m0936
.pdf
Ответы к задачам темы «Полное исследование функции и построение графика»
Графики функций к задачам 10.1–10.12 приведены на рис. 10.10–10.53.
Рис.10.10. Графикфункции |
Рис.10.11. График функции |
||||
y x |
x3 |
(задача 10.1, а) |
y x |
x3 |
(задача 10.1, б) |
|
|
||||
3 |
|
6 |
|
||
Рис.10.12.Графикфункции |
Рис.10.13 Графикфункции |
у = х3 –3х2 – х+ 3(задача 10.1, в) |
у =4х3 – х4 + 6х2 –4х+ 1(задача 10.2, а) |
171
Рис.10.14. Графикфункции |
Рис.10.15 График функции |
|||||||
y 1 x2 |
|
x4 |
(задача 10.2, б) |
y 1 |
x2 |
|
x4 |
(задача 10.2, в) |
|
|
|
||||||
|
4 |
|
2 |
24 |
|
|||
Рис.10.16. Графикфункцииу= ех2 |
|
x2 |
Рис. 10.17. Графикфункции y e 2 |
||
(задача 10.3, а) |
(задача 10.3, б) |
|
Рис.10.18. Графикфункцииy =xe–x |
Рис.10.19. Графикфункцииy=x2ex |
(задача 10.3, в) |
(задача 10.3, г) |
172 |
|
Рис.10.20. Графикфункции y 1 1 x2
(задача 10.4, а)
Рис.10.22. Графикфункции y x2
1 x2
(задача 10.4, в)
Рис. 10.24. График функции
1
y 1 x x2 (задача 10.5, а)
Рис.10.21. Графикфункции y x
1 x2
(задача 10.4, б)
Рис.10.23. Графикфункции y x3
1 x2
(задача 10.4, г)
Рис. 10.25. График функции
x 3
y 1 x x2 (задача 10.5, б)
173
Рис.10.26. Графикфункции
y x2 2x 3 (задача 10.5, в)
1 x x2
Рис.10.28. Графикфункции y x2 x2 1
(задача 10.6, б)
1
Рис.10.30. Графикфункции y 2x 2
(задача 10.7, а)
Рис.10.27.Графикфункции
y |
x2 |
|
(задача 10.6, а) |
|
x 1 |
||||
|
|
|||
Рис.10.29. |
Графикфункции |
|
x3 |
|
y x2 1 |
||||
|
|
|||
(задача 10.6, в)
1
Рис.10.31. Графикфункции y e x2
(задача 10.7, б)
174
x 1
Рис.10.32. Графикфункции y ex 2
(задача 10.7, в)
Рис.10.34. Графикфункции y x
1 x
(задача 10.8, а)
Рис.10.36. Графикфункции
y 3
x 3
x2 1 (задача 10.8, в)
Рис.10.33. Графикфункции y ex x 1
(задача 10.7, г)
Рис.10.35. Графикфункции y 
4x x2 (задача 10.8, б)
Рис.10.37. Графикфункции
y 3 |
x2 |
(задача 10.8, г) |
|
x 1
175
Рис.10.38. Графикфункции |
y |
x3 |
|
x 1 |
|||
(задача 10.8, д) |
|
||
|
|
Рис.10.40. Графикфункции
y = ln (8x – x2 – 15) (задача 10.9, б)
Рис.10.42. Графикфункции
y ln x 
1 x2 (задача 10.9, г)
176
Рис.10.39. График функции
y =ln(x2 –6x+8)(задача 10.9, а)
Рис.10.41. График функции y ln x
x
(задача 10.9, в)
Рис.10.43. Графикфункции
y =sinx+sin2x(задача 10.10, а)
Рис.10.44. Графикфункции
y=cos 2x – cos 3x (задача 10.10, б)
Рис.10.46. График функции y=tgx+ctgx (задача 10.10, г)
Рис.10.48. Графикфункции
y |
1 |
(задача 10.10, |
е) |
|
sinx cosx
Рис.10.45. График функции
y sinx 1sin2x 1sin3x 2 4
(задача 10.10, в)
Рис.10.47. Графикфункции
y =sin4x+ cos4x (задача 10.10, д)
Рис.10.49. Графикфункцииy=ecosx
(задача 10.11, а)
177
Рис.10.50. Графикфункцииy =lncosx |
Рис.10.51. Графикфункции |
(задача 10.11, б) |
y =x +arctgx (задача 10.12, а) |
Рис.10.52. Графикфункцииy =xarctgx |
Рис.10.53. Графикфункции |
|||
(задача 10.12, б) |
y arccos |
x 1 |
(задача 10.12, в) |
|
x 2 |
||||
|
|
|
||
Требования к практическому усвоению темы «Полное исследование функции и построение графика»
Студент должен знать:
–способ определения области существования функции с выделением интервалов непрерывности и исключением значений аргумента, в которых функция не существует;
–способы определения симметричности (четности-нечетно- сти) и периодичности функций.
–способ определения нулей функции и точек пересечения графика функции с осью ординат;
–способ нахождения интервалов знакопостоянства функции;
178
–способы нахождения вертикальных, наклонных и горизонтальных асимптот и определения асимптотического поведения функции при неограниченном приближении ветви графика функции к соответствующей асимптоте;
–способы определения критических точек первого и второго
рода;
–способы нахождения интервалов и определения характера монотонности и выпуклости графика функции;
–способы определения экстремумов функции в критических точках первого рода (для гладких функций – двумя способами);
–способы определения точек перегиба среди критических точек второго рода;
–принципы сведения результатов исследований в таблицу и построение по этим данным графика функции.
Студент должен уметь:
–находить интервалы непрерывности и область существования функции;
–определять наличие или отсутствие симметричности и периодичности функции;
–находить нули функции, точки пересечения графика с осью абсцисс;
–определять наличие вертикальных, наклонных и горизонтальных асимптот, а также асимптотическое поведение ветвей графика функции с помощью односторонних пределов;
–определять интервалы монотонности (убывания-возраста- ния) и выпуклости функции;
–находить экстремумы среди критических точек первого рода в случае гладких и кусочно-гладких функций;
–определять точки перегиба среди критических точек второго рода;
–строить график функции на основе систематизации результатов аналитических исследований свойств и поведения элементарной функции по ее формуле.
179
Тема 11: Производные вектор-функции и их приложения
11.1. Исходные положения
Многие физические величины представляются векторами, поэтому векторы играют существенную роль в технических науках и инженерных приложениях.
Алгебраические операции с геометрическими векторами и их приложения были рассмотрены в части I практикума (тема 3). В данной теме изучаются переменные векторные величины, правила их дифференцирования и приложения.
Переменная векторная величина (переменный вектор) r t
называется вектор-функцией (векторной функцией) скалярного аргумента t, если каждому значению этого аргумента из множества допустимых значений T t T соответствует определенный вектор r .
Условное обозначение переменного вектора – r r t .
Переменный вектор можно разложить на составляющие (компоненты) в виде:
r t x t i y t j z t k, |
(11.1) |
где x t , y t , z t – координаты вектора r t , равные проекциям вектора на оси прямоугольной системы координат, ориентированной в пространстве с помощью ортонормированного репера
0,i, j,k .
Из (11.1) следует, что вектор-функцию можно задать с помощью трех скалярных (координатных) функций:
|
|
x x t , |
|
|
|
|
(11.2) |
r |
r |
t y y t , |
z z t .
Если переменный вектор является радиус-вектором с начальной точкой в начале координат, то при изменении аргумента конец радиус-вектора опишет пространственную кривую, которую называют годографом вектор-функции (рис. 11.1).
180