 0

водная равна , а левая – равна ). При

1

2

0 получим

3 3 x

8

8

4

x

, y

.

27

27

27

Имеется две критические точки первого рода,

из которых

первая x 0

8

является особой точкой,

а вторая x

– ста-

27

ционарной.

2.2. Находим критические точки второго рода:

2

2

1

4

2

y

1

x

3

0,

3 3

3

3

9x3

x

x

Таблица 10.3

Характеристика поведения функции y x 3

x2

Знак или

Знак первой

Знак второй

Характерные

числовое

производной

производной

Краткая характеристи-

точки (х) и

значение

функции

функции

ка поведения функции

интервалы

функции

f (х)

f (х)

f(x)

,0

–

+

+

Возрастает, выпукла

вниз

х = 0

0

Не сущест-

Не сущест-

Нуль функции, крити-

вует

вует

ческая точка первого

рода – максимум, кри-

тическая точка второго

рода – перегиба нет

0,

8

–

–

+

Убывает, выпукла вниз

27

x

8

4

0

+

Критическая точка

27

27

первого рода – мини-

мум

8

–

+

+

Возрастает, выпукла

,1

вниз

27

х = 1

0

Нуль функции

1,

+

+

+

Возрастает, выпукла

вниз

2.4. Определяем характер монотонности и выпуклости в ин-

тервалах, приведенных в сводной таблице.

Интервал ,0 : xпр

1;

1

2

0, функция возрастает;

33

y

1

1

2

0, функция выпукла вниз.

y

1

9 1 3 1

0,

8

: x

0,1;

Интервал

27

пр

1

2

0, функция убывает;

y

0,1

33

0,1

Интервал

8

: x

0,5;

,1

27

пр

2

0, функция возрастает;

y 0,5 1

33

0,5

2

0, функция выпукла вниз.

y 0,5

0,53 0,5

9

Интервал 1, : xпр

2;

2

0, функция возрастает;

y 2 1

3

3 2

2

0, функция выпукла вниз.

y 2

9 23 2

xпр

1 0, y 1 0

в точке x 0 – максимум.

xпр

0,1 0,

y 0,1 0

8

xпр

0,1

,

27

y 0,1 0

в точке x 0 – минимум.

xпр

0,5

8

,

y 0,5 0

8

8

2

Проверка. При x

имеем

0 – ми-

y

27

27

9

8

3

8

27

27

xпр

1 0, y 1 0

в точке x 0 перегиба нет.

xпр

0,1 0,

y 0,1 0

Дана функция y f x

x3

. Требуется провести полное

x 1 2

ем точки

x 1, являющейся точкой разрыва второго рода

y 1 .

Область естественного существования функции со-

из того, что lim

x3

, т.е. поведение функции на бесконеч-

x x 1 2

lim

x3

, lim

x3

.

x 1 2

x 1 2

x 1 0

x 1 0

В окрестности точки разрыва x 1

функция стремится к

k lim

f x

x3

1

1;

lim

lim

1

2

x

x

x x x 1 2

x

1

x

b lim f x kx lim

x3

x3

x3 2x2 x

2 x

lim

2

2.

x

x

x 1

x

x 1

x3

2

lim f x kx b lim

x 2

x

x x 1

lim

3x 1

lim

3

0.

x x 1 2

x 2 x 1

При x

график функции лежит выше наклонной асим-

птоты.

x3

2

lim f x kx b lim

x 2

x

x

x 1

lim

3x 1

lim

3

0.

x x 1 2

x 2 x 1

При x

график функции лежит ниже наклонной асим-

птоты.

1.5. Изображаем

эскиз

графика

функции по результатам первого этапа

исследования (рис. 10.8):

– график имеет две ветви, разде-

ленные

вертикальной

асимптотой

x 1; ветви возле асимптоты стремят-

ся к слева и справа;

– при x ветвь графика стре-

мится снизу к

наклонной

асимптоте

y x 2;

при x ветвь

графика Рис. 10.8. Эскиз графика

стремится к той же асимптоте сверху;

функции y

x3

2

x3

x2 x 3

y

2

...

2 ;

x 1

x 1

x2 x 3

0 x x

0, x 3.

x 1 2

2

1

3

ках: y 0 0,

y 3

33

6,75; M1 0, 0 , M2 3; 6,75 .

3 1 2

6x

6x

x2 x 3

y

2

...

4 ;

4 0 x 0.

x 1

x 1

x 1

Таблица 10.4

Характеристика поведения функции y

x3

2

x 1

Знак или

Знак пер-

Знак вто-

Характерные

числовое

вой произ-

рой произ-

Краткая характеристика

точки (х) и

значение

водной

водной

поведения функции

интервалы

функции

функции

функции

f(x)

f (х)

f (х)

,0

–

+

–

Отрицательна, возрастает,

выпукла вверх

Окончание табл. 10.4

Знак или

Знак пер-

Знак вто-

Характерные

числовое

вой произ-

рой произ-

Краткая характеристика

точки (х) и

значение

водной

водной

поведения функции

интервалы

функции

функции

функции

f(x)

f (х)

f (х)

х = 0

0

0

0

Нуль функции, критиче-

ская точка первого рода –

экстремума нет, критиче-

ская точка второго рода –

перегиб

(0, 1)

+

+

+

Положительна, возраста-

ет, выпукла вниз

х = 1

Точка разрыва второго

рода

(1, 3)

+

–

+

Положительна, убывает,

выпукла вниз

х = 3

6,75

0

+

Критическая точка перво-

го рода – минимум

3,

+

+

+

Положительна, возраста-

ет, выпукла вниз

2.4. Определяем характер монотонности и выпуклости функ-

ции в интервалах, приведенных в сводной таблице.

Интервал

,0 :

xпр 0,5;

–

y

0,5 0,

y

0,5 0

функция возрастает и выпукла вверх.

Интервал

0,1 :

xпр 0,5;

– функция

y 0,5 0,

y 0,5 0

возрастает и выпукла вниз.

Интервал 1, 3 :

xпр 2; y

2 0,

y 0,5 0 – функция убы-

вает и выпукла вниз.

Интервал 3, :

xпр 4;

функция воз-

y

4 0

, y

4 0 –

а) y

1

; б)

y

x

; в) y

x2

; г) y

x3

.

1 x2

1 x

2

1 x

2

1 x2

10.5. Построить графики функций:

а) y

1

; б) y

x 3

; в) y

x2 2x 3

.

1 x x2

1 x x2

1 x x2

10.6. Построить графики функций:

а) y

x2

; б) y

x2

; в) y

x3

.

x2 1

x2 1

x 1

10.7. Построить графики функций:

1

1

x 1

ex

2

а) y 2x 2 ; б) y e x

; в) y ex 2 ; г)

y

.

10.8. Построить графики функций:

1 x

; б) y

; в) y 3

3

;

а) y x

4x x2

x2 1

1 x

x

г) y 3

x

2

; д) y

x

3

.

x 1

x 1

а)

y sinx sin2x; б) y cos2x cos3x;

в)

y sinx

1

sin2x

1

sin3x; г)

y tg x ctgx;

2

4

1

д)

y sin4 x cos4

x; е)y

.

sinx cosx