Основы метода конечных элементов

риц жесткости и масс, векторов нагрузки, а также формированию из них соответствующих систем

уравнений МКЭ проводятся аналогично предыдущим.

Приведем здесь лишь некоторые результаты, относящиеся к эле­ менту «13—2». На «каноническом отрезке», полученном преобразова­

следовательно,

a = S 'nr'w f,

где

Элементарные матрицы жесткости К\ и масс K°t = М{ строятся спо­ собом, подробно описанным в п. 1 параграфа II.2, и имеют вид

В остальном построение элементарных матриц жесткости масс и векторов нагрузки, а также формирование системы уравнений МКЭ не имеет принципиальных отличий. Заметим, что матрица сеточной системы в данном случае, сохраняя ленточный вид, будет состоять из двух отдельных блоков, отвечающих отрезкам [0 , |] и [|, /].

Пример 4. Найти численное решение краевой задачи

Решение данной дифференциальной задачи эквивалентно отыска­

на множестве функций

м_(Мх). 0 < x < V 8,

»/ , < * < 1 ,

где

а на участке [1/3, 11 — Л2 = 1/6. Такой выбор сетки диктуется требо­ ванием выявить особенности поведения решения, быстро осциллирую­ щего на отрезке [0,1/3].

В качестве допустимых функций в данном примере использовались кусочно-линейные полиномы. Как свидетельствуют результаты, пред-

ставленные в табл. 4, линейные полиномы в этой задаче обеспечили получение практически точного решения. Расчет выполнялся на ЭВМ МИР-2 при разрядности R = 10.

11.3.Обоснование метода конечных элементов

Вданном параграфе будет исследована сходимость приближенного решения, полученного методом конечных элементов, к точному реше­ нию соответствующей задачи. Кроме того, будут изложены некоторые практические оценки точности вычисленного на ЭВМ решения.

1.Сходимость МКЭ. Для простоты и ясности изложения остано­ вимся на задаче о нахождении решения уравнения

п. 1 параграфа 11.1. Эта задача эквивалентна задаче об отыскании функции, доставляющей минимум функционалу

с=П7' (0 , I).

Обозначим через и (х) функцию, доставляющую минимум функцио­ налу F (v). (Заметим, что и {х) является обобщенным (или классичес­ ким) решением задачи (11.49), (11.50).) Пусть uN(х) — приближенное решение, полученное методом конечных элементов по методике,

Аналогичным образом можно исследовать сходимость МКЭ при использовании других видов кусочно'полиномиальных допустимых функций. Полученные результаты обобщаются одной теоремой.

Теорема 11.2. Пусть функция и (jf) минимизирует функционал

0 1

(11.51) в пространстве W2 (0, [), a uN {х) — приблиокенное решение,

минимизирующее функционал (11.51) ни конечномерном подпростран-

° . о .

спгве Р„ cr W2 (О, I) кусочно-полиномиальных допустимых функций степени п. Если и (х) имеет в (О, I) ограниченную производную порядка

п + 1 :

g М7"+1 (0 , /), непосредственно следуют при учете соотношения (11.57) из теоремы об аппроксимации функций подпространствами Р„ [101]. В па­ раграфе II.6 мы подробнее остановимся на этих более общих резуль­ татах.

Утверждения теоремы II.2 остаются справедливыми и в случае од­ номерных краевых задач с неоднородными условиями (см., например, 1701). В указанной работе исследуется сходимость приближенного решения краевой задачи с неоднородными граничными условиями, полученного посредством элементов вида «/3— 2». Случай краевых задач с разрывными коэффициентами и решениями рассмотрен в рабо­ те [69]. Однако при этом решение и {х) предполагается кусочно диффе­ ренцируемым и условие (11.59) выполняется на каждом отрезке непре­ рывности. Кроме того, для построения приближенного решения сетка вводится так, чтобы точки разрыва являлись концевыми узлами эле­ ментов.

Замечание. При выполнении условия ~dS&dn+'u £ А2(0, 0 доказано,

что скорость сходимости uNк и (х) в норме La(0 , I) (||и — uN||z.t) име­ ет порядок О (/1л+1). Подробное изложение этого факта дано в работе [ 1 0 1 ] (см. также параграф П .6).

2 . Учет ошибок численного интегрирования в МКЭ. Указанная в теореме II.2 скорость сходимости МКЭ получена в предположении, что все вычисления при построении системы уравнений МКЭ и при ре­ шении системы выполнялись точно. Однако на практике, как правило, в полученном решении присутствуют ошибки, возникающие как от приближенного вычисления соответствующих интегралов (особенно при переменных коэффициентах), так и от вычисления на ЭВМ реше­ ния сеточной системы уравнений. В настоящем пункте рассмотрим влия­ ние на скорость сходимости МКЭ ошибок в интегрировании.