Основы метода конечных элементов

Построенная по упомянутому способу матрица М обеспечила полу­ чение решения системы (VI.86) по схеме (VI.87) за 25 итераций. Кри­ терием окончания процесса на i'-й итерации служило условие |rt |е ^ ^ е = 10~8 (Решение, полученное при е = 10~п, отличалось от пре­ дыдущего в шестой [значащей цифре.) Вычисленное решение хорошо согласуется с представлениями инженерной практики.

Как уже упоминалось, основная цель описываемого расчета состоя­ ла не в исследовании физических свойств конкретного объекта, а в оценке затрат вычислительных ресурсов на машинную реализацию расчета и в поиске путей сокращения этих затрат. В табл. 27 приво­ дятся данные, характеризующие эти затраты на выполнение всех эта­ пов расчета. _

Таким образом, на этапе решения описанным выше способом уже сформированной системы (VI.86) потребовалось иметь'максимальный используемый объем оперативной памяти 7124 кбайт, а затраты ма­ шинного времени составили: 530 мин (CPU) и 763 мин (общее) на ЕС 1060, 157 мин 41 с (CPU) и 382 мин (общее) на ЕС 1066.

В заключение отметим, что на ЕС 1066 с двумя дисками объемом 200 Мбайт решение системы (VI.86) было получено и по программе пакета АРАС [75], реализующей ленточный алгоритм варианта метода

квадратных корней (LD//-разложение). Матрица при этом разбивалась на 53 блока, которые хранились в файле последовательного доступа одного диска, а факторизованная матрица хранилась на втором диске. Для вычисления решения системы (VI.86) в этом случае потребовалось 6912 кбайт оперативной памяти, 301 мин общего машинного времени и 181 мин 26 с — времени CPU.

Г л а в а VII

МАШИННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Ряд прикладных задач может быть сведен методом конечных элемен­ тов к решению систем линейных алгебраических уравнений, задаче нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц, реше­ нию систем нелинейных уравнений, задачам Коши для систем обыкно­ венных дифференциальных уравнений. В настоящей главе рассмот­ рим трудности машинного решения этих дискретных математических задач.

Необходимо с самого начала подчеркнуть, что машинное решение математической задачи в ряде случаев может значительно отличаться от точного (математического) решения. Поэтому очень важен вопрос не только вычисления машинного решения, но и оценки его близости к математическому решению.

Следуя [79], для найденного решения рассмотрим оценки погреш­ ностей, зависящих от неточности исходных данных, используемого вы­ числительного метода и суммарного влияния ошибок округлений, воз­ никающих при реализации вычислений на ЭВМ. (Погрешность метода конечных элементов как средства получения дискретных задач была рассмотрена в предыдущих главах.)

VII. 1. Системы линейных алгебраических уравнений

сквадратными вещественными матрицами

1.Постановка задач и некоторые определения. В практических зада­ чах крайне редко возникают системы

с точными исходными данными. Наиболее типичным является задание приближенной системы

с указанием погрешности в исходных данных

Таким образом, в качестве формального решения задачи (VII. 1) — (VI 1.3) может рассматриваться любой вектор, который обращает в тож­ дество уравнение (VI 1.2) с матрицей А' и вектором Ь\ удовлетворяю­

известными исходными данными будем условно называть физическим решением, а точное решение х заданной системы (VI 1.2) — математи­ ческим решением задачи.

Погрешность в решении х, вызванную неточным заданием исход­ ных данных, называют наследственной погрешностью. Значение ее за­ висит как от погрешности исходных данных, так и от свойств матрицы.

Решение системы уравнений (VI 1.2), получаемое некоторым чис­ ленным методом на ЭВМ, будем называть машинным решением задачи. Вследствие погрешности перевода числовых исходных данных из деся­ тичной системы в двоичную, погрешности вычислительного алгоритма и погрешности его машинной реализации вычисленное (машинное) решение, как правило, отличается от точного математического реше­ ния задачи. Для получения достоверного решения задачи принципиаль­ но важны классификация и определение свойств решаемой системы.

Как известно, задача является корректно поставленной, если: решение задачи существует и единственно при любых входных данных из некоторой области их изменения; решение задачи непрерывно за­ висит от исходных данных.

(VI 1.3).

Например, задача отыскания классического решения системы

25xt — 36х2 = 1, 16хх — 23х2 = — 1

с приближенными исходными данными является корректно поставлен­ ной, если погрешность задания элементов матрицы будет удовлетво­ рять условию I ДЛ ||оо ^ 0,015.

условие (VI 1.4) выполняется, а следовательно, гарантируется невы­ рожденность матрицы при любых допустимых возмущениях исходных данных и непрерывная зависимость решения от этих данных. Точное решение заданной системы следующее: хх = — 59, х2 = — 41.

Однако если исходные данные этой системы будут изменяться в пределах |ДЛ |м < 0,02, |АЬ |< 0,01, то задачу следует рассмат­ ривать как некорректную: условие (VI 1.4) не выполняется. Действи­ тельно, в пределах указанных возмущений исходных данных можно получить несовместную систему

= — 256,41025 (в пределах восьми значащих цифр).

Для корректной постановки задачи об отыскании решения системы линейных алгебраических уравнений (VI 1.2) с вырожденной матрицей (что может случиться, например, при решении по МКЭ прикладной задачи, математической моделью которой служит соответствующая задача Неймана) необходимо уточнить понятие искомого решения.

Обобщенным решением в смысле наименьших квадратов системы (VI 1.2) называется любой вектор *0, для которого евклидова норма невязки достигает своего наименьшего значения

min! Ь— Ах |||= |Ъ— Ах01||.

X

Решение лгн, имеющее наименьшую евклидову нормуз

min |XQ|е = |хн[|я, *0

называют нормальным обобщенным решением.

Решение хн можно определить как обобщенное решение, ортого­ нальное всем линейно независимым классическим решениям однород­

Нормальное обобщенное решение всегда существует и единственно. Очевидно, что нормальное обобщенное решение совпадает с класси­ ческим в случае det А Ф 0.

Легко убедиться, что обобщенные решения и только они являются классическими решениями системы

АтАх = АТЬ.

Для системы с квадратной вырожденной матрицей корректная по­ становка задачи об отыскании нормального решения требует дальней­ шего уточнения. Это объясняется тем, что в данном случае как угодно малые возмущения элементов матрицы могут вызывать изменение ран­ га матрицы и, следовательно, скачкообразные (не непрерывные) изме­ нения решения.

Вработах [103, 104] рассматриваются различные постановки задач

орешении вырожденных систем линейных алгебраических уравнений с приближенными исходными данными, а в работах [18, 71, 79, 103, 104, 109] предлагаются специальные методы их решения.

2. Классификация корректно поставленных задач. Корректно по­ ставленные задачи о решении систем линейных алгебраических урав­ нений в зависимости от устойчивости решения к погрешностям в ис­ ходных данных можно разделить на хорошо и плохо обусловленные.

Приведем некоторые примеры, характеризующие зависимость на­ следственной погрешности от свойств матрицы и погрешности в исход­ ных данных. Так, в системах

правые части различаются между собой в четвертой значащей цифре. Решение первой из них есть хх = 1, ха — 2, а второй — хх — 1,001, хг — 2,002, т. е. они отличаются тоже в четвертой значащей цифре.

Правые части систем уравнений

различаются в пятой значащей цифре, а их решения не имеют ничего общего: у первой из них хх — 17, *2 = 0, а у второй хх = 2, *2 = 3. Отметим, что определитель этих двух систем равен единице.

При решении корректно поставленных задач наряду с получением единственного классического решения задачи возникает необходимость

воценке наследственной погрешности или близости математического

ифизического решений задачи.

Верхнюю границу «относительной» наследственной погрешности точного решения * системы (VI 1.2) можно выразить через «относитель­ ные» погрешности задания матрицы А и вектора Ь как

Обе оценки являются мажорантными. Однако они неулучшаемы (до­ стижимы) на всем классе невырожденных матриц.

Из формул (VI 1.5), (VI 1.6) очевидно, что устойчивость решения к изменениям исходных данных в значительной степени зависит от ве­

каждое ненулевое число х представимо в виде х = 2ьа, где Ь— целое

(положительное или отрицательное) число и < |а |< 1. Число b

называют порядком, а — мантиссой числа х. Будем предполагать, что а имеет ( цифр после двоичной запятой, т. е. данная ЭВМ имеет Ф

разрядное слово», и что нуль имеет нестандартное представление, в ко­ тором а = b = 0.

При введении почти всех чисел в ЭВМ в числа вносится некоторая ошибка, связанная с их округлением и стандартной формой представ­ ления, характерной для каждой ЭВМ. Обозначим через fl (л:) конечную

будет означать, что я, у иг — стандартные числа с плавающей за­ пятой и что г получено из х и у выполнением соответствующей опера­ ции с плавающей запятой. Будем предполагать, что ошибки округле­ ния в этих операциях таковы, что

где

+

|е |^ 2 \ если fl I х х у I ф 0;

Суммарное влияние ошибок округления на машинное решение рас­ смотрим на следующем простом примере. Пусть требуется решить сис­ тему линейных алгебраических уравнений с симметричной положитель­

но определенной матрицей

0,135*! + 0,188*2 + 0,191*з + 0,178*4 = 0,3516,

0,188*х + 0,262*2 + 0,265*з -)- 0,247*4 = 0,4887,

(VI 1.8)

0,191*! -)- 0,265*2 -]- 0,281*з -J- 0,266*4 = 0,5105,

0,178*1 + 0,247*2 + 0,266*з + 0,255*4 = 0,4818.

В результате решения этой системы методом /.//-разложения (методом квадратных корней) на ЭВМ ЕС с одинарной точностью получим ма­ шинное решение

Однако, как нетрудно убедиться, математическое решение системы (VI 1.8)

~ 0,4 "

Рассмотрим некоторые причины такого явления. Одним из источ­ ников погрешности в *(1) являются ошибки округления, возникающие при вводе информации в ЭВМ (погрешность перевода из одной системы счисления в другую,использование элементарных функций, которые в ЭВМ вычисляются по приближенным формулам и т. д.). Например, в результате ввода в ЭВМ ЕС с одинарной точностью элементов матрицы А и правой части b системы (VI 1.8) в памяти машины будут храниться следующие массивы данных в шестнадцатиричной системе счисления!

Заметим, что здесь для представления шестнадцатиричных цифр используются следующие обозначения:

Л = 10, В = 1 1 , С = 1 2 , D — 13, £ = 14, £ = 15.

Далее, первые две цифры каждого из приведенных шестнадцатирич­ ных чисел обозначают, как принято в ЭВМ ЕС, «смещенный» порядок числа, т. е. 40 = 16 • 4 + 0 = 64, что соответствует нулевому «несме­ щенному» порядку числа с плавающей запятой (подробнее о представле­ нии чисел в ЭВМ ЕС см. в работе [43]).

Массивам Л и Ъ шестнадцатиричных чисел соответствуют (с точ* ностью до восьми десятичных значащих цифр) следующие массивы де’

еятичных чисел:

"0,13499999 0,18799996 0,19099998 0,17799997"

0,18799996 0,26199996 0,26499999 0,24699998

0,19099998 0,26499999 0,28099996 0,26599997 *

0,17799997 0,24699998 0,26599997 0,25500000_

"0,35159999"

0,48869997

0,51049995 *• _ 0,48179996_

Таким образом, после ввода матрицы и вектора правых частей сис­ темы в ЭВМ нужно, точнее говоря, рассматривать уже не систему (VII.8), а некоторую возмущенную

Ах = Ъ, (VII. 11)

которую будем называть машинной задачей. Отметим, что точное решение системы (VII. 11) в пределах семи значащих цифр

" 0,5174050 "

0,4290924

(VII. 12)

0,5705147 _ 0,5174870 _

и отличается от математического решения (VII. 10).

Соответствующее искажение исходных данных систем происходит и в случае, когда коэффициенты и свободные члены машинной задачи вычисляются (как в МКЭ) по определенным, подчас громоздким форму­ лам. В этом случае погрешность исходных данных складывается из ошибок округления, допускаемых при вводе числовой информации в ЭВМ, и из суммарных ошибок округления, сопровождающих каждую арифметическую операцию расчета по формулам. Указанные возмуще­ ния исходных данных системы являются причиной наследственной по­ грешности машинного решения. Вторым источником погрешности ма­ шинного решения может стать погрешность используемого вычисли­ тельного метода.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применя­ ются прямые и итерационные методы. Прямые методы дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все опера­ ции выполняются точно (без ошибок округления), то вычисленное решение заданной системы будет точным, поэтому эти методы иногда называют точными, не имеющими погрешности.

Итерационные методы являются приближенными: они дают реше­ ние системы как предел приближений, вычисленных некоторым еди­ нообразным процессом. Поскольку на практике итерационный процесс всегда конечен, то полученное решение обязательно содержит некото­ рую погрешность, даже если все арифметические операции выполня­ лись точно. Это и есть погрешность машинного решения, зависящая от