Основы метода конечных элементов

Сходимость МКЭ в применении к уравнениям четвертого (и более

высокого) порядка может быть исследована так же, как в параграфе

Н.З.

Однако мы приведем здесь результаты, следующие из общей теории МКЭ [101].

Пусть методом конечных элементов решается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2/п-го порядка

Au = f,

оператор А которой положительно определен в Н = La(0 ,I) и действу­ ет по формуле

Обобщенным точным решением данной задачи является функция и (х) £ Н а , доставляющая минимум функционалу

Приближенным решением МКЭ (вариант процесса Ритца) является функция и», доставляющая минимум функционалу F (v) на конечно­

мерном подпространстве Р2 с НА.

Приведем теперь результаты, касающиеся оценки погрешности и — uN. Как уже упоминалось, для погрешности и — uNсправедливы следующие соотношения:

Соотношение (II.ПО) свидетельствует, что по отношению к энергети­ ческому скалярному произведению [•, ЛА погрешность и — uN ор­ тогональна подпространству Phn, т. е. приближенное решение uNесть проекция и (х) на Р„.

В оценке погрешности и — uNважную роль играет теорема об ап­ проксимации функций из пространства W* конечно-элементными под­ пространствами Р„ (см. теорему 3.3 из [ 101 ]). Применительно к функциям одной переменной и (х), х € [а, b], эту теорему можно сформулировать следующим образом.

Теорема II.4. Пусть Р,1 — подпространство кусочных полиномов степени п, имеющих на [а, Ь\ непрерывные производные до (q— 1)-го по­ рядка, а в производных q-го порядка допускаются лишь разрывы первого

где иЧ (х) интерполянт и (х) из Р„.

На основе теоремы аппроксимации и с использованием приема Нитше в [101] дана оценка погрешности и — uNметода конечных элементов в общем случае решения многомерной эллиптической крае­ вой задачи для дифференциального уравнения порядка^ 2т.

В рассматриваемом нами случае одномерной краевой задачи со­

погрешности и — uNприближенного решения uN, полученного методом конечных элементов, справедлива оценка

Отметим, что в случае многомерной краевой задачи для дифферен­ циального уравнения 2 т -го порядка оценка (1 1 .1 1 2 ) получена в предположении выполнения условия

Сх |vЦг.т ^ I vЦл = [и, V]A ^ С21|v Цг,ш, V о £ На-

Применение теоремы II.5 к оценке погрешности МКЭ в случае кра­ евой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2/л-го

в МКЭ точного интегрирования численным, достаточно (см. п. 2 пара­

Анализ чисел обусловленности матриц систем уравнений МКЭ, аналогичный подробно описанному в п.З параграфа II.3, показывает, что в случае уравнения 2 т -го порядка при любых элементах справед­

штабирование матрицы. Иными словами, всегда можно достаточно просто построить систему уравнений МКЭ (см. примеры в п.З парагра­ фа П.З), матрица которой будет иметь число обусловленности не боль-

Эрмита. Все интегралы вычислялись по квадратурным формулам Га­

Как видно из табл. 8 , и в данном примере приближенное решение, вычисленное при h = 0,25, R = 8 , обладает достаточно хорошей точ­ ностью. Однако при h = 0,125 этой разрядности оказалось недостаточ­ но для получения решения с большей точностью: ошибки округления перекрыли ошибки МКЭ.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ

В данной главе на конкретных примерах дается понятие о применении МКЭ для решения задач, связанных с уравнениями параболического типа Проводится сравнение результатов, полученных при различных подходах использования МКЭ в решении нестационарных задач.

111.1. Решение методом конечных элементов начально­ краевых задач для линейных параболических уравнений второго порядка

Особенности применения МКЭ для данного класса задач рассмотрим на следующем примере. В области QT найти функцию и (х, /), удовлет­ воряющую уравнению

1.Постановка задачи. При классической постановке задачи требу­

Если исходные данные не являются гладкими функциями, то задача (111.1) — (III.3) в общем случае не имеет классического решения. Тог­ да можно расширить постановку задачи и заменить ее отысканием не­

Заметим, что формально интегральное тождество (II 1.5) получено из

ем по частям. Очевидно, что классическое решение задачи (III. 1) —

доказаны в [54] при выполнении условия (II 1.4) и следующих ограни­ чениях:

т

В ходе доказательства используется метод Бубнова — Галеркина, ко­ торый в данном случае реализуется следующим образом.

оj

Впространстве W2 (0, I) выбирается какая-нибудь фундамен­

тальная система {ф* (х)}, т. е. система функций со следующими свой­

ствами:

о .

все функции ф* (х), k = 1 , 2 , ..., принадлежат W2 (0 , 1)\

функции ф* (х), k = 1 , 2 , Ny линейно независимы при любом значении N < оо;

Приближения uN(х, t) к искомому обобщенному решению задачи

где функции Ck (f), k = 1, 2, N, удовлетворяют системе N линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Согласно (II 1.7) указанную систему можно переписать в виде

В силу условий (III.4) — (III.6) эта система однозначно определяет абсолютно непрерывные на отрезке 10, Т) функции ck (f), k = 1 , 2, ...

..., N, и приближенное решение uN(х, t) вида (III.7).

Доказано, что последовательность построенных таким образом ре­

Заметим, что это обобщенное решение удовлетворяет и интеграль­

Принятые выше условия для коэффициентов и начальной функции

для дискретизации МКЭ исходной задачи только по пространственным переменным (называют это полудискретизацией по пространству). В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений от временной переменной t, которую затем решают какимнибудь численным методом. При осуществлении полудискретизации исходят из интегрального тождества (III.8), (III.9). Остановимся не­ сколько подробнее на этом подходе.

Для построения полудискретного приближения к обобщенному решению задачи (III. 1) — (II 1.3) выберем конечномерное подпростран­

ство Рл с Щ (0 , [) с базисом {cpf (x)}i, отвечающим разбиению об­ ласти изменения пространственной переменной х, т. е. отрезка [0 , Л, на N элементарных отрезков [x*_i, xh] k = I, 2, Здесь исполь­ зуются те же обозначения и понятия для элементов и базисных функ­ ций, что и в гл. II.

Приближенное обобщенное решение будем искать среди допустимых функций вида

cw (0 = [^ (/), cS(t), . . . , iff(f)]T

с начальным условием

McN(0) = g,

где УИ — матрица масс, такая же, как в гл. II, К — матрица жесткости (симметричная), элементы которой могут зависеть от t (если коэффи­ циенты k (х, t) и q (х, t) являются функциями f), F = F (i) — вектор, определяемый правой частью уравнения (III.1), g — постоянный s- мерный вектор, определяемый функцией и0 (х).

Заметим, что соотношение (II 1.12) удобнее заменить на

где компонентами вектора g являются значения функции и0 (х) (и не­

которых ее производных) в узлах интерполяции. Например, в случае oh

Pi имеем

Для численного решения задачи (III.13), (III.15) при t^ O можно использовать ту или иную устойчивую разностную схему.

Опишем, например, применение схемы Кранка — Николсона в слу­ чае постоянной матрицы К. (Для удобства опустим значок N в искомом векторе cN (f), так что при дальнейшем изложении cN (f) = с (/).) Рас­ сматриваемая схема Кранка — Николсона, представленная в симмет­

случае целесообразно находить прямым методом, однократно применив метод квадратных корней для разложения А = STS, где S — верхняя треугольная матрица, a ST— транспонированная к ней. Затем на каж­ дом шаге искомый вектор сл+ 1, п = 0 , 1 , ..., т, вычисляется при ре­ шении двух треугольных систем

STZ= Г, Scn+l = 2.

Если коэффициенты задачи (III.1) — (II 1.3) зависят от времени, то матрица К тоже будет зависеть от времени К = К (t), следовательно, матрица линейной системы (II 1.16) будет иной на каждом временном слое. При этом для вычисления сл+ 1 можно использовать систему

Однако применение прямых методов для численного решения систе­ мы (III.17) может оказаться слишком «дорогим», так как на каждом шаге необходимо строить треугольное разложение новой матрицы. Чтобы обойти эту трудность, ряд авторов [124, 135] предлагают на каж­ дом временном слое вычислять не точное значение сп+ 1, а некоторое итерационное приближение. (Данный подход справедлив не только для схемы Кранка — Николсона, рассматриваемой здесь в качестве приме­ ра, но и для многих других, в том числе и схем более высоких поряд­ ков (см., например, [124]).) При этом для итерационного процесса На каждом временном шаге используется специальное начальное прибли­ жение, полученное экстраполяцией нескольких ранее вычисленных векторов; например, при вычислении c"+1 в качестве начального при­ ближения в итерационном процессе можно взять вектор [124]

вать модифицированный метод сопряженных градиентов как обла­ дающий достаточно высокой скоростью сходимости и не требующий знания (или оценок) максимального и минимального собственных значений решаемой системы.