Основы метода конечных элементов

гебраических

уравнений

МКЭ

целесообразно

изменить упорядоче­

ние фиксируемых на Tt параметров,

а именно

принять

(0 =

0)*

— [Uriy

Pi,

Qiy

Uz\t

Piy

piy

Ur2t

Р2» ? 2 > ^ z2i

P%y

Q2*

Иг3,

P $ J

Q$y

^z3> P$y

Q31

UrOi

^zo]

Тогда параметры

иго, и2о легко исключить из рассмотрения, выра­

зив их через оставшиеся

(см. параграф

1.5);

соответственно преобра­

квадратных

корней и метод LD//-разложения

[106].

3.

Сходимость приближенных решений. Пусть d =

/2, т. е. Г6 = О

(см. рис. 30). Через {Qn} обозначим последовательность разбиений об­

ласти D =

(J

D2

на замкнутые треугольники

Т?, k =

1,2, ..., Nn

(не обязательно прямоугольные), которые имеют следующие свойства:

(Nn— общее число треугольников п-го разбиения области D);

2)

П П

П

=

0,

U / =

1, 2,

Nn%1Ф!\

3)

часть

Г(1) =

Tj

у Г2 у Г4 границы Г представляет

собой

объ­

единение некоторых

сторон треугольников разбиения Qn области D;

4)

Н т А я =

0,

где hn— длина

максимальной стороны всех

тре­

угольников

из

Qn\

5)

0 < а

где

— минимальный угол в разбиении Qn, а а —

фиксированный угол.

Ч" азз

Pj«f

ди 2

ди2

ди^

д и 2

Г* ■+а22

дг

дг

■+

°12 (

дг

д г

■ +

диг

+

ди±

f

д и 2

■ +

rdrdz,

дг

г

дг

) +

а 28(L

Г

д г

где V = [«! (г, z),

иа (г, z)F, £/ =

[% (г,

z),

и2 (г, z)V, V,

6/ ^ 901,

—

множество

вектор-функций

V (г,

г), каждая компонента которых на

каждой из областей Dlt D2 принадлежит пространству

W2 и которые

= 0 или [o j |г ,

= 0.

Нетрудно проверить,

что

'

Ф(У,

V ) > 0 ,

Ф(У, и) =

Ф(11,

V),

0{aU,

V) = a<b(U,

V),

(yi.25)

Ф(У,

U + W) = Ф(У, U) + Ф(К,

W),

Ф (aV +

Pi/,

aV +

р(/) =

а2Ф (V, U) +

2сфФ (V, U) +

р2Ф (U, U),

где V, U,

W £Ш, а,

р —

произвольные

вещественные

числа.

Построение и исследование приближенного реш ения.^ (г, г)

мож­

но выполнять, минимизируя не функционал (VI.9) (или,

что то

же,

(VI. 10)), а функционал вида

7(1/) =

-1-Ф (1/,

V)-l(V),

Ф(V,

V) =

F(V),

о

Ф(и,

V) = (f, V) + l(V) + R(U, V),

где

R(U, V) = R( V) = $ a ,(a12- ^ - + a22- ^ - + aM- ^ -

rcos(n, z)dT.

rd)

'

>

третьей степени,

то

R ф — U") = 0, в противном

случае

\R {U -U n)\ = 0{h\).

(VI.32)

Так как

F (V)

0

для V V £ 9Л, из (VI.31)

следует, что

3 ф п) +

+ R (U— Un) >

/(£ /). Однако для произвольной вектор-функции Vn£

0

/

0

£ Нп(множество Нп а Нп состоит из тех функций, которые на Г( ) удов-

летворяют

условию

(V I.12), т. е. v" = g (г),

дип

я \

=

-^Ч справедливо

неравенство

7(УП) > 7 ( / / Л).

(VI.33)

Тогда

на основании (VI.32), (VI.33) имеем

/ ( П + П ф — йп) > I(0n) + R(U — Un) > / ( / / ) .

(VI.34)

на основании (VI.27), (VI.32) следует (VI.29),

а из (VI.29), (VI.31),

(VI.32)

получаем

(VI.30).

С учетом результатов леммы VI.3 и соотношений (VI.31), (VI.32),

(VI.34)

получаем,

что скорость сходимости

в (VI.29), (VI.30)

будет

О (hn),

если g (г)

на Г11’ — полином не выше третьей степени,

в про­

тивном случае — О

алгебраических

уравнений

4.

Обусловленность матрицы системы

2П ((У) =

С1ц8Гг “I”

~f“ 2fljg8rr8ФФ“Ь ^22®ZZ “Ь 2#23®гг®фф +

^ЗЗ^ФФ +

+

а44Егг> 0.

(VI.35)

Следовательно,

для

произвольной функции U £ <331,

U =

[их, и2]т,

Yl фг

Ezz + Erz +

Кфф) ^

2П (U) ^

74 (е?г +

егг +

егг +

ефф),

(VI.36)

где

р

—

ди1

р

—

ди*

•

р _

ди 1

4-

ди*

’

р _

“1

е "

~

дг ’

“ —

д г

гг

~

д г

+

Ефф------ 7 ~ »

Yi =

min (уГ, y t) ,

у4 = max (уГ,

Уt ) ,

у*

=

min (Я,х,

К2,

yt =

шах (лх,

К2, Х8, аи)±,

с8< ;ht (i)!hT ( * Х

с4, 6 = 1 , 2.

(VI.37)

(здесь hx(t) — шаги

по оси г, /г2 (i) —

по оси

г).

Введем

обозначение

что g (г) г== 0 (см. (VI .2)). Тогда для U" £ Нп

Пп— 1>,п

,,п)7

соотношения

(VI.28), (VI.36)

и неравенство’

ь

2

’ учИТЫВая

нетрудно

D

о

'

получить

Т * «Л Un)^ F (U n)< l i 2[ ( ~ - ,

-*£-) +

( * £ - , ^ p ) +

{U\ (/")] ,

где

(VI.38)

V2 = Ylr0 min (/i

, U ), fx2 = у41хmax (2, г^2).

В соответствии с триангуляцией области D, как и прежде, можно

ваписать

О Л

£/") = f

У ( » а(6. П Н -о2(£. л )Х М 1 < * Л >

<=i

г,

>

6* £

гг

JJ (**»■ + о2) d!dT],

/= 1

г..

где да (£,

л) =

и" (г (Л),

г (I)). « (I. П) =

(г (л). z (£)). Для

каждого

Г* справедливо неравенство

/

=

j J («»2 +

о2) dldr] >

0.

(VI.39)

Если /* =

0, то да (5, Л) =

0,

v (£,

л) — 0,

а следовательно,

согласно

(V I.18) а,

=

= 0, < =

1, 2....... 10. Зафиксируем на каждом

П , Л =

т(№ 1*1"^"|)<с,‘ /=1,2>

10,5,Ti€f°(VI. 43)

Из (VI.37) следует:

mf x ( ^ T , ^ r ) < m a x (C2’

т ) =

с°-

(VI.44)

Согласно (VI.42) — (V I.44) имеем

А г ~*

/ * < A«Vl (со*)7 со*,

Ik< с0 (со*)' о / и

где

с0 =

Юс0С5, Vj — максимальное собственное

число

матрицы Мк

(см. (V I.40)).

Таким образом,

+

&=1

(«У ® * ,

или

F (Un) <

свй гш,

(VI.45)

где

св =

6р2 (с0 + Vjfi2) max (1, с2,

сз"2), со — те

же, что

и в (V I.41).

Так

как

Й -> 0 при п -*• оо, то

Итак, для случая g (г) =

0

установлено

(см.

(VI.41),

(VI.45)),

о

F (Un) является положительно опре­

что при V Un£ Нп функционал

деленной квадратичной формой параметров со, т. е. F ( Un) =

о/Ксо, и

число обусловленности

«масштабированной»

матрицы

К = А~1КА~1

результирующей системы алгебраических

уравнений

МКЭ будет

О (й -2):

Сй2©7© < F(Un) <

С©7©, т. е.

fr\

Amin

с

где

С =

6ц2 (с„ +

vx) max (1, с2,

с3 2),

при

соответствующих

краевых

условиях:

для

V\ (г, г)

иг =

0, (г,

г)€ Г (1>;

Огг =

о, (г, 2) е Г;

оа =

0,

(л,

г) е г в;

огг = 0,

(г,

z) £ Г3

(J

Г2;

orr —

PQ,

(г, Z) £ Г3;

для Vц (г,

г)

иг =

0,

{г,

г ) ^

U Г„

u2 = g, (г,

2) ^ ГБ;

Огг =

О, (г, г) £ Г;

о22 =

0,

(г,

г) ^ Гв;

Огг =

О,

(г,

г)£ Г 3 U

Г5

U

Г7.

При жестком соединении ребра с оболочкой условия сопряжения

имели вид

\иг] |г8=

[и2] |г8=

0,

[Огг] |гв =

[Огг] |г8=

О,

а при скользящем —

Ш |г. =

0,

[огг] |г. =

0,

о% |г, =

oTz|г. =

о.

Приведем исходные данные в безразмерных величинах: упругие

постоянные для ребра

аи =

2,49946,

а13=

1,203 815,

а13 =

0,971 5716,

а22 =

2,9144,

а.гз = 2,061 307,

а33 =

7,965 14,

а44 =

1;

для оболочки

ап = 2,212512,

а12 =

1,17133,

а22 =

5,325998,

^2з = 1*325998,

д44 =

0,5,

д43 — &х2,

^зз =

^22*

Параметры

области

D (см.

рис.

29)

следующие: о =

3,8,

= 3,92,

г0 =

3,6, /2

=

0,3,

d =

0,1,

р0 =

10-3 ,

g — постоянная

величина,

вычисляемая

через р0, параметры

области D и соответствующую со­

ставляющую модуля Юнга для оболочки.

точки результаты практически не изменяются,

и можно считать,

что решение практически достигнуто на достаточно

грубой

сетке

(см. рис. 31), для чего хватило 3 мин на ЭВМ БЭСМ-6.

На рис. 33 показано распределение напряжений афф для случая

жесткого соединения ребра с оболочкой, а на рис.

34

— для

сколь­

зящего.

a(U, V) — Kb (U, V) = О, V V £ Я (Q),

(VI.46)

где Q = (а, Р), Я =* Нг X Я х, Я х — пространство функций

ик(х),

М Р ) =

duk

= 0, (VI.47)

dx

*=в

« ((/,

< * > - § - ■ $ - +

/V

d2wa

St2"

+ М * )

d2tta

d2aa

dx,

(VI.48)

ci*2

Sc2

b(U, V) = | p (« Л + u2v2) Q(x) dx.

a

Здесь

Ix (x),

/ 2 (x),

/ 12 (x) — моменты

инерции относительно

некоторых осей,

Q (х) — площадь

поперечного

сечения

стержня. Если

Е > 0 , р > 0 , 0 <

Ci <

Q ( х ) < с2,

0 ^ Сд ^ I J (х ), / 2 (х ) ^

/l (х) / 2 (х) — /?2 (х) >

с6 >

о,

то выполняются соотношения

a(U,

V) = a(V,

U), b(U,

V) =

b(V, U),

a{U) = a{U, U),

b(U) = b(U, U),

(VI.49)

k A \ U $ ^ a { U ) ^ K A \ U $ ( k A,

K A >

0),

a(U )>cA\\U$(cA>0),

(VI5Q)

M ^ llo < W < K a | £ /| | o (* B >

KB > 0 ) ,

где

a(U )>y2ob(U),

1U |н =

( I Ui | , 2 + 1 u21§ ,2), I ukЦг,2 = 1 uk|r |,

1|£/||о = (К1Р + 1Ы2), IKIlHMk-.-

В случае оболочечной модели

Q =

{jt =

(x1,

х2), a1< x 1< P l,

a2< x 2< p 2}.

(VI.51)

H = Hx X Нх X

Я 8,

где

Нх — пространство

функций ик(х), принад-