Основы метода конечных элементов
..pdf2 . Кусочно-квадратичные базисные функции. Согласно введенному в предыдущем пункте разбиению области [0, /] на N элементарных отрезков Ut_i, х,] можно построить систему базисных функций, каждая
из которых будет кусочно-квадратичной и |
непрерывной на |
отрезке |
|||||||||
[О, I]. Для этого вводится на элементе |
[xi_i, x j дополнительный узел |
||||||||||
*/_!/, |
= |
Х{ + |
X/_I |
|
|
|
|
|
|
|
Функ |
----- 5----- и определяются два вида базисных функций. |
|||||||||||
ции |
(х), |
i = 0, 1, |
2, |
Л/, |
соответствующие граничным |
узлам xt |
|||||
элементов, |
задаются |
соотношениями |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ф* (X,) = |
б//, |
|
|
|
||
где Ьи = |
1, б,/ = 0 при I ф /; |
t = 0, |
1, |
2, |
N, / |
= О, V2, |
1 , 3/ 2 |
||||
N, а функции ф"_./, (х), t = |
1, 2 , |
|
vV, соответствующие |
внутрен- |
|||||||
ним |
узлам xi—i/g,— соотношениями |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(X i_ Vt) = 1, |
ф"_7 , (*/) = |
0 |
при / ^ |
(г — Чг), |
|
|||
|
|
|
1 = 1 . 2 .........W, |
/ = 0, %, |
1, |
1V2, |
, Л/. |
|
|||
Для построения указанных базисных функций достаточно исполь зовать отрезки квадратичных интерполяционных полиномов Лагран жа, положив
2 (X — * ,_ !) (,x— X (_l/t)
X б |Xi—1, X,],
Ф?(х) = |
|
|
А? |
|
2 (* — x(+ 4 t) (х — xl+ t) |
||||
|
||||
|
|
|
х£ [x„ X;+ i], |
|
ф?(*) = 0, |
x £ [0, X /_ i] U [*<+!» |
|||
|
4 (x — |
(x — x,) |
||
фЕ-V, (X) = — |
|
X£ U /-I, xt], |
||
|
|
|
ft? |
|
Ф^_./,(х) = |
0, |
если x£ |xi_i, X(J. |
||
Отметим, что носитель функции ф^ (х) (рис. 20, а) состоит из двух со седних элементарных отрезков с общим узлом в точке х(, а носитель
функции ф£_1/, (х) — единственный элемент, содержащий .узел
Xi_Vl = |
*' -+/ -— |
(рис. 2 0 , б). |
|
Функция вида |
|
N |
|
N |
|
||
vN(х) = £ |
0<ф? (х) + |
£ |
0<_7 ,ф?1_1/, (х) |
/=П |
|
»= |
1 |
непрерывна и принадлежит пространству W\ (0 , /)•
Замечания относительно свойств полноты и квазиортогональности остаются справедливыми и для этой системы базисных функций. При
этом функция ф^ (х) ортогональна ко всем функциям |
системы, |
кроме |
|
ф"±1 |
(х) и ф?± ./; (х), а функция ф?_./, (х ) — ко всем, |
кроме ф? |
(х) и |
ф" -1 |
(х). |
|
|
Характерные особенности поведения базисных функций (11.96) — (11.98) видны из рис. 21—23.
В случае элемента вида «/3—2» с каждым узлом xt связаны по две базисные функции: q>f (х) — соответствующая фиксированному в этом
узле |
параметру v( = vN (х() и ф^ (х) — соответствующая параметру |
|
- |
dvN |
. v |
V‘ = |
! £ |
^ |
Каждая из базисных функций <р^ (х) и ф* (х) представляет собой кусочный полином Эрмита третьей степени, построенный по следую щим данным:
л/ |
dq/? |
(х,) = 0, |
/, / = |
0, |
1, |
2 , . . . , N, (И.99) |
Ф? (*/) - 6</, |
|
|||||
ф "(Х /) = |
0, |
(Х,) = |
6 ;/, |
/, |
j = |
0-r-N. |
Используя интерполяционную формулу Эрмита [7], функции q>? (х) и Ф^ М (рис. 24, б) можно определить на [0, /] следующим образом:
+ |
|
|
xi(x,_ „ Xll, |
|
Ф? (х) = |
|
|
xilXl, Xl+,, |
|
\ |
h‘+< |
} |
||
h/+i |
||||
Ф/ (x) = 0, |
если |
x G [0, x<_i] |J [хж , /]; |
||
^2 (*^ |
%i){x X>1—l) t |
[%i—1» X(\, |
|
ф "(*) = |
|
|
|
-TJ— |
( X — |
Xt) ( x — X i + i) 2, |
x £ [xit X i + 1], |
hi+1 |
|
|
|
ф ?(х) = 0 , |
если |
x£ [0 , x,_i] U |
[xi+i, /]. |
Каждая из построенных базисных функций (рис. 24) непрерывна и непрерывно дифференцируема на всем отрезке [0, /]. Такой же глад костью будет обладать и приближенное решение, задаваемое выраже нием
VN (x) = £ |
(X) + ViXp? (x)J. |
Допустимая функция, являющаяся в варианте Ритца кусочно кубическим полиномом Эрмита, в данном базисе на элементе [x,_i, Х(] записывается в виде
vN (х) = |
vi-iq>iLi (х) + |
о(_ 1ф£!_1 (х) + Vt(pf (х) + |
(х), |
х £ [xt- ь хс]. |
При |
таком определении функция vN (х) непрерывна |
и непрерыв |
||
но дифференцируема |
на [0 , /]. |
|
|
|
Аналогично описанному строятся базисные функции МКЭ и при других свойствах искомого приближенного решения.
11.5. Дискретизация дифференциальных задач посредством варианта метода Галеркина
1 . Понятие обобщенного решения. В параграфе II. 1 при рассмотрении постановок задач для обыкновенных дифференциальных уравнений было сформулировано понятие обобщенного решения краевой задачи. Оно не связано с вариационной формулировкой задачи, не требует положительной определенности или симметрии оператора краевой задачи, а основывается на использовании некоторого интегрального соотношения.
Напомним и уточним здесь формулировку обобщенного решения. Пусть краевая задача представлена в операторном виде
Au = f. |
(11.100) |
Различные формулировки понятия обобщенного решения этой задачи формально получаются посредством умножения в смысле ска лярного произведения пространства L2 обеих частей уравнения (1 1 . 100) на тестовую функцию v (х) из некоторого тестового простран ства V:
(Ли, о) = (/, i>). |
(11.101) |
Под обобщенным решением понимается функция и (х), при которой равенство (11.101) справедливо для каждой функции v (х) из V. В за висимости от выбора тестового пространства V обобщенное решение и (х) будет удовлетворять уравнению (1 1 . 100) в том или ином смысле, принадлежать тому или иному функциональному пространству.
Например, если V — пространство бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю в приграничной зоне, то, применяя в (1 1 . 1 0 1 ) формальное интегрирование по частям, можно все производные пере нести с и (х) на v (х) и получить соотношение
(и, A*v) = (/, v), Vv£V, |
(11.102) |
где А* — формально сопряженный с А оператор.
В этом случае обобщенное решение и (х) удовлетворяет уравнению ( 1 1 . 100) только в смысле тождества (1 1 . 10 2 ) и поэтому достаточно, что бы и (х) принадлежало только L2.
Если V = Wl (0, /), |
то s производных можно перенести с и (х) на |
v (х), снижая тем самым |
требования к гладкости искомого решения, |
т.е. предполагая, что и (х) £ Ц72т~\ где 2т — порядок дифференциаль ного уравнения краевой задачи. Наиболее важным является случай,
когда s = т. При этом искомое решение и (х) |
и тестовые функции |
v (х) принадлежат одному пространству W? (0 , |
/)• |
В определении обобщенного решения важную роль играют крае вые условия. Если s = 0, то на и (х) налагается полное множество краевых условий задачи.
При s > 0, когда и (х) £ wT~\ Для определения искомого реше ния понадобятся лишь 2т — s производных от и (х), так что будут иметь смысл лишь краевые условия порядка, меньшего 2т — s. Чис ло условий, налагаемых на тестовые функции v (х), при этом возрас
тает: они определяются производными до s-ro |
порядка [1 0 1 1 . |
|
|
2. |
Построение системы уравнений МКЭ при явном использовании |
||
базисных функций. Для приближенного решения уравнения |
(11.100), |
||
оператор которого не является положительно определенным, |
исполь |
||
зуется |
вариант МКЭ, основанный на методе |
Бубнова — Галеркина. |
|
Покажем это на следующем примере. Найти решение уравнения
~ - 1 г { к^ г ) + Р ^ Г + Чи = Пх), *€(0,/). |
(П.103) |
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
|
|
и (0 ) = |
и (/) = 0 . |
|
(11.104) |
Будем предполагать, что |
функции |
/г (х) ; > /г0 > 0, |
р { х ) , |
q огра |
ничены на 10, Л, f £ Lj. |
Назовем обобщенным решением из |
W\ (0 , /) |
||
|
|
о . |
|
|
задачи (11.103), (11.104) функцию и (х) из Wi (0, 1), удовлетворяющую тождеству
k ч г ч г |
+ |
р - w v + |
Н |
dx = i f vdx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
при любой функции |
&(*)£ |
^ 2 |
(0 , /). |
|
|
|
|
||
Таким образом, в данном случае в |
качестве тестового выступает |
||||||||
пространство V = |
Щ (0, /), а искомое обобщенное решение тоже при- |
||||||||
надлежит пространству |
о I |
(0 , /). |
|
|
|
|
|||
W? |
|
|
|
|
|||||
Разрешимость данной задачи (и более |
сложных в многомерных |
||||||||
пространствах) рассматривается в работе [55]. |
|
|
|||||||
Для построения по МКЭ приближенного обобщенного решения |
|||||||||
uN(х) вводим в |
рассмотрение |
два конечномерных подпространства: |
|||||||
подпространство |
Р„ |
из |
пространства, |
которому |
принадлежит |
об- |
|||
|
|
|
|
|
h |
о |
|
Vn |
|
общенное решение (в нашем случае Рпс= |
), и подпространство |
||||||||
из тестового пространства V |
|
|
h |
0 i |
В качестве базисов |
||||
(здесь тоже Vn |
£ W<i). |
||||||||
в обоих подпространствах используются описанные в параграфе II.4 базисные функции МКЭ. Тогда приближенным решением uN(х) назы вается такой элемент из Рп, что соотношение
§ {к |
~1Г + р~ ч г vN + |
QuNv") dx = \ fvNdx <n - 105) |
||
n |
|
|
0 |
|
выполняется при |
|
h |
0 1 |
Отметим, что |
любой функции Vм (х) g Vnс |
W?. |
|||
базисные функции |
в подпространствах |
Рп и V„ могут |
быть в общем |
|
случае разного типа (полиномы разной степени), но размерность под пространств должна быть одинаковой.
Ограничимся рассмотрением случая, когда базисные функции <pf (х)
обоих |
подпространств одинаковы и |
размерность подпространств |
|
равна |
г. |
будем искать в виде |
|
Приближенное решение uN (х) |
|||
|
UN (x) = |
S |
(*)» |
|
|
(=0 |
|
где N — количество элементов [xi-\, xt), i = 1, 2, ..., N, x0 — 0, XN =
— I, r — общее количество узловых параметров и отвечающих им базисных функций <р? (х).
Поскольку соотношение (11.105) должно выполняться при любой
функции Vм(.х) £ VS. |
достаточно, |
чтобы оно |
выполнялось для |
всех |
|||||
базисных функций |
(х) |
подпространства |
V* |
(у = |
0 -г- (г — |
1)): |
|||
I / г-1 |
d(Py , |
jv |
|
, |
|
|
l Wv__ |
||
k 2J |
jv |
d(Pl „ N |
Q |
|
|||||
Ci ~~dx-----Sc------- Ь p Z J Ci |
dx |
+ |
c t tyi 4>i ] d x — |
|
|||||
■ |
~ |
l |
1=0 |
|
|
i= 0 |
/ |
|
|
|
|
/ = |
0, 1, ... |
, |
|
1. |
(II. 106) |
||
|
= |
^ h 1 d x , |
T - |
||||||
Остановимся более подробно лишь на простейшем случае кусочно линейных базисных функций (11.94).
Так как искомое обобщенное решение принадлежит пространству
W2 (0 , 0 |
и V = |
W2 (0 , 0. то базис подпространств Р1} и V1} |
в данном |
|
случае образуют функции <pf (х), для |
которых i = 1, 2, |
N — 1. |
||
Поэтому |
можно |
положить |
|
|
|
|
uN(х) = £ «/Ф ? (*). |
= uN(х,), |
|
|
|
1 = 1 |
|
|
и соотношения (11.106) определяют систему линейных алгебраических
уравнений |
относительно |
неизвестных |
параметров иУ (t = |
1, 2, |
||
|
1): |
|
|
|
|
|
N -i |
‘ |
/ |
|
N |
1 |
|
|
|
dx dx |
+ |
p -^ r4> l+ q^ 4> i)d x = ^f^dx, |
(И-107) |
|
|
|
/ = |
1 , 2 , |
W — 1 . |
|
|
Вследствие квазиортогональности системы базисных функций коэф
фициенты этой |
системы |
|
|
|
|
||
ац |
-f ( * |
d<p? |
* р7 |
dtf |
Ф/ dx, |
i, |
/ = 1 4 - W — 1, |
|
+ |
P dx Ф/ + |
|||||
|
|
||||||
для которых |i — /I > |
1, будут равны |
нулю, т. |
е. |
матрица системы |
|||
(11.107) будет ленточной трехдиагональной, несимметричной. Решение такой системы легко находится по алгоритмам прямых методов, учиты вающим ленточный вид матрицы.
Отметим, что в случае симметричности и положительной определен ности оператора краевой задачи варианты МКЭ, основанные на про цессах Ритца и Бубнова — Галеркина, приводят к совершенно одина ковым системам линейных алгебраических уравнений.
В данном пункте мы не будем более подробно останавливаться на рассмотрении варианта МКЭ, основанного на процессе Бубнова — Га леркина, в частности на вопросах его обоснования, рассмотрении ско рости сходимости и других особенностей (эти вопросы освещены, на пример, в монографии [1011).
11.6. Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков
В данной главе до настоящего параграфа речь шла в основном о приме нении МКЭ к решению краевых задач для обыкновенных дифферен циальных уравнений второго порядка. Однако ни процедура дискре тизации дифференциальной задачи, ни вопросы обоснования МКЭ не имеют каких-то принципиальных отличий в случае дифференциаль ных уравнений более высоких порядков.
Проиллюстрируем это на случае следующей краевой задачи для
уравнения |
четвертого порядка |
(см. |
п. 3 |
параграфа II. 1): |
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
= |
0 < * < / , |
(11.108) |
|
|
|
и (°)= -§ -(°) = 0. |
«(0 = |
-fr(/) = 0, |
(И. 109) |
||||
где k (х) |
k0> |
0 , р (х) ^ |
0 , q (я) |
0 , т. е. оператор задачи симмет |
|||||
ричный и |
положительно |
определенный. |
|
|
|
||||
Обобщенным решением данной задачи является функция и (х), |
|||||||||
минимизирующая |
функционал |
|
|
|
|
|
|||
|
/ г ^ |
= |
Л /г( " & ) |
+ р (-%г) |
+ ^ ~ |
2fv dx |
|
||
в пространстве Wl (0, /). Поэтому при построении приближенного ре шения uN{х) вариантом МКЭ, основанным на модифицированном про цессе Ритца, в качестве допустимых функций vN(х) здесь следует ис
пользовать функции из конечномерного подпространства Phn а Щ (0, /). Иными словами, допустимые функции vN(х) должны быть непрерывны, непрерывно дифференцируемы на всем отрезке 10, /] и иметь суммируе мые с квадратом вторые производные. Таким образом, в данном слу чае приемлемым оказывается элемент «/3— 2», а элементы вида «12 — 3» или «/3—4» использовать нельзя. Возможно применение в ка честве допустимых также кусочно-полииомиальных функций высших степеней, но при условии обеспечения их непрерывной дифференциру емости на всей области определения [0, Л. Заметим, что использование полиномов слишком высоких степеней сопряжено со значительными вычислительными трудностями и поэтому вряд ли целесообразно.
Рассмотрим без особых подробностей дискретизацию задачи (11.108), (11.109) посредством элемента вида «13— 2», предполагая, что область
[0, |
Л разбита на N отрезков [**_|, х(\, i = |
1, 2 , ..., N В п. 3 параграфа |
|||
II.2 |
уже использовался этот элемент при решении краевых задач |
для |
|||
дифференциальных уравнений второго порядка. Полученное |
там |
вы |
|||
ражение для матрицы S” 1, устанавливающей на «каноническом отрез |
|||||
ке» |
связь между числовыми коэффициентами допустимой |
функции |
|||
vN(х) и фиксируемыми в узлах *<_|, |
xL |
параметрами и*_1, |
ь |
vtf |
|
v |
справедливо и в случае уравнения |
четвертого порядка. |
|
|
|
Аналогичны и |
элементарные матрицы |
жесткости |
К\ = |
|
= n r 1S~r/?}S"’ ln r l, |
связанные |
с интегралом J |
р(~жг) ^х* |
и |
ментарные матрицы масс Mt = |
ПГ15 “ 7/??5” 1ПГ1 |
отвечающие членам |
||
j q (x/^Ydx (см. п.З параграфа II.2). Здесь добавляется только новая xi—1
элементарная матрица — матрица изгиба /С?» возникающая из интег-
рала \ k [ - ^ г ) dx. Напомним, что на «канонический отрезок» 10, 1 ] лю-
Ч- 1
бой элементарный отрезок U*_i, xtl отображается посредством преобра
зования x= x t-i + h (l9hi = х ( — xi-i\ следовательно, |
j |
k ( ^ r ) |
dx ne- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
4—i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реходит в интеграл |
j |
|
|
где |
k = |
k (*<-i |
+ ^ £)f |
r g ) = |
||||||
= |
Vм (Xi- , |
+ |
h^) |
= |
a t + |
a2i |
+ |
a 3£2 + |
a 4H3. |
|
что интеграл |
|||
В |
результате |
уже |
знакомых |
вычислений |
находим, |
|||||||||
1 |
- / d2r \2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
^ |
порождает |
элементарную матрицу |
изгиба |
|
|||||||||
где |
|
|
|
K = n r 's - ^ s - 'n r 1, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
~ 0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Я |
? - |
0 |
0 |
4 |
J w |
g |
12 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
Г ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
i 2 |
\ m |
i |
з б |
\ |
|
|
|
матрицы П( |
|
5 |
1 такие же, как в п.З параграфа II.2. В случае k (х) =* |
|||||||||||
= |
const = |
k0 матрица изгиба имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||
“ |
12 |
|
K = |
6А, |
|
12 |
||
л? — |
||
|
6А, |
6 h,
4A?
— 6Л,
М С
- 12 |
6ht~ |
— 6А, |
2h |
12— 6К
—6А, 4hi_
Вид и построение вектора нагрузки t-го элемента ничем не отли чаются от рассматриваемых ранее. Аналогично строится и результи рующая система уравнений МКЭ.