m0936

7.3.1. а) Единственная точка разрыва x 1 является точкой разрыва второго рода; б) единственная точка разрыва x 0 является устранимой точкой разрыва; в) бесконечное количество точек разрыва x n, n Z , все точки второго рода; г) единственная точка разрыва x 0 – устранимая.

7.3.2. а) Функция непрерывна на всей числовой прямой; б) единственная точка разрыва x 0 – разрыв первого рода; в) единственная точка разрыва x 0 – устранимая.

7.3.3. Покажем, что при различных способах стремления x 0 значения функции будут стремиться к разным пределам. Наличие как минимум

он равен нулю. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке, значит, предел не существует.

фик – рис. 7.9.

71

7.5.2.Разложить сложную функцию на «внешнюю» f, «среднюю» и «внутреннюю» , определить точки разрыва «внешней», «средней» и «внутренней» функций, исследовать поведение сложной функции в окрестностях всех этих точек.

7.5.3.а) В точках xn e n,n Z – разрывы второго рода, в предельной

точке области существования x 0 – правый разрыв второго рода; б) раз-

в) разрывы второго рода в точках xn n, n Z ; г) разрывы второго рода в

точках xn 2n2, n Z; д) разрывы второго рода в точках n Z ; е) разрывы второго рода в точках xn e 2 n, n Z .

7.5.4. Функция f x исследуется с помощью рассмотренного в раз-

деле 7.5 алгоритма, затем отбрасываются точки разрыва, не удовлетво-

лается вывод о наличии или отсутствии разрыва в точке x0 .

7.5.5. а) В точках xn n, n N 0 – разрывы второго рода, в точке x 1 – разрыв первого рода; б) x 0 – устранимая точка разрыва, xn n, n Z, n 0– разрывы второго рода.

Требования к практическому усвоению темы «Непрерывные и разрывные функции одной действительной переменной»

Студент должен знать:

–три определения непрерывности функции в точке, распространение этих определений на промежуток и область существования (определения) функции;

–определение односторонних пределов и представление графиков функций в окрестности точек разрыва;

–способы вычисления односторонних пределов в случаях разрывов первого и второго рода, а также устранимых разрывов;

–методику исследования непрерывности сложной функции с определением поведения функции в окрестности точек разрыва.

Студент должен уметь:

73

–определять интервалы непрерывности функции с выделением точек разрыва;

–исследовать с помощью односторонних пределов поведение функции, в том числе сложной функции, в окрестности точек разрыва, отражать в графической форме особенности поведения функции в окрестности указанных точек (стремление к или конечным пределам, односторонняя непрерывность в точке).

74

Тема 8: Производная и дифференциал функции одной действительной переменной. Алгоритмы дифференцирования

8.1.Исходные положения

Воснове операции дифференцирования функции лежат понятия предельного перехода и непрерывности функции.

Производной функции y f x называется предел отношения

Замечание 1. f (x0), y (x0) – условные обозначения производной, выра-

жение dy x0 пока будем воспринимать как единый знак и также считать dx

условным обозначением производной.

Замечание 2. Поскольку предел функции необязательно существует, а производная определена как предел, то производная существует не для любой функции и не в любой точке.

Производная функции в фиксированной точке, если она существует, может принимать следующие значения:

A конечное ненулевое число, f x0 0,

.

Геометрический смысл производной функции в точке M0 x0,y0 заключается в следующем: производная функции в точке M0 x0,y0 равна тангенсу угла между ка-

сательной к графику функции в точке M0

и положительным направлением оси Ox Рис. 8.1. Касательная и

75

Перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания М, называется нормалью к линии L в точке M.

Уравнение касательной к линии y y x в точке M0 x0, y0 : y y0 y x0 x x0 ;

уравнение нормали:

1

y y0 y x0 x x0 .

Производная в фиксированной точке x x0 , если она сущест-

вует, является конечным числом (в частности, нулем) или равна бесконечности. При этом из геометрического смысла производ-

рис. 8.2.

Рис. 8.2. Касательные, соответствующие нулевой и бесконечной производным

Функции, имеющие производные во всех точках интервала непрерывности, будем называть гладкими.

Гладкие функции могут иметь нулевые и бесконечные значения производной. График гладкой функции будем называть гладкой кривой. В каждой точке гладкой кривой можно построить касательную.

76

Если в некоторой точке x x0 интервала непрерывности

a,b непрерывная функция y y x не имеет производной, то ее называют негладкой.

Точки, в которых производная непрерывной функции не существует, называются особыми. В этих точках график непрерывной функции не имеет касательной, но в окрестности особых точек функция может иметь односторонние касательные и соответствующие им односторонние производные.

Замечание 1. Далее в материалах темы 8 будем рассматривать непрерывные функции без особых точек. Функции, имеющие особые точки, и приложения таких функций будут рассмотрены в материалах темы 9.

Замечание 2. Процесс нахождения производных называется дифференцированием функций. Смысл этого термина будет разъяснен чуть позднее.

Задачи к разделу 8.1

8.1.1. а) Показать, что если функция имеет производную в точке x0 , то она непрерывна в этой точке; б) показать, что суще-

ствуют непрерывные функции, не имеющие производной. Рас-

2

смотреть функции y x и y x3 в точке x0 0.

8.1.2. а) На примере графика функции y x2 и прямой x 0

показать, что нельзя определять касательную как прямую, имеющую с графиком функции единственную общую точку; б) пользуясь определением касательной как предельного положения секущих, доказать, что касательной к прямой является сама эта прямая.

8.1.3. а) Убедиться, что касательная к графику функции

8.1.4. Пользуясь определениями производной и односторонних пределов, дать определения левой и правой производных и левой и правой касательных.

77

8.2. Основной алгоритм нахождения производных элементарных функций

4.Вычисляем предельное значение относительного приращения функции, которое является производной данной функции:

lim f x0 x f x0 f x0 .

x 0 x

Пример 1. Найти производную функции y x в точке x0 4 на основе определения.

Решение:

1)y y x x;

2)y x x x ;

3)y x x x ;

x x

нове определения.

78

Решение:

Задачи к разделу 8.2

8.2.1. а) Пользуясь определением, найти производную постоянной функции y C; б) что можно сказать о производной ку-

сочно-постоянной функции?

8.2.2.Пользуясь определением, найти производные тригонометрических функций:

а) y sinx; б) y cosx; в) y = tg x; г) y = ctg x.

8.2.3.Пользуясь определением, найти производные функций:

а) y x ; б) y ax; в) y ex ; г) y loga x; д) y lnx.

8.2.4.Пользуясь результатами предыдущей задачи, найти

производные функций:

е) y 5x; ж) y 2 x .

8.3. Табличные производные. Правила дифференцирования

Вычисление производных можно существенно упростить, если вместо основного алгоритма дифференцирования (см. раздел 8.2) использовать готовые формулы для производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

79

Производные всех основных элементарных функций сводятся в таблицу (табл. 8.1) и называются табличными производными,

а эти функции – табличными функциями.

Таблица 8.1

Таблица производных основных элементарных функций

Замечание. Формулы для производных не изменяются по форме при использовании любых других аргументов u, t и т.п., если и функции с новыми аргументами остаются основными элементарными.

80