m0936

Пример. Определить, под каким углом пересекаются кри-

Из первого уравнения получим x1 5, x2 1. Первый корень уравнения не дает действительного значения переменной y, вто-

рому корню соответствуют значения y1 2, y2 2.

Учитывая условие однозначности, рассмотрим одну точку

101

Задачи к разделу 8.10

8.10.1. Составить уравнения касательных и нормалей к данным линиям в данной точке:

8.10.3. Составить уравнения касательных и нормалей к данным линиям в данной точке:

8.10.4. Составить уравнения касательных и нормалей к данным линиям, заданным в полярной системе координат в данной

точке x0 1.

8.10.8. Найти угол пересечения кривых: а) y x2 и y x;

б) y x2 x и y x x2 .

102

8.11. Прикладной смысл производных

Кроме геометрии кривых и поверхностей, а также других разделов математики производные различных порядков широко используются во всех фундаментальных и прикладных науках, где существенную роль играют функциональные зависимости.

Физические задачи и прикладные задачи в технике в их исходной формулировке не являются математическими. Необходимо сначала формализовать и преобразовать исходные задачи в математические (см. приложение к части I практикума). При этом широко используют различные интерпретации производной.

В физике и технических науках производную функции интерпретируют как интенсивность изменения зависимой переменной от изменения аргумента.

Например, интенсивность изменения количества материала в теле, характеризующая распределение его массы т по длине l, площади s или объему V, интерпретируются как линейная

плотность.

Если аргументом в функциональных зависимостях двух переменных величин является время, то производную интерпретируют как скорость. При этом для производных используют другие условные обозначения.

Например, если перемещение материальной точки представляется функцией времени y y t , то скорость точки обозначает-

103

В технических науках производные широко используют в задачах, связанных с определением скоростей и ускорений движущихся частей машин и механизмов (см. тему 11).

При математическом моделировании электрических и электромеханических систем производная от количества электричества q по времени – скорость изменения количества электричест-

ва (заряда) интерпретируется как электрический ток i dq. dt

В последующих материалах данного практикума при решении прикладных задач, использующих производные, будем подробно останавливаться на различных интерпретациях (истолкованиях) производных.

8.12. Дифференциал функции и его приложения

(8.2)

Если функция y f x имеет производные во всех точках интервала a, b , то дифференциал функции в этом интервале можно представить как переменную величину

104

сматривать как отношение дифференциалов. Это позволяет использовать для вычисления дифференциалов таблицу производных.

Примеры:

Полное приращение функции y dy x x, где x –

б.м.ф., состоит из двух слагаемых:

–главная линейная часть приращения функции, равная дифференциалу этой функции;

–нелинейная часть приращения функции, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с линейной частью.

Приращение аргумента x не зависит от величины аргумента

хи всегда равно дифференциалу аргумента x dx .

приравнивают к дифференциалу

(8.5)

При этом чем меньше приращение аргумента x, тем меньше различие между приращением функции и ее дифференциалом.

Пример 1. Оценить различие между приращением и диф-

ференциалом функции y x3 при изменении аргумента от 2 до

1,98 и от 2 до 1,8.

Решение:

y x0 x 3 x03 3x02 x 3x0 x2 x3.

При x0 2, x 0,02 получим

y 0,2376, dy x3 dx 3x2dx.

При x0 2, x 0,02, dx x имеем

y 0,2376, dy 0,24.

105

При замене приращения функции на ее дифференциал пренебрегли бесконечно малыми величинами 3x0 x2 2,4 10 4 и

x3 8 10 6.

При x0 2, x 0,2 получим

y 2,168, dy 2,4, 3x0 x2 0,24, x3 0,008.

Приравнивая приращение функции y в окрестности точки x0 ее дифференциалу y dy, можно приближенно найти значе-

Пример 2. Вычислить приближенно 4,1.

Решение.

Выражение 4,1 рассматриваем как конкретное числовое значение функции y x при x 4,1. Представим аргумент функции в виде: x x0 x. Числовое значение аргумента x0 выбираем так, чтобы величина x была достаточно малой, а значение функции y x0 легко вычислялось. В нашем примере, очевидно, можно принять x0 4, x 0,1. Тогда, используя формулу

106

В прикладных задачах дифференциалы широко используют для оценки погрешностей при косвенных измерениях физических величин и для оценки влияния изменения одной величины на другую, если они функционально связаны между собой.

Пример 4. Период колебаний маятника Т связан с его дли-

ной l функциональной зависимостью T 2 l (секунд). Как

980

нужно изменить длину маятника, чтобы уменьшить период на

При T 0,1 с и l 20 см получим l 140 0,1 4,46 см.

Принимая, что изменение (приращение) длины провода равно дифференциалу функции l f , получим

l dl f df .

107

При l dl увеличение стрелы провисания провода опреде-

ляется по формуле f 3b l. 8f

Задачи к разделу 8.12

8.12.1. Схематично изобразить в системе координат дифференциалы функций:

тивление).

8.12.3. Заменяя приращение функции ее дифференциалом, найти приближенное значение выражения:

а) 39; б) arctg1,05; в) lg11; г) sin29 .

8.12.4.Вычислить приращение стороны куба, если известно, что его объем увеличился c 27,0 м2 до 27,1 м2.

8.12.5.С какой относительной погрешностью нужно измерить радиус шара, чтобы относительная погрешность вычисления объема шара не превышала 1 %?

8.12.6.На сколько увеличится объем шара, если его радиус r 15 см увеличился при нагревании шара на 0,2 см?

8.12.7.Тело массой m 20 кг движется прямолинейно со ско-

ростью v 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела (точная формула для кинетической энергии тела

T mv2 ). 2

108

Ответы к задачам темы «Производная и дифференциал функции одной действительной переменной.

Алгоритмы дифференцирования»

равен .

8.1.2.а) Ось параболы не является ее касательной; б) через две точки, лежащие на данной прямой, можно провести единственную прямую – ее саму, поэтому все секущие одинаковы и их пределом является сама прямая.

8.1.3.а) Касательная вертикальна: x 0, поэтому она не может быть задана уравнением прямой с угловым коэффициентом; б) нормаль вертикальна: x 0.

ся левой производной функции f x в точке x0; Если существует предел

в точке x0. Пусть дан график функции f x , на этом графике выбрана точка M. Выберем на графике еще одну точку M1 с меньшей (большей) абсциссой и через две выбранные точки проведем прямую. Устремим точку M1 к точке M вдоль линии L, тогда секущая M1M будет менять свое положение на плоскости. Если существует предельное положение секущей M1M при M1 M вдоль линии L, то прямая, находящаяся в этом предельном положении, называется левой (правой) касательной к линии L в точке М.

8.2.1. а) y 0; б) в точках разрыва производная не существует, в остальных точках – равна нулю.

109