m0936

13.3. Интегрирование с рационализацией подынтегральных функций

К рациональным функциям относятся целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные функции (рациональные дроби).

В случае если удается точно разложить знаменатель на множители первой и второй степени, то интеграл от рациональной дроби может быть выражен в элементарных функциях. Поэтому другие виды функций имеет смысл попытаться представить в виде рациональной функции с помощью замены переменной. Если это удается, то исходный интеграл может быть найден как интеграл от рациональной функции после замены переменной.

Операции преобразования исходной подынтегральной функции в рациональную дробь с помощью замены переменной называются рационализацией интеграла. Рационализировать можно такие иррациональные, трансцендентные функции, которые с помощью одной или нескольких замен переменных представляются в виде рациональных функций нескольких переменных.

251

Рациональной функцией нескольких переменных u1, u2, ,un

называется любое алгебраическое выражение R u1, u2, ,un , в

котором переменные u1, u2, ,un объединены только с помощью арифметических действий (и, в частности, с помощью возведения в целую степень), где R – условное обозначение рациональной функции.

Пусть исходную функцию f x с помощью введения не-

скольких переменных можно представить рациональной функцией этих переменных: f x R u1, u2, ,un , где u1 u1 x , u2 u2 x , …, un un x . Тогда исходную функцию f x с помощью обратной подстановки x t можно привести к рацио-

нальной функции одной новой переменной t:

Далее интегралы, подынтегральные функции которых приводятся к рациональным функциям с помощью замены перемен-

ных, будем кратко называть рациональными интегралами.

13.4. Вычисление рациональных интегралов от тригонометрических функций

Пусть трансцендентную функцию, содержащую тригонометрические функции sinx и cosx, можно рационализировать. Тогда

252

рациональные интегралы вида R sinx,cosx dx можно решать методом замены переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Универсальная тригонометрическая подстановка всегда позволяет сводить интегралы, рационально зависящие от sin x, cos x, tg x, ctg x, к интегралам от рациональных дробей, и если при этом знаменатель полученной дроби имеет степень не выше четырех, то и находить значения интегралов в элементарных функциях. Однако такая подстановка нередко приводит к громоздким про-

253

межуточным вычислениям. Поэтому, если возможно, лучше использовать другие частные замены переменной, более эффективные для некоторых видов интегралов. Рассмотрим такие частные случаи.

Решение. Подынтегральная функция является нечетной относительно cosx. Используем подстановку t sinx, при этом пред-

варительно выразим cos2 x через sinx.

Подынтегральная функция с новым аргументом является неправильной рациональной дробью. Поэтому вычисляем интеграл

1 t2 dt по методике подраздела 13.2.4.

2 t

Разделив числитель на знаменатель, неправильную рациональную дробь представим в виде суммы целой части и правиль-

sin2 x 2sinx 3ln sinx 2 C. 2

Пример 2. Найти интеграл J sin6 xcos5 xdx.

Решение. Подынтегральная функция является нечетной относительно cosx. Значит, снова используем подстановку t sinx,

при этом предварительно выразим cos2 x через sinx:

Jsin6 xcos5 xdx sin6 xcos4 xcosxdx

sin6 x1 sin2 x 2d sin x sin x t t6 1 t2 2dt

254

1 t22 1 dt t 2arctgt C cosx 2arctg cosx C.

3.Если подынтегральная функция R sinx,cosx является

255