Основы метода конечных элементов

Решалась система (V.28) квазиньютоновским методом. Получен­ ные результаты представлены в табл. 15 для разных значений h. Обоз­

ределялось с использованием в качестве базисных функций МКЭ ку­ сочно-кубических полиномов Эрмита:

Расчет выполнялся на сетке с равномерным шагом ht = h = 1/Nдля N = 2, 4, 8. При построении системы нелинейных алгебраических урав­ нений интегралы вычислялись точно. Вид системы не приводится вследствие громоздкости. Системы решались квазиньютоновским ме­

содержит значения производной точного решения ит(х{) задачи (V.26), (V.27) и значения приближенного решения uN(хс) и его производной (uNY \х=хг полученные при h равном 0,5 и 0,25. В обоих случаях ис­ пользовалось нулевое начальное приближение к решению системы ал­

гебраических уравнений, а соответствующие значения вектора и0 ука­ заны в примечании к таблице. Результаты, полученные на сетке с ша­ гом h = 0,125 при двух разных начальных приближениях и°, даны в табл. 17; матрица Якоби здесь вычислялась при одном и том же зна­

чении и0 (см. примечание к табл. 17).

В а р и а н т 3. Приближенное решение задачи (V.26), (V.27) вы­ числялось с использованием кусочно-кубических базисных функций (V.29), но интегралы при построении системы нелинейных алгебраи­ ческих уравнений вычислялись по квадратурным формулам Гаусса с тремя квадратурными узлами. Вид полученной системы не приводит­ ся вследствие громоздкости. Сетка всюду равномерная. Система, как и прежде, решалась квазиньютоновским методом, всюду итерацион­

обозначения. Заметим, что в данном варианте в качестве М0всюду бралась матрица Якоби, вычисленная в точке начального приближения к ре-

V.2. Решение нелинейных вариационных задач

Как известно, исследование многих научно-технических проблем сво­ дится к решению вариационных задач о минимизации заданного функ­ ционала. В настоящее время широко известны численные методы, позволяющие находить приближенные решения таких задач, минуя пе­ реход к дифференциальным уравнениям. Таким, в частности, являет­ ся метод Ритца. Основываясь на этом методе и используя базисные функции МКЭ, можно в ряде случаев эффективно находить решения достаточно широкого класса нелинейных задач.

1. О существовании решения вариационной задачи. Попытаемся рассмотреть особенности применения МКЭ к решению нелинейных ва­ риационных задач на примере задачи об отыскании функции и (х), до­ ставляющей наименьшее значение простейшему функционалу

(V.30)

на множестве 9Л, состоящем из всех функций, на которых функци­ онал F (и) конечен и которые удовлетворяют условию

Эта задача, как известно, тесно связана с задачей решения уравнения Эйлера

(V.32)

при граничных условиях (V.31) и с задачей отыскания стационарных точек рассматриваемого функционала, т. е. отыскания таких функций и (х), на которых первая вариация бF (и, rj) функционала (V.30), (V.31) обращается в нуль при всех допустимых вариациях т] (х):

(V.33)

о

Отметим, что (V.33) является интегральным тождеством, опреде­ ляющим обобщенные решения уравнения (V.32) (см. п.1 параграфа V.1), т. е. стационарные точки функционала F (и) являются обобщен­ ными решениями краевой задачи (V.32), (V.31) из соответствующего функционального пространства.

В простейшем случае, когда функция f (х, и, р) достаточно гладкая по переменным и, р и в области ее задания выполняется условие

(V.34)

при любых вещественных параметрах £, т), не равных одновременно нулю, то все три упомянутые задачи эквивалентны друг другу. Един­ ственное общее решение и (л;) этих задач реализует абсолютный мини­ мум функционала (V.30), (V.31) [56].

При невыполнении условия (V.34) нельзя гарантировать эквива­ лентность задачи об отыскании наименьшего значения функционала (V.30), (V.31) и краевой задачи (V.31), (V.32).

Действительно, пусть

принадлежащая области определения 9Л рассматриваемого функцио­ нала F, доставляет ему наименьшее значение: F (их) = 0. Более того, для функции

Нетрудно убедиться, что неравенство (V.34) в данном случае не вы­

нулю|.

Итак, рассмотрим вопрос о существовании решения вариационной задачи типа (V.30), (V.31) без перехода к дифференциальному уравне­ нию. При этом возможны различные подходы, но всюду будем предпо­ лагать, что функционал F (и) определен в рефлексивном банаховом пространстве 53, а области определения функционала и его градиента А, т. е. D (F) и D (Л), всегда линейны и плотны в S3. В ряде случаев

ответ на вопрос о существовании решения задачи может дать следую­

щая теорема.

Теорема V.4. Пусть функционал F (и), определенный на некото­ ром рефлексивном банаховом пространстве, возрастающий, существен­ но выпуклый и слабо полунепрерывный снизу. Тогда этот функционал ограничен снизу и его нижняя грань достигается в единственной точке и01 к которой слабо сходится любая минимизирующая последователь­ ность.

Для многих задач, в частности задач теории пластичности, эффек­ тивным может оказаться подход к постановке и решению вариацион­

ных задач, основанный на следующей теореме.

Теорема V.5. Пусть функционал F (и) непрерывен и его градиент А = grad F имеет при любом элементе и £ D (А) с= D (F) производную

Аи, равномерно пололсительно ограниченную снизу, т. е.

Тогда любая минимизирующая последовательность для функцио­ нала F (и) сходится в метрике пространства S3 к некоторому пределу, не зависящему от выбора минимизирующей последовательности.

а следовательно, и неравенство

р2 (и, v)==F(u) + F (v) — 2F ( “ ^ t>-) ^ Р2 («> v) — 4е. (V.39)

Поскольку области D (А) с= D (F) плотны в 33, любой элемент из D(F) можно сколь угодно близко аппроксимировать элементами из D (А). Поэтому можно предполагать, что в (V.39) элементы и, v £ D (Л). А так как при любом б ^ 60 все написанные выше соотношения оста­

т. е. убедиться в справедливости соотношения (V.38) для любых эле­ ментов из D (F).

Пусть {«„} — минимизирующая последовательность для функцио­

Согласно (V.38) можно утверждать, что и |ип— ит||©->0 при т , п оо, т. е. минимизирующая последовательность сходится в метрике

пространства 33 к некоторому элементу и0.

Этот элемент не зависит от выбора минимизирующей последова­ тельности. Если \ип), \vn} — две разные последовательности, то и19 vu и2, v2i ..., иПУvni ...— тоже минимизирующая последовательность и имеет согласно доказанному предел. Но тогда ее подпоследователь­ ности {ип\и {vn\имеют один и тот же предел. Теорема V.5 доказана.

Общий предел и0 минимизирующих последовательностей будем на­ зывать обобщенным решением задачи о минимуме функционала F {и).

где р (т) — неубывающая непрерывная положительная функция т ^ 0,

Тогда существует хотя бы одна функция и (х) £ Wr (Q), доставля­ ющая функционалу F (и) значение, не превосходящее значение F (и) на

любой другой функции из W\ (£2).

Доказательство этой теоремы, подробно изложенное в [56], также основано на исследовании сходимости минимизирующей последова­ тельности для функционала F (и).

Утверждение теоремы V.6 остается в силе, если условие (V.42) за­ менить требованием

f [х, и, р) > О

венность обобщенного решения из Wr, реализующего абсолютный ми­ нимум функционала F (и). Они касаются поведения' функции / (х, и, р) и имеют вид

7 ( М ) 0 + 1р\У~2< ( * . и>р)<И'(|и|)(1 + М У -2,

кроме того, предполагается, что функция / (.х, и, р) обладает, напри­ мер, следующим свойством: существует число k > 0 такое, что при х £ (0, 1), и > k справедливы неравенства

дыдущем пункте результаты показывают, что приближенное решение вариационной задачи в ряде случаев можно получить, построив мини­ мизирующую для данного функционала последовательность. Член этой сходящейся последовательности с достаточно большим номером — ис­ комое приближенное решение.

Построение минимизирующей последовательности можно выпол­ нять посредством процесса Ритца, о чем свидетельствует приведенная