Основы метода конечных элементов

зом [135].

Для удобства изложения представим систему (II 1.17) в виде

где

Ап+Ч‘х = Ф",

(III. 18>

Лп+,/* = М + ± Кп+1/‘,

х = сп+\

ф n =

Kn+4t) сп + ±

(Fn+l + F").

Выберем для данной системы некоторую

вспомогательную, не зави­

определенной, легко обратимой (точнее, решение системы

вида А0г =

= В

не

представляет

значительных

вычислительных

трудностей)

и которая удовлетворяет соотношению

Yo (А оУ> У) <

(А 'г+'/гУ, У) <

Yi (А оУ, У),

где

0 <

Yo ^ Yi — известные

постоянные,

а у — произвольный век­

тор соответствующего

конечномерного подпространства. В частности*

в случае системы (III. 18) можно принять

А0 = М + ^ -К 1/‘

или

А0 = М + \ К й.

Пусть по определенному правилу выбрано начальное приближе

ние х0 к искомому решению системы

(III. 18) и

вычислена невязка

г0 = Ап+,/'х0- Ф

п = 8а.

Тогда последующие итерации xk, k =

1 , 2 ,

Q,

определяются

по формулам

Xft+1 = xk + aksk, а„

Ио Ч ,

rk)

(sk, Ап+ Чч к) '

rA+I =

rk+

akAn+l/'sk,

(III. 19)

s*_|-i = AQxrk+1 +

$ksk>

PA

(^o

rk+$

(A ^xrk% rk)

ции экспоненты е~х рациональными

функциями

г (х) =

^

,

где

Р (х) и Q (х) — взаимно

простые

полиномы, удовлетворяющие, в част­

ности, условию — 1 +

б <

<

1 при

некотором 6 >

0

и всех

х >

0.

Так как для схемы Кранка — Николсона

Р (x)/Q (х) =

(1 —

6 = 0 , то при использовании рассматриваемого

итерационного подхода

хороших

результатов (в смысле устойчивости

и скорости сходимости)

можно добиться лишь при условии т ^

СЛ2,

где

С ^

1 — некоторая

константа,

h = max [xt — Xi-\].

(В

случае

б >

0

никаких условий

на соотношения т и h не требуется.)

3.

Численный пример. Рассмотрим построение численного решения

МК.Э

задачи

ди

+ 2 /[ 1 +

х (1 +

я2)] и =

Ж

=

[1 +

(1 + 4/х) я2] ex+2tsin ях — 2я [1 +

/ (1 +

2х)] ех+2‘ cos ях,

0 < х < 1 , 0 < * < 1 ,

и(х, 0) = ехsin ях,

ы(0 , /) = 0 ,

u(l,t) = 0,

точное

решение которой

и (х, /) = ex+2i sin

ях.

Вначале, как описано в п. 2 параграфа III.1, была выполнена по-

лудискретизация задачи

по пространственной переменной х,

а затем

мере матрица К системы (III. 13)

зависит от времени /, но ее можно

представить в виде К =

К (t) =

К0 +

2MCi, где матрицы Kt, i = 0 , 1 ,

от t не зависят, что облегчало построение

матрицы К (0

на каждом

временном слое. Вектор

сп+ 1

из

системы

(м + -J- tfn+1) cn+1 =

(м

-

а:п) сп+

( Г +1 +

Г ),

С° =

g,

п =

О, 1,

2, . . . , т,

Кп — Ко +

2тКу,

т =

1 !т,

сп=

с (пт),

в данном примере вычислялся на

каждом

слое

методом

квадратных

корней. Вычисленные компоненты

вектора сп =

[с?, с?, .... с?]г явля­

ментарных отрезков [xi-u

, i = 1, 2, 3, 4, а тш = 0,25, 0,125;

0,0625.

Особенно высокая точность достигается при использовании

для полу-

дискретизации по пространственной переменной базисных функций по­

вышенных степеней (выше первой).

4.

Некоторые варианты применения МКЭ для решения параболиче­

ских уравнений. Упомянем

кратко и другие, отличающиеся

от описан­

ного в п. 2 данного

параграфа

подходы к использованию

МКЭ для

решения

нестационарных задач.

Приближение к обобщенному решению, определяемому интеграль­

ным тождеством (II 1 .8),

(II 1.9), можно строить, например, следующим

образом. Вначале методом Бубнова — Галеркина, как и в п. 2 настоя­

щего параграфа, необходимо выполнить полудискрётизацию по про­

странственной

переменной

х, а затем полученную систему обыкновен­

ных дифференциальных

уравнений (см. (III.13), (III.15))

i

M

~

+ Kc(t) = F(t),

Q < t< T ,

(III.20)

c (t) = M /) ,

c2(t)...........cs(/)f,

с

начальным

условием

c(0) = g

(III.2 1 )

решать

методом

конечных

элементов, используя вновь метод Бубно­

в а — Галеркина

для дискретизации по

временной

переменной. Для

этого отрезок [0, Т] рассматривается как совокупность 90? одномерных

элементов [tk—u tk], Л =

1, 2, ..., 90?, а соответствующие допустимые

кусочно-полиномиальные вектор-функции можно выбрать в виде

cm(t) =

g ^ ( t ) + £ c ? ^ ( t ) ,

(IH.22)

/ = 1

где

(0)5 — базисные функции МКЭ, подробно описанные в пара­

графе И .4, cj1— искомые числовые векторы, компоненты которых бу-

дем обозначать через с*у, i = 1 ,2 ,

...,s, /

= 1 , 2,

г (см. (ШЛО)), т. е.

Cj

=

[Ciy, С2/1

...»

Csf\

Заметим, что размерность вектора cj1определяется размерностью

конечномерного подпространства, используемого при пространствен­

ной

полудискретизации

исходной задачи (III.1) —

(III.3),

т. е. рав­

на s.

Выражение (III.22) можно записать и в матричной форме, а именно

JJI/а

^ КЯП/л\ ,

(1к

где Ст

= (сц) — прямоугольная матрица с размерами s х

г, элемен­

ты которой— действительные числа с*у, i = l , 2 , ...,

s, / =*1 , 2 , ..., г,

JR

w f .

'р (0 = Н>1л (0 . №

(0 ,

тов clh i = 1 , 2 ,

s, / = 1 , 2 , ..., г:

Аг = Ь.

^ = [^ц» ^21»

CsU ^12» ^22»

у Cs2>

•••

у С\г> ^2г» •••> CsA »

Ь— известный

вектор.

Замечание.

Компоненты cf1(/),

i = 1,

2,

s, приближенного ре­

ранствам Phni, т. е. с?* (0 строится

в виде

разложения

п

ф“ е

£= 1 ,2,

s.

с? (t) = &ф«?(о + S oti^i (о.

/= 1

ления коэффициентов

a jy i =

1 , 2 , ...,

s,

/ = 1 , 2 , ..., rh остается

прежней: t-e уравнение системы (II 1.20)

умножается

скалярно на

каждую функцию

(0 , / =

1 , 2 ,

г*;

полученная

система имеет

II.4): для любой

функции v (х) £ Wl2 П W%+'

существует

функция

О.

что

vN(х) £ Рр такая,

- / 1 dp+lv

» / — о, 1 ,

И * ) - Л * ) 12./ < С / 1Р+'

dxp+l

где С — постоянная, не зависящая от ft и ti (JC).

Предположим, что начальная функция и0 {х)

(см. (III.2))

удовлет­

u0(x)£Wr2{0,

/),

и0(0 ) =

и0(/) =

0 ,

(III. 24}

Lun = L2un =

= L[—2

Ju0=

0

при x = 0 , x = l.

менном отрезке,

0 ^ п <

оо, а именно

шах

|и(х, пт) — uN(х, пт)||^ <

С(hp+l +

т2) lg Д - 1|и0|2,г,

(III.25)

0^п<оо

т

если и0(х)

удовлетворяет

(II 1.24)

при г =

шах (р + 1,4).

И хотя

оценка (II 1.25)

позволяет

ожидать

достаточно хорошие результаты,

Оценим в норме пространства L2(0, /)

погрешность полудискрети-

зации по пространственной переменной для задачи

(III. 1 )

— (III.3),

т. е. оценим разность

и (х, t) — uN (х, t),

где uN(л:, t) определяется

соотношениями

(ШЛО) — (III

12).

Заметим,

что

в силу

исходных

предположений

(см. п.

1 параграфа

III. 1) точное

решение и (х,

t) £

•€

о

0 .

(О, I) при каждом фиксированном t

Пусть uN(х, t) для

каждого фиксированного

t ^

0 является

про-

о

о

о

Ло

(*(*)-| £-) +

<7(*) w

(III.26)

на множестве функций v (х) £ D (А),

удовлетворяющих

условиям

u £ C 2 [0 , 1],

ц(0) =

п (0

= 0.

(III.27)

Это означает, что для каждого

t ^ 0 справедливо соотношение

[и(х, t) — uN (х, t), vN(x, t)]A=

0 ,

V / (x, t) € kp.

(III.28)

ра А и пространство

W2 (0,

/)

состоят

из одинаковых функций.)

Из (II 1.28) следует, что

[и —

uN, и— UN\A = min [и— vN, и — vN]A.

(III.29)

vN4Pp

Действительно,

пусть vN ~

uN-f- wN при \/ wN £ Pp. Тогда с уче­

том (111.28)

[u— V N , U —

VN]A =

[u —

uN,u —

UN]A + [ « Л WN\A ^

и равенство возможно лишь при wNs

0 , т. е. справедливо равенство

(II 1.29).

Таким образом, при каждом значении

0

проекцию

uN (х, i)

можно рассматривать как приближенное решение некоторой

краевой

задачи с оператором (III.26), (III.27),

и в силу

теоремы II.5 имеем

|и(х, i) -

uN(х, 0 1 <

Chp+' I и12>P+I.

(Ш.ЗО)

Искомую погрешность представим теперь в виде

и(х, i) — uN(x, t) =

«= (и(х, t) -

uN {х, 0) + (« " (х, i) -

uN (x, 0),

(III.31)

( - з

М +

i

^

<п1-з2)

где (•, •) — скалярное произведение в L2(0,

/), Г

)

— проекция в смыс-

ди

о ^

нормой гильбертова пространства L2(0,

/),

в котором определен опе­

ратор А,

[г, z\A> y \ z f ,

у >

0,

и очевидному равенству

дества (III.32) ограничена

величиной

— ^ .| ||г||, то, объеди­

няя указанные результаты,

получаем "

- 2 г М + ?| г | <

ди

dt

I и* (X, 0 - uN(X, 0 1 <

e~ytII и» (X, 0) - и* (х, 0) | +

ди

N

_| j eV(T-l

ди

dx.

(Ш.ЗЗ)

dt

~дГ

1й" (*, о) - uN (х, о) I < c2hp+[I и0|2,Р+1.

(III.34)

129

Так как в силу наших предположений

£ W? (О, I) при каждом

фиксированном значении t > О, справедлива

оценка, аналогичная

(III.30):

| | ( - ж )

<ш -з5>

Объединение

результатов

(III.30),

(III.33) — (III.35) делает оче­

видным следующее утверждение.

/) — обобщенное решение задачи

Теорема II1.2.

Пусть

и (х,

(III.1) — (7/7,5), удовлетворяющее соотношениям (III.8),

(III.9), а

uN(х, t) — полудискретное приближение к и (х, t) в смысле

(II 1.10),

(111.11) и (111.12)

или (III .14) в подпространстве I’ { с

(0, I)

кусочно-полиномиальных функций степени р.

0

l) [")

4-1

(0,

t)

при. каждом

значении

Тогда если и {х, t) (j W2 (0,

W2

t 0, то

II и(X, f) -

uN (X, t) II <

Chp+l

II и|2>р+1

+

e~* I UQ|2.P+, +

du

0

H i