Основы метода конечных элементов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Метод конечных элементов в последние десятилетия стал одним из широко рас­ пространенных численных методов. Он является эффективным средством дискрети­ зации (построения дискретного аналога) разнообразных дифференциальных и вариа­ ционных задач математической физики. Метод конечных элементов составляет алго­ ритмическую основу многих пакетов прикладных программ, разрабатываемых и используемых в различных сферах человеческой деятельности.

Следует отметить, что развитие и эффективность МКЭ, как и любого численного метода, обусловлены тесной взаимосвязью трех факторов: современной вычислитель­ ной техники, высококачественных математических моделей исследуемых процессов и объектов и, наконец, свойств и характеристик самого численного метода, т. е. МКЭ. Эта триада превращает численный эксперимент в мощное орудие познания окружающего мира. Под численным экспериментом понимается исследование свойств объекта или явления посредством решения на ЭВМ задачи, представляющей собой математическую модель этого явления или объекта. Задавая исходные данные и решая на их основе соответствующую задачу, можно понять значение различных факторов в исследуемом процессе или объекте. Выполнение численного эксперимента (наряду с натурным моделированием) существенно сокращает сроки проектно-конструк­ торских разработок, снижает расходы материалов и энергозатрат.

Использование математических моделей существенно расширяет возможности познания и прогнозирования, сокращает время проведения исследования при полу­ чении фундаментальных научных результатов.

Таким образом, численный эксперимент можно рассматривать как основу при создании систем автоматизации проектирования и автоматизации научных исследо­ ваний, а МКЭ — как один из эффективных численных методов машинной реализации численного эксперимента.

Основные математические аспекты МКЭ впервые были представлены в работе Р. Куранта [129], где для решения задачи об изгибе мембраны применялся следую­ щий вариант метода Ритца. Исходная область рассматривалась как совокупность квадратов, каждый из которых разбивался диагоналями на треугольники. В качестве базисных функций использовались кусочно-линейные полиномы, непрерывные во всей области и отличные от нуля только на нескольких треугольниках.

В то же время развитие ранее известных инженерных приемов исследования привело в технике к идее представления конструкций в виде дискретных элементов и появлению достаточно общей процедуры изучения широкого класса прикладных задач. Первоначально связь этой процедуры с упомянутым выше вариантом метода

обоснование. Теоретически обоснованный численный метод, удобный для реализа­ ции на ЭВМ, назвали методом конечных элементов.

В настоящей монографии рассматривается математическая трактовка МКЭ. На примере решения краевых задач для различных линейных и нелинейных обыкно­ венных дифференциальных уравнений, начально-краевых задач для дифференци­ альных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, нахождения собственных чисел и собственных функций обыкновенных дифферен­ циальных операторов второго и четвертого порядков показаны алгоритм реализации этого метода и его сходимость для классических примеров краевых задач математи­ ческой физики; приведен порядок точности получаемых приближенных решений. Теоретические положения проиллюстрированы рядом примеров решения различных модельных задач.

Многообразие встречающихся на практике задач далеко не исчерпывается из­ вестными классическими примерами. Поэтому для решения прикладных задач на основе общей методологии МКЭ (изложенной в гл. I—V) приходится строить специ­ альные алгоритмы и проводить дополнительные теоретические исследования. Из ряда решенных авторами и их сотрудниками задач были отобраны четыре, харак­ теризующие, с нашей точки зрения, как целесообразность рассмотрения подобных математических моделей, так и особенность возникающих задач. Использование МКЭ при решении этих четырех задач рассмотрено в гл. VI.

При решении задач на ЭВМ любым методом, в том числе и МКЭ, возникает проб­ лема достоверности получаемого машинного решения задачи. Эта проблема много­ гранна и содержит в себе достоверность математической модели, корректность (правильность) использования МКЭ и аппарата численного анализа при формирова­ нии систем уравнений на ЭВМ и машинную реализацию этого метода.

Корректному применению МКЭ и вопросам его машинной реализации посвя­ щены гл. I—VI, вопросам достоверности решений систем уравнений МКЭ, «подвод­ ным камням», встречающимся при машинной реализации алгоритмов решения, а также характеристике методов и программ решения — гл. VII монографии.

Отметим, что теоретически обоснованное применение МКЭ для решения современ­ ных научно-технических задач требует использования современного математического аппарата и довольно тонких теоретических исследований. Однако только на этом пути можно гарантировать получение достоверных решений, не искажающих фи­ зического смысла задач.

Для облегчения чтения монографии основные идеи и теоретические обоснования МКЭ показаны на примерах простейших (одномерных) задач, а затем реализация этих идей иллюстрируется на решении двумерных прикладных задач.

Предлагаемая монография написана на основе лекций, прочитанных одним из авторов в качестве спецкурса студентам Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко, специализирующимся по вычислительной математике, и студен-

сания этой монографии и советы, определившие круг освещаемых в ней вопросов. Авторы благодарны коллегам и сотрудникам по работе: М. Ф. Яковлеву, И. С. Лев­ ченко, А. В. Попову, А. Ю. Незлиной, Н. А. Бик, В. С. Дейнеке, А. Н. Химичу, Е. Ф. Галбе за ценные замечания, а также Т. А. Герасимовой, А. Н. Нестеренко, И. П. Винокуровой, Д. Н. Назаровой, Н. В. Лапе, Т. А. Лиходзиевской за техничес­ кую подготовку рукописи к набору.

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ)

Глава посвящена общей характеристике метода конечных элементов, являющегося эффективным орудием численного эксперимента в науч­ но-технических исследованиях. Сформулированы математические за­ дачи теории упругости, необходимые для реализации достоверного численного эксперимента. Для удобства чтения в этой главе приводят­ ся также некоторые вспомогательные сведения и понятия, используе­ мые в дальнейшем изложении.

1.1. Постановка задач и метод конечных элементов как средство описания дискретных задач

1. Понятие о численном эксперименте. Внедрение вычислительной техники во все области человеческой деятельности является характер­ ной чертой научно-технической революции. Вычислительные машины находят широкое применение в фундаментальных научных исследова­ ниях, в том числе и в автоматизации научных исследований, в систе­ мах автоматизации проектирования, в планировании и управлении народным хозяйством, в управлении дискретным производством (и в реальном масштабе времени), в информационном обеспечении общества.

В ряде областей применения численный эксперимент становится одним из средств научно-технического исследования и прогнозирова­ ния. Под численным экспериментом понимают исследование свойств объекта посредством решения на ЭВМ задач, представляющих собой математическую модель объекта. Многократное проигрывание моде­ лей для различных исходных данных позволяет понять роль и значе­ ние различных факторов для течения того или иного процесса или по­ ведения объекта и дает возможность правильно планировать и прово­ дить натурный (физический) эксперимент.

Использование численного эксперимента позволяет существенно повысить технический уровень и качество проектируемой и выпускае­ мой продукции, снизить расходы материалов на изготовление объек­ тов, уменьшить энергетические затраты при эксплуатации проекти­ руемых объектов, сократить сроки и объем натурных испытаний

Считая тело идеально упругим и учитывая, что в (1.4) пределы ин­ тегрирования и силы ft, q{ не зависят от перемещений, можно записать начало возможных перемещений в виде

Равенство (1.5) показывает, что из всех возможных перемещений при заданных внешних силах, имеющих потенциал, равновесию тела будут соответствовать те перемещения, при которых полная энергия Ф при­ нимает минимальное значение. Поэтому возможна следующая вариа­ ционная постановка задачи о равновесии упругого тела: найти век­ тор-функцию и = (ult и2, и3)т, доставляющую минимум функционалу (1.4) в классе функций, удовлетворяющих на границе Гх области Q (в местах закрепления тела) условиям

Отметим, что воздействие внешних сил, приложенных к исследуемому телу, учитывается в (1.4) интегралом, содержащим qt, г = 1, 2, 3.

Начало возможных перемещений является самым общим началом статики, поэтому из соотношения (1.5) могут быть получены диффе­ ренциальные уравнения равновесия упругого тела

соответствующие заданным на поверхности силам; на оставшейся части Гх границы Г в местах закрепления задают условие (1.6).

Отметим, что дифференциальные уравнения равновесия упругого тела (1.7) могут быть получены и из известных принципов статики в предположении, что составляющие тензора напряжений имеют непре­ рывные частные производные первого порядка во всей области, заня­ той телом.

Так как по обобщенному закону Гука напряжения можно выразить через деформации, а следовательно, через перемещения ии и2, и3, и деформации можно выразить через напряжения, то в теории упруго­ сти одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях. В дальнейшем будем рассматривать задачи, сформули­ рованные относительно перемещений.

Итак, ставится следующая математическая задача: найти решение

с условиями на границе тела одного из видов

Т = р ! (*!, Х2, Х3, t),

■(или смешанными граничными условиями) и с начальным условием

ния температуры в теле необходимо решать уравкения термоупругости. Если нагреть элемент тела до температуры Т и если не будет пре­ пятствий для его расширения, то этот элемент расширяется во всех направлениях, причем тепловые деформации его выразятся формулой

где а — коэффициент линейного теплового расширения.

Если тело нагрето неравномерно или какие-либо участки его по­ верхности связаны с другими телами, то элементы тела не могут сво­ бодно расширяться. В этом случае соотношения (1.3) принимают вид

Из принципа возможных перемещений с учетом (1.13), (1.14) можно получить уравнения равновесия термоупругого тела

2 + — б/тат) + / , = °, i = l , 2, 3,

которые справедливы внутри исследуемого тела, а на поверхности тела можно сформулировать краевые условия одного из видов

для нелинейных и динамических задач теории упругости. Введением уп­