Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m0936

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 2929

Продолжение прил. Б

Рис. Б3. График гиперболического	Рис. Б4. График гиперболического
тангенса	котангенса

Названия связаны с глубокой аналогией с тригонометрическими функциями. Соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью.

Гиперболические функции 3–6 могут быть выражены через гипербо-

лические

синус

косинус:

th x

sh x

cth x

ch x

schx

ch x

sh x

ch x

csh x

sh x

x на

sh x sh x,

Если

заменить

аргумент

получим

ch x ch x, th x th x, cth x cth x.

shx

e x

ex e x

Очевидно,

что

thx

cthx

–

ex e x

нечетные функции, а chx ex e x – четная функция. В отличие от триго-

нометрических функций гиперболические функции в области действительных чисел не являются периодическими. Кроме того, гиперболические синус и косинус – функции неограниченные.

Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций.

281


П рим ер.							Продолжение прил. Б
П рим ер.
shxch y sh ychx		ex e x	ey e y		ey	e y ex e x

			2			2	2
2			2			2	2
	ex y e x y			sh x y .
				sh x y .
2

Полученная формула полностью аналогична формуле синуса суммы: sin x y sin xcos y sin ycosx.

Аналогом основного тригонометрического тождества является основное гиперболическое тождество:

ch2x sh2x 1.

Для удобства основные алгебраические свойства гиперболических функций сведены в таблицу. Все эти свойства легко доказываются непосредственной проверкой.

Свойства гиперболических функций

Свойство

Гиперболические функции

Тригонометрические функции

Основное

ch2 x sh2 x 1,

sin2 x cos2 x 1,

тождество и

1 th2 x,

1 tg2 x,

его про-

ch2

cos2

стейшие

1 cth2 x

1 ctg2 x

следствия

sin

Функции

sh x y shxch y sh ychx,

sin x y sin xcos y sin ycos x,

суммы и

sh x y sh xch y sh ych x,

sin x y sin xcos y sin ycos x,

разности ар-

ch x y chxch y sh yshx,

cos x y cosxcos y sin ysin x,

гументов

ch x y chxch y sh ysh x,

cos x y cosxcos y sin ysin x,

th x y

thx th y

tg x y

tgx tg y

1 thxth y

1 tgxtg y

th x y

thx th y

tg x y

tgx tg y

1 thxth y

1 tgxtg y

Функции

sh 2x 2sh xchx,

sin2x 2sinxcosx,

двойного

ch2x ch2 x sh2 x 2ch2 x 1

cos2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1

аргумента

1 2sh2 x,

1 2sin2 x,

th2x

2thx

tg2x

2tgx

1 th2 x

1 tg2 x

282

Продолжение прил. Б

Обратные гиперболические функции

Функция, обратная гиперболическому синусу, называется ареа-синус и обозначается arsh x; функция, обратная гиперболическому косинусу, называется ареа-косинус и обозначается arch x.

ex e x

Выразим аргумент xиз равенства y

2y ex e x ; 2yex e2x 1; e2x 2yex 1 0.

Формально решая квадратное уравнение относительно неизвестной ех,

получим ex

4y2 4

ex 0, то корень

y2 1,

но поскольку

y2 1 0 –

посторонний

и, следовательно,

ex y

y2 1,

x ln y

y2 1

arsh x ln x

x2 1

Аналогично, рассматривая выражение y

ex e x

, получим

; x ln y

e2x 2yex 1 0; ex

2y 4y2 4

y2 1

archx ln x

x2 1

Аналогично можно получить формулы ареа-тангенса arth x 1ln1 x

2 1 x

(рис. Б5) и ареа-котангенса arcth x 1ln x 1 (рис. Б6). 2 x 1

Рис. Б5. График ареа-синуса

Рис. Б6. График ареа-косинуса

283

Окончание прил. Б

Производные и интегралы

Непосредственно проверяется, что sh x chx и ch x shx и, следова-

тельно, shx dx chx C и chx dx shx C.

Приведем таблицу производных основных гиперболических и обратных гиперболических функций.

Производные функций

Наименование

Функция y f x

Производная y

f x

функции

Гиперболический си-

y sh x

e x

y chx

e x

нус

Гиперболический ко-

y chx

e x

y sh x

e x

синус

Гиперболический тан-

y thx

e x

генс

ex e x

Гиперболический ко-

e x

тангенс

y cthx ex

e x

sh2 x

Гиперболический се-

sh x

канс

y schx ex

e x

ch2 x

Гиперболический ко-

chx

секанс

y cshx ex

e x

sh2 x

Ареа-синус

arshx

ln x

x2 1

Ареа-косинус

archx

x2 1

y arthx

1 x

Ареа-тангенс

1 x

1 x2

Ареа-котангенс

y arcthx

x 1

1 x2

Свойства гиперболических функций можно применять при интегрировании функций.

Пример. Найти интеграл

x2 9

x 3sht,

тогда dx 3chtdt,

Решение. Сделаем замену переменной

t arsh

, и получим

3chtdt

chtdt

dt t C

9sh

t 9

t 1

arsh

C ln

284

Оглавление
Предисловие .........................................................................................................................	3
Введение ................................................................................................................................	5
Тема 5: Числовые последовательности и их пределы ............................................	6
5.1. Исходные положения.............................................................................................	6
Задачи к разделу 5.1 ......................................................................................................	8
5.2. Предел числовой последовательности. Геометрическое представление
предела последовательности .................................................................................	9
Задачи к разделу 5.2 ....................................................................................................	11
5.3. Основные свойства сходящихся последовательностей..................................	11
Задачи к разделу 5.3 ....................................................................................................	12
5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
и их свойства..........................................................................................................	13
Задачи к разделу 5.4 ....................................................................................................	14
5.5. Вычисление пределов числовых последовательностей. Раскрытие
неопределенностей ...............................................................................................	14
Задачи к разделу 5.5 ....................................................................................................	18
5.6. Использование «замечательных» пределов для раскрытия
неопределенностей ...............................................................................................	18
Задачи к разделу 5.6 ....................................................................................................	21
Ответы к задачам темы «Числовые последовательности и их пределы»...........	22
Требования к практическому усвоению темы «Числовые последовательности
и их пределы» ........................................................................................................	25
Тема 6: Пределы функций одной действительной переменной .........................	26
6.1. Исходные положения...........................................................................................	26
Задачи к разделу 6.1 ....................................................................................................	29
6.2. Элементарные и неэлементарные функции. Способы составления
функций ..................................................................................................................	30
Задачи к разделу 6.2 ....................................................................................................	33
6.3. Пределы функций в точке и на бесконечности................................................	34
Задачи к разделу 6.3 ...................................................................................................	36
6.4. Основные свойства пределов функций в точке и на бесконечности ...........	37
6.5. Бесконечно малые функции и их свойства.......................................................	38
6.6. Бесконечно большие функции и их свойства ..................................................	39
6.7. Сравнение функций. Эквивалентная замена функций ...................................	39
Задачи к разделу 6.7 ....................................................................................................	41
6.8. Вычисление пределов функций одной действительной переменной.
Раскрытие неопределенностей............................................................................	42
Задачи к разделу 6.8 ....................................................................................................	49
Ответы к задачам темы «Пределы функций одной действительной
переменной»...........................................................................................................	51
Требования к практическому усвоению темы «Пределы функций одной
действительной переменной» .............................................................................	54

Тема 7: Непрерывные и разрывные функции одной действительной
переменной ..................................................................................................................	56
7.1. Непрерывные функции в точке, на промежутке и в области ........................	56
Задачи к разделу 7.1 ....................................................................................................	57
7.2. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функций .........	57
Задачи к разделу 7.2 ....................................................................................................	60
7.3. Точечные разрывы функции ...............................................................................	60
Задачи к разделу 7.3 ....................................................................................................	62
7.4. Способы вычисления односторонних пределов .............................................	62
Задачи к разделу 7.4 ....................................................................................................	66
7.5. Исследование непрерывности сложной функции ...........................................	67
Задачи к разделу 7.5 ....................................................................................................	69
Ответы к задачам темы «Непрерывные и разрывные функции одной
действительной переменной»..............................................................................	70
Требования к практическому усвоению темы «Непрерывные и разрывные
функции одной действительной переменной» .................................................	73
Тема 8: Производная и дифференциал функции одной действительной
переменной. Алгоритмы дифференцирования.................................................	75
8.1. Исходные положения ...........................................................................................	75
Задачи к разделу 8.1 ....................................................................................................	77
8.2. Основной алгоритм нахождения производных элементарных функций ....	78
Задачи к разделу 8.2 ....................................................................................................	79
8.3. Табличные производные. Правила дифференцирования...............................	79
Задачи к разделу 8.3 ....................................................................................................	81
8.4. Способы вычисления производных сложных функций.................................	82
Задачи к разделу 8.4 ....................................................................................................	85
8.5. Логарифмическое дифференцирование............................................................	86
Задачи к разделу 8.5 ....................................................................................................	88
8.6. Вычисление производных высших порядков ..................................................	88
Задачи к разделу 8.6 ....................................................................................................	89
8.7. Дифференцирование параметрически заданных функций............................	89
Задачи к разделу 8.7 ....................................................................................................	90
8.8. Производные неявных функций ........................................................................	91
Задачи к разделу 8.8 ....................................................................................................	92
8.9. Вычисление пределов функций с помощью производных
(правило Бернулли – Лопиталя) ................................................................................	93
Задачи к разделу 8.9 ....................................................................................................	96
8.10. Некоторые геометрические приложения производных ...............................	97
8.10.1. Определение уравнений касательной и нормали к кривой................	97
8.10.2. Определение угла между пересекающимися кривыми ....................	100
Задачи к разделу 8.10 ................................................................................................	102
8.11. Прикладной смысл производных...................................................................	103
8.12. Дифференциал функции и его приложения .................................................	104
Задачи к разделу 8.12 ................................................................................................	108
Ответы к задачам темы «Производная и дифференциал функции одной
действительной переменной. Алгоритмы дифференцирования»................	109

Требования к практическому усвоению темы «Производная функции одной
действительной переменной. Алгоритмы дифференцирования» ...............	115
Тема 9: Основные свойства функций......................................................................	117
9.1. Исходные положения .........................................................................................	117
9.2. Общие свойства функций..................................................................................	118
9.2.1. Четность и нечетность функции ............................................................	118
9.2.2. Периодичность функции .........................................................................	119
9.2.3. Ограниченность функции .......................................................................	120
Задачи к разделу 9.2 ..................................................................................................	121
9.3. Частные свойства функций ...............................................................................	122
9.3.1. Знакопостоянство функции.....................................................................	122
9.3.2. Монотонность функции...........................................................................	123
9.3.3. Выпуклость функции ...............................................................................	123
Задачи к разделу 9.3 ..................................................................................................	124
9.4. Локальные свойства функций ..........................................................................	125
9.4.1. Нули функции............................................................................................	125
9.4.2. Экстремумы функции ..............................................................................	125
9.4.3. Перегибы функции ...................................................................................	129
9.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции....................................	130
9.4.5. Асимптотические свойства функций.....................................................	131
Задачи к разделу 9.4 ..................................................................................................	135
9.5. Приближенные методы нахождения корней уравнений ..............................	136
Задачи к разделу 9.5 ..................................................................................................	139
9.6. Определение экстремальных значений функции в прикладных задачах......	140
Задачи к разделу 9.6 ..................................................................................................	143
Ответы к задачам темы «Основные свойства функций» .....................................	144
Требования к практическому усвоению темы «Основные свойства
функций» ..............................................................................................................	146
Тема 10: Полное исследование функции и построение графика .....................	148
10.1. Исходные положения.......................................................................................	148
10.2. Общая схема полного исследования функции и построение графика
в области существования ...................................................................................	148
10.3. Пример полного исследования гладкой функции и построение
графика..................................................................................................................	155
10.4. Пример полного исследования функции с особой точкой и построение
графика..................................................................................................................	159
10.5. Пример полного исследования разрывной функции и построение
графика..................................................................................................................	164
Задачи к теме 10 .........................................................................................................	169
Ответы к задачам темы «Полное исследование функции и построение
графика»................................................................................................................	171
Требования к практическому усвоению темы «Полное исследование
функции и построение графика» ......................................................................	178
Тема 11: Производные вектор-функции и их приложения ...............................	180
11.1. Исходные положения .......................................................................................	180
Задачи к разделу 11.1 ................................................................................................	183

11.2. Производные вектор-функции .......................................................................		184
Задачи к разделу 11.2 ................................................................................................		186
11.3. Геометрический смысл векторной производной. Уравнение касательной
к годографу радиус-вектора...............................................................................		187
Задачи к разделу 11.3 ................................................................................................		189
11.4. Физический смысл векторных производных по скалярному аргументу
(времени) ..............................................................................................................		190
Задачи к разделу 11.4 ................................................................................................		192
11.5. Первая производная векторной функции по дуговой координате (длине
дуги кривой).........................................................................................................		193
11.6. Кривизна кривой и ее вычисление ................................................................		194
Задачи к разделу 11.6 ................................................................................................		198
11.7. Естественная система координат и ее применение	в кинематике
точки......................................................................................................................		199
Задачи к разделу 11.7 ................................................................................................		203
Ответы к задачам темы «Производные вектор-функции	и их приложения» ..	203
Требования к практическому усвоению темы «Производные
вектор-функции и их приложения»..................................................................		208
Тема 12: Интегральное исчисление функций одной переменной.
Общие методы вычисления неопределенных интегралов..........................		210
12.1. Исходные положения.......................................................................................		210
Задачи к разделу 12.1 ................................................................................................		210
12.2. Основные свойства неопределенных интегралов .......................................		211
Задачи к разделу 12.2 ................................................................................................		212
12.3. Табличные интегралы......................................................................................		212
Задачи к разделу 12.3 ................................................................................................		215
12.4. Общие методы интегрирования .....................................................................		215
12.4.1. Метод интегрирования с помощью поправок....................................		216
12.4.2. Метод подведения части подынтегральной функции под знак
дифференциала .............................................................................................		217
12.4.3. Метод разложения подынтегральной функции .................................		220
12.4.4. Метод разложения интегралов, содержащих произведения
синусов и косинусов.....................................................................................		222
12.4.5. Метод интегрирования с прямой заменой переменной
(с прямой подстановкой) .............................................................................		224
12.4.6. Метод интегрирования с обратной заменой переменной
(с обратной подстановкой) ..........................................................................		225
12.4.7. Простейшие интегралы, содержащие квадратичную функцию
(квадратный трехчлен) .................................................................................		226
12.4.8. Метод интегрирования по частям........................................................		228
Задачи к разделу 12.4 ................................................................................................		230
12.5. Графическое интегрирование.........................................................................		232
Задачи к разделу 12.5 ................................................................................................		234
Ответы к задачам темы «Интегральное исчисление функций одной
переменной. Общие методы вычисления неопределенных интегралов»......		235

Требования к практическому усвоению темы «Интегральное исчисление
функций одной переменной. Общие методы вычисления
неопределенных интегралов»............................................................................	239
Тема 13: Вычисление неопределенных интегралов от некоторых классов
элементарных функций.........................................................................................	241
13.1. Исходные положения.......................................................................................	241
Задачи к разделу 13.1 ................................................................................................	242
13.2. Интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных
дробей) ..................................................................................................................	242
13.2.1. Общие сведения......................................................................................	242
13.2.2. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
дроби...............................................................................................................	244
13.2.3. Методы нахождения коэффициентов простейших дробей..............	246
13.2.4. Общая методика интегрирования дробно-рациональных
функций..........................................................................................................	248
Задачи к разделу 13.2 ................................................................................................	250
13.3. Интегрирование с рационализацией подынтегральных функций............	251
13.4. Вычисление рациональных интегралов от тригонометрических
функций ................................................................................................................	252
Задачи к разделу 13.4 ................................................................................................	259
13.5. Вычисление рациональных интегралов от функций, содержащих
радикалы ...............................................................................................................	259
Задачи к разделу 13.5 ................................................................................................	260
13.6. Вычисление рациональных интегралов от функций, содержащих
квадратные радикалы из квадратных двучленов............................................	260
Задачи к разделу 13.6 ................................................................................................	263
Ответы к задачам темы «Вычисление неопределенных интегралов
от некоторых классов элементарных функций».............................................	263
Требования к практическому усвоению темы «Вычисление неопределенных
интегралов от некоторых классов элементарных функций»........................	267
Библиографический список ...........................................................................................	269
Приложение А. Основные элементарные функции, их графики и свойства .......	270
Приложение Б. Гиперболические функции ...............................................................	280

Учебное издание

Вылегжанин Игорь Альбертович Пожидаев Александр Васильевич Остроменский Петр Иванович Шандаров Леонид Гаврилович

ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Часть II

Редактор А.О. Квач Компьютерная верстка Ю.В. Борцовой

Дизайн обложки А.С. Петренко

Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98 Подписано в печать 23.04.2014

18,25 печ. л.

12,7 уч.-изд. л.

Тираж 200 экз.

Заказ № 2756

Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения 630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191

Тел./факс: (383) 328-03-81. Е-mail: bvu@stu.ru

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 2929

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022619.79 Кб0m0925 (1).pdf
#
15.11.2022619.79 Кб1m0925.pdf
#
15.11.20221.64 Mб4m0927.pdf
#
15.11.20222.37 Mб0m0931.pdf
#
15.11.20224.8 Mб2m0935.pdf
#
15.11.20227.46 Mб2m0936.pdf
#
15.11.20222.25 Mб0m0937.pdf
#
15.11.20221.7 Mб0m0938.pdf
#
15.11.20229.08 Mб1m0939.pdf
#
15.11.20223.68 Mб4m0940.pdf
#
15.11.20221.36 Mб0m0942.pdf