Основы метода конечных элементов

Г л а в а IV

ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Большой и важный класс научно-технических проблем связан с во­ просами устойчивости или колебаний некоторых систем и их элементов (см., например, [49]). Математически эти проблемы формулируются в виде задач на собственные значения некоторых операторов. В насто­ ящей главе рассматривается решение методом конечных элементов задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвертого порядков, а также затрагиваются вопросы применения МКЭ для подобных задач в более общих случаях.

IV. 1. Постановка задач

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Простейший пример задачи на собственные значения возникает при исследовании проблемы устойчивости стержня длины /, один конед которого защемлен, а на другой — свободный — действует в центре тяжести концевой, площади сжимающая сила Р, направленная вдоль оси стержня [49]. Допустим, что все поперечные сечения стержня оди­ наковы и их главные оси инерции лежат в двух фиксированных на­ правлениях.

Если значение Р выше некоторого критического, то, как известно, прямолинейное положение стержня становится нестабильным и в со­ стоянии устойчивого равновесия стержень имеет изогнутую форму. Рассмотрим начало потери стабильности при продольном изгибе, т. е. рассмотрим положение равновесия стержня, незначительно отлича­ ющегося от прямолинейной формы. Пусть начало координат располо­ жено в точке приложения силы Р, а ориентация осей х, у такая, как на рис. 25. В слабоизогнутом положении равновесия, незначительно от­ личающемся от прямолинейного, уравнение упругой линии у (х) име­ ет вид

М = РЯ = - Е 1 - g —

где М — изгибающий момент, Е — модуль упругости, J — осевой момент инерции сечения, а = EJ — жесткость на изгиб.

ющие краевые условия для искомого решения:

у(0) = о, ^ - ( 0 = 0. (IV.2)

Таким образом, задача отыскания критической нагрузки Р и соответствующей формы устойчи­ вого равновесия стержня при продольном изги­ бе свелась к решению математической задачи (IV. 1), (IV .2), т. е. к отысканию значений чис­ лового параметра X = со2, при которых задача

имеет нетривиальные решения. Эти значения параметра X назы­ ваются собственными числами задачи, а отвечающие им решения

у(х) — собственными функциями задачи.

Вданном простом примере поставленная математическая задача решается весьма просто, в замкнутой форме. Действительно, общее решение дифференциального уравнения (IV. 1) имеет вид

у (х) = сгcos сол: + с2sin сох,

а учет краевых условий дает

12/s_1) л

равновесия стержня — ук(х) = с sin - — г— х, где с = const.

К совершенно аналогичной задаче на собственные значения при­ водит исследование продольных колебаний стержня длины I, один ко­ нец которого (х — 0) свободен, а второй (х = I) жестко закреплен [48] (рис. 26). Смещение у (х) при продольных колебаниях удовлетворяет дифференциальному уравнению

— E^ ( s № -% -) = ®2PS(X) У< 0 < х < 1 ,

Однако в общем случае дифференциальных уравнений с перемен­ ными коэффициентами решение задачи на собственные значения со­ пряжено со значительными трудностями и строится в основном чис­ ленными методами, в частности, решение может быть найдено методом конечных элементов.

Рассмотрим более общую задачу на собственные значения

записать в виде операторного уравнения в гильбертовом пространстве Н = L2(0, /)• Для этого достаточно ввести оператор А формулой

определенный в силу условий, наложенных на коэффициенты урав­ нения (IV.3). В этом легко убедиться, повторив дословно рассужде­ ния п. 1 параграфа II .1, относящиеся к оператору, заданному той же формулой (IV .5), но на множестве функций, удовлетворяющих более общим краевым условиям (см. (II.5), (II.6)). Нетрудно проверить и то, что энергетическое пространство На рассматриваемого оператора

состоит из тех же функций, что и пространство W \ (О, I ); норма в Н д определяется соотношением

причем в силу условий, наложенных на k (х) и q (х)9справедливо не­ равенство

О

Теперь для доказательства существования собственных значений задачи (IV.3), (IV.4) достаточно показать, что оператор А удовле­ творяет условиям теоремы 1.7, т. е. что любое множество элементов, ограниченное в энергетической норме, компактно в норме исходного

является оператором Фредгольма, который, как известно (см. [661), вполне непрерывен в пространстве L2 (0, Г). Иными словами, этот оператор преобразует любое ограниченное множество из Ь2(0, /) в мно­

жество, компактное в этом же пространстве. Отсюда, полагая v (х) = ?

=и учитывая (IV .9) — (IVЛ2),

непосредственно убеждаемся, что множество функций и (х) £ М будет компактным в L2(О, I) = Н\ это и требовалось показать.

Таким образом, установлено, что задача (IV.3), (IV.4) имеет бес­ конечную последовательность собственных чисел

О< ^

сединственной предельной точкой на бесконечности и соответствую­ щую им ортонормированную в Н систему собственных функций

Вопрос о построении МКЭ приближений к собственным значениям данной задачи будет рассмотрен в параграфе IV.2.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого поряд­ ка. Коснемся кратко постановки задач на собственные значения для операторов четвертого порядка. В качестве примера, приводящего к такому виду задач, рассмотрим устойчивость сжатого стержня на уп­ ругом основании [49]. Пусть стержень длины I и переменного сечения, подвергающийся действию осевой сжимающей силы Р, лежит на уп­ ругом основании. Пусть сила, действующая на единицу длины стерж­ ня при прогибе на величину у, пропорциональна прогибу, т. е. Ку- Тогда при малом изгибе (рис. 27) уравнение упругой линии имеет вид

х

м = Ру + ^Ку(Ъ)(х-Ъ)с11 = — а - ^ - , а = EJ (х),

О

где, как и в предыдущем примере М — изгибающий момент, Е — мо­ дуль упругости, J (х) — момент инерции сечения стержня с абсцис­ сой х.

После двукратного дифференцирования получаем дифференциаль­ ное уравнение

(В случае шарнирного закрепления концов краевые условия таковы:

{/(0) = у (0 = 0, - Й -(0 ) = - 3 - ( / ) = о.)

Задача (IV. 13), (IV. 14) как задача об устойчивости сжатого стер­ жня состоит в отыскании значений «критических нагрузок» Р, при ко­ торых уравнение (IV. 13) имеет нетривиальные решения, удовлетво­

Таким образом, рассматриваемый пример из технической механики привел к решению задачи на собственные значения операторного урав­ нения

Аи — ХВи = 0.

Рассмотрим теперь достаточно общий пример задачи на собствен­ ные значения для уравнения четвертого порядка

области определения которых D (А) и D (В) устанавливаются соот­ ношениями (IV. 15) и (IV. 16), являются положительно определенны­

ми, причем

i

I». »1д“ $[*(-гг),+р(-аг) +«“*K

о

(IV. 19)

Отметим, что На в данном случае составляют функции, принадле-

Для доказательства существования бесконечного числа собствен­

откуда следует

<,v2o>

о

Как известно, для любой функции и (х) £ W\ (0, /), удовлетворя­ ющей условиям (IV. 18), справедливы равенства

Интегральный оператор (IV.21) как оператор Фредгольма пре­ образует любое множество, ограниченное в L2 (0, 0, в множество, ком­ пактное в L2 (0, /); следовательно, если и (л) £ М, то с учетом (IV .20) можно утверждать, что множество М компактно в L2 (0, I). А это оз­ начает, что из любой бесконечной части множества М можно выделить последовательность (м„ (лс)}, сходящуюся в L2 (0, /):

i

о

Если теперь к элементам этой последовательности применим оператор*

Фредгольма (IV.22)

/

Напомним, что в данном случае На и Щ (0, /) состоят из одинаковых

функций, т. е. допустимые функции при минимизации функционала

о.

(IV .25) принадлежат W2 (О, Г). Для построения методом конечных эле­ ментов приближения uN(х) к функции, доставляющей минимум функ­ ционалу (IV.25), достаточно применить процесс Ритца, описанный в п. 5 параграфа 1.2, с базисными функциями МКЭ (ф^ (х)}. Однако

здесь, как и при решении соответствующих краевых задач, можно стро­ ить непосредственно допустимые функции vN(х), являющиеся кусоч­ но-полиномиальными функциями требуемой гладкости из конечно-

нить к вспомогательной функции метода неопределенных множителей

стандартный алгоритм, подробно описанный в параграфе II.2.

оо

Пусть, например, vN(х) £ Р\ с= W2(0, /). т. е. допустимые функции принадлежат подпространству кусочно-линейных полиномов, удовле­ творяющих условию

vN(0) = vN(l) = 0.

С помощью тех же рассуждений, что и в п. 1 параграфа II.2, функ­ ционал (IV .26) можно записать как функцию параметров v{ = vN(х{),

будем иметь

F (VN) = <атК(й — X(OrM(0.

Здесь трехдиагональные матрицы К и М строятся обычным образом из элементарных матриц Kt и М(. Приравняв к нулю частные произ­

Таким образом, дискретизация методом конечных элементов вари­ ационной задачи о минимуме функционала (IV.25) (или, что эквива­ лентно, исходной задачи на собственные значения (IV.23), (IV.24))

...,i>$-i]r, отвечающие^, дадут значения соответствующих приближен­

ных собственных функций щ (х ) во внутренних узлах х ь k — 1,2, ...

...,N — 1, интервала (0, /). Приближение к собственной функции щ (х ), отвечающей собственному числу А* исходной дифференциальной зада­ чи, можно получить по формуле

а также в случае переменных коэффициентов. Отметим только, что функции из энергетического пространства На, в отличие от функций из D {А)у должны удовлетворять только главным краевым условиям и не обязательно должны удовлетворять естественным. Поэтому и до­

пустимые функции vN (х) £ Phxс. На можно не подчинять естественным

Замечание 2. Аналогично, следуя методике параграфа II.2, можно получить дискретные задачи и при кусочно-полиномиальных допус­ тимых функциях более высоких степеней (га > 1). Отметим, что алгебраическая задача на собственные значения всегда будет обобщенной» а матрицы К н М — хоть и ленточные, но с повышением степени по­ линомов га ширина их ленты будет расти.