Основы метода конечных элементов

части; в каждом узле фиксируется значение допустимой функции v (рис. 5, а);

2) узловыми точками служат вершины и центр тяжести треуголь­ ника, а узловыми параметрами являются значения функций v во всех

узлах и значения первых частных производных vx, vy в вершинах тре­ угольника (рис. 5 , б).

В обоих случаях, как легко убедиться, гарантируется только не­ прерывность допустимых функций на всей области Q, а их частные про­ изводные претерпевают разрывы первого рода при переходе через сто­ рону в соседний треугольник.

Отметим, что в случае решения задачи в двумерной области, огра­ ниченной ломаной линией, достаточно эффективным может быть раз­

биение области Q на сочетание прямоугольников и треугольников (рис. 6) с соответствующими допустимыми функциями: билинейные — линейные, биквадратичные — квадратичные и др. Такое комбиниро­ вание треугольников и прямоугольников в случае многоугольной об­

ласти позволяет точно аппроксимировать границу области й и под­ час (например, при решении задач с переменными коэффициентами) снизить общие затраты на вычисление решения методом конечных элементов относительно дискретизации с использованием только тре­ угольных элементов.

Вряде случаев необходимо решать прикладные задачи в областях

скриволинейной границей. Для определенности рассмотрим двумерную

должно сильно искажать исходный элемент.

При решении прикладных задач в двумерных областях с криволи­ нейной границей достаточно часто и успешно используются изопараметрические элементы. Термин «изопараметрический» означает, что для упомянутого выше преобразования координат выбираются такие же полиномы, как и для самих допустимых функций. Если же степень полиномов, применяемых для преобразования координат, ниже степе­ ни полиномов, используемых для допустимых функций, то такой ко­ нечный элемент называется субпараметрическим.

При решении пространственных задач наиболее часто используют­ ся тетраэдр (рис. 10 , а) с допустимой функцией вида

vN= ах + а2х + а Зу + ос42

и прямоугольные призмы (рис. 1 0 , б) с допустимой функцией вида

Vм = а1 + а2х + а3у + а4г + аьху + а Qyz + а 7xz + aQxyz.

Рис. 10.

Можно использовать на таких элементах в качестве допустимых функ­ ций и полиномы более высоких степеней.

Применяются при решении пространственных задач и изопараметрические элементы. На рис. 11 приведен набор различных изопара­ метр ических элементов с полиномиальными функциями (в узлах фикси­ руются значения v(), используемых в некоторых пакетах прикладных программ.

Укажем один из возможных способов разбиения двумерной обла­ сти на треугольные элементы. Сначала двумерная область делится на укрупненные четырехугольные и треугольные подобласти (или зоны), а затем они подразделяются на треугольники. Границы между подоб­ ластями должны проходить там, где изменяется приложенная нагруз­

В первом случае криволинейные гра­ ницы элементов заменяются прямы­ ми отрезками, во втором — наряду с прямолинейными треугольника­ ми внутри области можно использо­ вать криволинейные, прилегающие к криволинейной границе.

При разбиении треугольной под­ области на более мелкие треуголь­ ники целесообразно поступать сле­ дующим образом. Каждая сторона исходного треугольника делится на k равных отрезков. Концы отрезков, лежащих на каждой паре сторон (рис. 1 2 , где k = 3 ), соединяются пря­ мыми, которые, пересекаясь, образу­ ют А2 новых конгруэнтных треуголь-

ников, заключенных внутри исходного. При таком разбиении не образу­ ется слишком острых углов: самый малый угол исходной (укрупнен­ ной) триангуляции равен самому малому углу заключительной триан­ гуляции. Для треугольников с одной искривленной стороной алгоритм аналогичен.

Четырехугольные зоны, как и треугольные, обычно разбивают на элементы соединением концов отрезков, лежащих на противоположных сторонах. Полученные внутренние четырехугольники могут быть, в свою очередь, разбиты на треугольные элементы проведением соот­ ветствующей диагонали. При разбиении четырехугольников на тре­ угольники нужно избегать треугольников со слишком острыми углами. Такие элементы обеспечивают более точные результаты.

Стороны четырехугольника могут делиться на отрезки разной дли­ ны, чтобы получать элементы разных размеров. В исходном четырех­ угольнике в результате разбиения будет получено N = 2kl треуголь­ ников, если смежные стороны его разбить на k и / отрезков (рис. 13, где k = 3, / = 2 ). Кроме того, выбор вида допустимой функции и фик­ сированных параметров на каждом элементе должен обеспечить одно­ значность ее определения на общей стороне, что необходимо для удов­ летворения условий гладкости допустимых функций на всей области Q.

Треугольные и четырехугольные подобласти могут иметь общую границу. Число узлов на этой грани­ це для обеих подобластей должно быть одинаковым, и относительное положе­ ние узлов должно совпадать.

Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковые форму и размеры, в реальных задачах обычно не проводится, потому что существуют зоны концентрации напряжений, уча­ стки с большими температурными гра­ диентами и т. д. В этих зонах, обыч­ но прилегающих к углам, решение необходимо вычислять с более высо­ кой точностью, что может быть дос­ тигнуто за счет измельчения элемен-

тов. Возможность варьировать размеры элементов — важное преиму­ щество МКЭ. Пример неравномерной сетки МКЭ дан на рис. 14.

В настоящее время известен ряд алгоритмов с различной степенью автоматизации процесса разбиения области (см., например, [41, 44, 60, 62]). Здесь мы упомянем лишь один — полуавтоматический. Он состоит в том, что в ЭВМ вводят (с учетом геометрии области, характеристик материала, предполагаемого поведения искомого решения) грубую триангуляцию области и величину 6 , указывающую, на сколько рав­ ных отрезков делятся стороны треугольников исходной триангуляции. Далее в автоматическом режиме выполняется разбиение каждого вве­ денного треугольника по алгоритму, описанному выше.

Режим полуавтоматического построения сеток удобно использо­ вать при работе с дисплеем в интерактивном режиме. Достоинством при таком построении конечно-элементной сетки является возмож­ ность контроля формирования сетки и небольшой объем входной ин­ формации для ЭВМ.

Итак, разбиение исходной области Q на конечное число элементов Qy, i = 1 , 2 , ..., N, и определение допустимой функции МКЭ в виде полинома заданной степени п на каждом элементе й* порождают не­

которое конечномерное пространство Phn кусочно-полиномиальных функций vN(.х). (Здесь h характеризует некоторым образом размер элементов, а через х обозначена произвольная точка области й.) Каж­ дая vN(х) определяется своим набором узловых параметров qjy / = 1 ,

qf служит значением либо самой функции vN(AT), либо одной из ее про­ изводных в конкретном узле Xk. Размерность пространства Phn

г = i Pk, k=\

где pk— число параметров, фиксированных в узле Xky k = 1, 2, ..., s.

а все остальные ее узловые параметры qk, k Ф /, равны нулю. Иными словами, в заданном узле Xt либо значение самой функции фу (х), либо значение какой-то одной конкретной ее производной (обозначаемое че­ рез qj) равно единице, а все остальные фиксируемые в данном узле Xt параметры фу (л:) полагаются равными нулю. Равны нулю значения функции фу (л:) и ее производных и во всех остальных узлах х = Xkf k Ф /, области Q. В этом случае принято считать, что базисная функ­ ция фу (х) соответствует узловому параметру qj.

При таком определении базисных функций оказывается, что функция Фу (л;) отлична от нуля только на совокупности тех подобластей (эле­ ментов), которые содержат узел Xt. Область, где базисная функция Фу (х) отлична от нуля, называют носителем фу (х). Несколько различ­ ных форм носителей показано на рис. 15. (Подробнее о построении

и свойствах базисных функций см. в гл. II.) Используя указанный базис, любую допустимую функцию Vs' {х) £ Рп

можно представить в виде

Г

vN(X) = £ <7/Ф,(*),

/=1

где qf— узловые параметры функции vN (х). Заметим, что при решении ва­ риационных задач непосредственно знать базисные функции МКЭ не обя­

зательно. В дальнейшем будут описаны процедуры, позволяющие выполнить дискретизацию задачи и найти значения 9/ из вариа­ ционного принципа, не прибегая к явному построению базиса. Для применения варианта МКЭ, основанного на методе Бубнова ■Галеркина, необходимо иметь явный вид базисных функций.

Всвязи с дискретизацией задачи коснемся еще вопросов, связанных

споиском путей сокращения вычислительных трудностей реализации МКЭ на ЭВМ. Здесь можно упомянуть возможность снижения размер­ ности пространства допустимых функций при сохранении порядка точ­ ности приближенного решения. Добиться этого можно, в частности,

выбором конечного элемента с меньшим числом узлов на элементе, но с большим количеством параметров, фиксированных в одном узле при одинаковой степени полиномов п и одинаковом числе N элементов. Например, нетрудно подсчитать, что общее число фиксированных па­ раметров, т. е. размерность пространства Рз* при разбиении £2,^ ука­ занном на рис. 1 , будет: г = 10 0 , если использовать кубический лемент, изображенный на рис. 5 , а, и г = 6 6 , если использовать куби­ ческий элемент, изображенный на рис. 5, б. (Отметим, что в первом случае имеются в виду кусочно-кубические функции Лагранжа, а во втором — кусочно-кубические полиномы Эрмита.)

Далее, дискретизация МКЭ исходных линейных задач приводит к системе линейных алгебраических уравнений с разреженными мат­ рицами. При этом оказывается, что выбор соответствующей нумерации всех узлов области Q (и фиксированны в них параметров) позволяет построить такую систему, информацию о которой удобнее и экономнее хранить в памяти ЭВМ и решать прямыми методами. (Использование прямых методов часто является предпочтительным по точности полу­ чаемого решения и времени счета.) Рассмотрим один частный случай зависимости структуры симметричной ленточной матрицы от способа нумерации узлов введенной сетки. Напомним при этом, что для систем

циальные алгоритмы прямых методов, исключающие действия с нуле­ выми элементами вне ленты и требующие запоминания только элемен­ тов ленты, т. е. хранения массива с размерами г X (а + 1 ), где г —

порядок системы (размерность пространства Рп).

Предположим, что область Q представлена как совокупность тре­ угольных элементов, узлы которых расположены только в вершинах

ных задач [58, 92]. Эти эквивалентные задачи также описывают со­ стояние исследуемого объекта посредством других величин, например компонент тензора напряжений или компонент тензора напряжений и вектора перемещений и и т. п.

Для построения эквивалентных вариационных задач имеется не­ сколько способов. Один из них — использование теории двойствен­ ности [118].

Если исходная задача описывает исследуемый процесс через ком­ поненты тензора напряжений и проводится конечноэлементная аппрок­ симация непосредственно компонент тензора напряжений, то данный вариант метода называют вариантом МКЭ в напряжениях. Если осу­ ществляется дискретизация вариационной задачи, зависящей от ком­ понент как тензора напряжений, так и вектора перемещений, то такой вариант называют смешанным методом конечных элементов. При ди­ скретизации вариационной задачи, определенной на Q посредством компонент тензора напряжений, а на границе Г или ее части — компо­ нент вектора перемещений, речь идет о гибридном методе конечных элементов.

Отметим, что для краевой задачи, описываемой системой (1.7) с граничными условиями (1 .6), (1 .8), эквивалентной вариационной задачей является следующая.

Требуется найти такие a**, i, k = 1, 2, 3, которые доставляют ми­ нимум функционалу

Если а — решение вариационной задачи (1.43), (1.44), а и — задачи (1.6) — (1 .8), то R (а) + Ф (и) = 0 , и, кроме того,

Переход к эквивалентным вариационным задачам представляет интерес в случае возможности использования допустимых функций с меньшей гладкостью, чем требуется для метода конечных элементов в перемещениях. Кроме того, при дискретизации эквивалентной ва­ риационной задачи можно непосредственно получить приближенны^ значения наиболее интересных величин, например компонент тензора напряжений. Заметим, что в данном пункте речь шла о разных вариан­ тах МКЭ в зависимости от формы постановки (формулировки) исход­

ной задачи теории упругости. Иногда понятие о вариантах МКЭ свя­ зывают с численными методами (Бубнова — Галеркина, Ритца, на­ именьших квадратов, коллокаций и т. п.), которые используются для решения математических задач и которые легли в основу конкретного варианта МКЭ.

4. Понятие о методе суперэлементов. Метод конечных элементов используется не только для определения напряженно-деформирован­ ного состояния отдельных элементов и узлов конструкций. Его также можно применять для определения напряженно-деформированного состояния конструкций в целом. Подчас для получения искомого ре­ шения требуемой точности необходимо произвести разбиение рассмат­ риваемой области на большое число элементов (треугольников, прямо­ угольников и т. д.). Разбиение исследуемого объекта на большое число элементов порождает ряд проблем при машинной реализации метода. Одна из них, как уже упоминалось,— решение систем линейных ал­ гебраических уравнений с большим числом неизвестных (симметрич­ ные ленточные матрицы таких систем могут иметь порядок до несколь­ ких десятков тысяч и ширину ленты — свыше тысячи). Кроме того, ситуация еще осложняется и тем, что при исследованиях необходим многовариантный счет задач. Реализация таких задач даже на совре­ менных ЭВМ требует сотни часов счета. Поэтому возникла потреб­ ность в создании различных модификаций МКЭ, позволяющих сокра­ тить затраты времени на решение задачи.

Одной из модификаций является метод суперэлементов [87]. Суть его заключается вот в чем. Исследуемая область й разбивается на ко-

К= 1

/= 1, 2, .... N). Элементы о)х могут быть разнообразной формы, в том

числе треугольной, прямоугольной и т. д. В соответствии с этим раз­ биением можно построить систему линейных алгебраических уравне­ ний МКЭ

с глобальной матрицей жесткости К и вектором нагрузки f. Однако, как отмечалось выше, такая система может иметь очень большой поря­ док. Для понижения порядка решаемой системы линейных алгебраи­ ческих уравнений объединяют рядом лежащие элементы юх в группы

перэлементом [87]. Узловые точки подобластей й ;, лежащие на границе dQ1 области Й;, называют граничными, а лежащие внутри — внут­ ренними узловыми точками суперэлемента.

Теперь в системе линейных алгебраических уравнений (1.45) исклю­ чим неизвестные, являющиеся внутренними фиксированными парамет­