Основы метода конечных элементов

следовательно, множитель \i равен нулю и система (1.41) совпадает с системой (1.36).

Таким образом, как и в случае первого собственного числа, прихо­ дим к выводу, что искомый минимум равен некоторому Я, являющему­ ся корнем уравнения (1.37). Однако здесь нужно взять уже второй по величине корень. Аналогично приближения к последующим (до N-го) собственным числам оператора А можно найти, определяя корни урав­ нения (1.37). Следует однако подчеркнуть, что достаточно хорошие приближения на практике получаются только для нескольких первых чисел. (Вопрос о точности получаемых приближений будет рассмотрен подробнее дальше в применении к МКЭ.)

В заключение отметим, что процесс Рэлея — Ритца можно приме­ нять и для вычисления собственных чисел и собственных элементов

где А и В — положительно определенные операторы, удовлетворяю­ щие условиям теоремы 1.9. В результате искомые приближения к соб­ ственным числам и собственным элементам уравнения (1.42) вычисля­ ются из системы

Для этого выбирают последовательность базисных элементов (ф^), обладающих такими свойствами:

1) Фk £ D (А);

2 ) элементы фх, ф2, ..., фп линейно независимы при любом п\ 3) система базисных элементов полна в Н.

Приближенное решение уравнения (1.18) строят в виде линейной

N

комбинации координатных элементов uN= £ акср* с постоянными

k = \

коэффициентами ак.

Таким образом получают систему линейных алгебраических уравне­

Точно так же задачи о собственных значениях для уравнения Аи —

позволяет определить приближенные значения собственных чисел. Отметим, что процессы Ритца и Бубнова — Галеркина совпада­ ют в случае положительно определенного оператора, однако метод Бубнова — Галеркина имеет более широкую область применения как для уравнений с неположительными операторами, так и для уравнений, описывающих нестационарные задачи. Применим этот метод и в случае нелинейных дифференциальных уравнений. Сходимость этого метода

рассматривается, например, в работах [16, 59, 66].

7. Некоторые трудности численной реализации. В работе [64] рас­ сматривались вопросы численной реализации метода Ритца. Для умень­ шения погрешности приближенного решения задач приходится увели­ чивать число координатных элементов, что приводит к увеличению порядка соответствующих систем линейных алгебраических уравне­ ний, причем матрицы в этих системах плотные.

В случае неудачного выбора координатных функций (близких к ли­ нейно зависимым) обусловленность матрицы системы может оказать­ ся плохой. В результате найденное приближенное решение будет ис­ кажено за счет как неточного вычисления коэффициентов системы (наследственная погрешность), так и ошибок округления, допущен­ ных в ходе решения систем линейных алгебраических уравнений на ЭВМ. Соответствующие трудности имеются и при машинной реализа­ ции задачи методом Бубнова — Галеркина.

1.3.Некоторые общие вопросы метода конечных элементов

1.Метод конечных элементов как средство дискретизации математиче­ ских задач. С математической точки зрения МКЭ представляет собой

обобщение методов Рэлея, Ритца, Бубнова — Галер кина. Это обоб­ щение заключается в специальном выборе базисных (координатных) функций фj (х), каждая из которых имеет конечный носитель, т. е. от­ лична от нуля только на небольшой части всей области определения Q решаемой задачи. Кроме того, каждая фу (х) является полиномиаль­ ной функцией, поэтому все вычисления становятся относительно про­ стыми. Дискретизация вариационной задачи методом конечных элемен­ тов начинается с разбиения исходной области Q на подобласти — элементы. Для удобства задания информации об этих подобластях и обеспечения требуемой гладкости допустимых функций используются сравнительно простые с геометрической точки зрения подобласти: треугольники, прямоугольники — в двумерной области, тетраэдры, па­

соседние из которых имеют общие точки, стороны или грани (общие стороны или грани смежных элементов должны быть одинаковыми).

Одно из возможных разбиений заданной трапециевидной области Q на треугольные элементы (подобласти) показано на рис. 1 .

Наряду с разбиением области Q на элементы строится подходящий для заданной вариационной задачи класс допустимых функций vN(х), х £ Q, метода конечных элементов. В качестве таких допустимых функций выбираются кусочные полиномы, которые на каждом элемен­ те подобласти являются полиномами заданной степени с неизвестными коэффициентами, а на всей области обладают гладкостью, предпи­ санной исходной вариационной задачей.

Однозначность определения полинома на каждой подобласти обес­ печивается тем, что в заданных узловых точках подобласти фиксиру­ ются в качестве неизвестных параметров значения полинома или зна­ чения полинома и некоторых его частных производных. Требуемая гладкость допустимой функции на всей области Q обеспечивается тем, что значения соответствующих параметров в общих узловых точках смежных подобластей совпадают.

Отметим, что для полного описания конечного элемента, использу­

шения и, возможно, его производных. Множество допустимых функций МКЭ является конечномерным, и размерность его определя­ ется общим количеством неизвестных коэффициентов кусочного поли­ нома (или, что то же, общим количеством неизвестных параметров, фиксированных во всех узлах области Q). Суть МКЭ как приближен­ ного метода решения математических задач состоит в замене бесконеч­ номерного функционального пространства, которому принадлежит решение исходной задачи, конечномерным подпространством допу­ стимых функций МКЭ, содержащимся в исходном функциональном про­ странстве. При этом в качестве приближенного решения МКЭ прини­ мается та допустимая функция МКЭ, параметры которой находятся из вариационного принципа или некоторого интегрального тождества, лежащего в основе постановки исходной задачи (вариационной или дифференциальной). В результате исходная задача сводится к системе дискретных алгебраических уравнений, решением которой служат искомые параметры (коэффициенты) приближенного решения. По­ скольку для построения и решения соответствующих дискретных си­ стем вследствие большого объема перерабатываемой информации при­ ходится применять ЭВМ, весьма важным явилось условие удобства и простоты вычислений, что и определило соответствующий выбор про­ странства допустимых функций МКЭ, а именно кусочно-полиномиаль­ ных. Еще более важен вопрос о точности, с которой допустимые функ­ ции могут аппроксимировать искомое решение исходной задачи. Математическое исследование метода показало, что кусочно-полиноми­ альные функции МКЭ при достаточной гладкости искомого решения могут обеспечить построение приближенного решения любой точно­ сти, если ввести достаточное число подобластей-элементов или при за­ данном разбиении использовать полиномы повышенной степени.

эффективных численных методов. Как известно, построение конечно­ разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем в МКЭ. Однако достоинствами МКЭ являют­ ся гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета есте­ ственных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ МКЭ является более простым, его методы применимы к более широ­ кому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчерк­ нуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.

Следует отметить и использование для решения конечно-элемент­ ных систем алгебраических уравнений широкого класса эффективных

итерационных методов, разработанных для конечно-разностных урав­ нений [26, 27, 50, 59, 94—96]. Такая возможность обусловлена тем, что в ряде случаев схемы МКЭ можно строить так, что они будут эк­ вивалентны по спектру определенным схемам метода конечных раз­ ностей (см., например, [48, 83] и представленную там библиографию, а также [27—32, 34]).

Подытоживая изложенное, можно выделить следующие этапы решения задач методом конечных элементов:

1. Постановка задачи, т. е. определение понятия разыскиваемого решения (обобщенное или классическое), и выбор варианта МКЭ, основанного на процессе Ритца при вариационной формулировке за­ дачи или на методе Галеркина при определении обобщенного решения через интегральные тождества.

2.Разбиение на элементы области, в которой строится решение.

3.Построение пространства кусочно-полиномиальных допустимых функций МКЭ.

4.Формирование и решение системы дискретных (алгебраических) уравнений МКЭ.

5.Оценка точности получаемого машинного решения задачи. При практической реализации МКЭ некоторые этапы могут быть

совмещены или опущены. Изложим некоторые особенности реализа­ ции этих этапов.

2. Дискретизация области, пространства допустимых функций МКЭ, алгебраические системы МКЭ. Разбиение на элементы области Q, в которой строится решение задачи, является весьма важным эта­ пом, определяющим эффективность реализации МКЭ. Успех дискре­ тизации области зависит от знания физики исследуемого явления, общих особенностей поведения искомого решения, а также от учета влияния типа сетки на эффективность численного решения получае­ мой дискретной задачи.

Дискретизация области включает задание числа, размеров и формы элементов, которые используются для построения дискретной модели исследуемого объекта. Для обеспечения желаемой точности искомого решения элементы должны быть достаточно малыми, чтобы аппрокси­ мируемые поля в них достаточно хорошо приближались полиномами. Однако малость элементов, а следовательно, и возрастание их количе­ ства приводят к дискретным задачам больших размерностей, что в любом случае увеличивает объем вычислительной работы. Кроме того, чрезмерное измельчение сетки ухудшает обусловленность дискретной задачи и может помешать получению машинного решения с требуемой точностью. В связи с этим целесообразно на основе общих соображе­ ний о поведении решения задачи измельчать сетку лишь в тех подоб­ ластях, где искомое решение сильно меняется (большие значения гра­ диентов), и использовать достаточно крупные элементы там, где реше­ ние почти постоянно.

Необходимо подчеркнуть, что от вида разбиения области на эле­ менты существенно зависит возможность использования эффективных численных методов для решения дискретных задач, а следовательно, и минимизация вычислительной работы. В работах [27, 28, 30] рассмот­

рены специальнее триангуляции £2, топологически эквивалентные простейшей триангуляции идеальных областей Q (прямоугольник, прямоугольный треугольник, параллелепипед и т. п.). Эти триангу­ ляции, с одной стороны, обеспечивают обычные оценки точности для приближенных решений МКЭ, а с другой — обеспечивают нахожде­ ние операторов, позволяющих строить эффективные итерационные процессы решения соответствующих дискретных задач. Применение таких специальных триангуляций в сочетании с идеей использования последовательностей сгущающихся сеток ведет к асимптотической ми­ нимизации вычислительной работы в МКЭ. Например, решение и =

ческих операциях. (Подробнее о триангуляциях, обеспечивающих асимптотическую Минимизацию вычислений, и о применении эффектив­ ных вычислительных методов см. в работах (27—32, 34].)

Как уже упоминалось, при решении задач методом конечных эле­ ментов используются элементы различных типов. Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Наиболее часто такой элемент применяется в одномерных задачах распространения тепла, в задачах строительной механики при расчетах стержневых элементов конструк­ ций (типа ферм) Вдр. (Подробное описание одномерных элементов да­ ется в гл. П.)

Для построения дискретной модели двумерной области наиболее часто используются треугольные элементы с кусочно-линейной допус­ тимой функцией, которая на каждом треугольнике имеет вид

vN = a1+ а2х + а3у,

и прямоугольники с кусочно-билинейной допустимой функцией вида

Vм= + а2х -f- а^у - f atxy

на каждом прямоугольнике. В качестве неизвестных фиксированных параметров выступают значения v£= vN (x{t ус) соответствующего

i/*