Основы метода конечных элементов

Для иллюстрации изложенного выше приведем результаты отыс­ кания методом конечных элементов нескольких первых собственных чисел задачи (IV.23), (IV.29) при k = 1, q = 0, / = 1.

Как известно, точные собственные числа этой задачи имеют вид

а* = 4 - ( 2 t - 1)2, 1 = 1,2,

Для получения их приближенных значений разобьем отрезок [0, 1] на N равных элементов. Используем вначале в качестве допустимых функций кусочно-квадратичные полиномы, т. е. элемент вида «12— 3». Алгебраическая задача на собственные значения

вэтом случае (см. п. 2 параграфа II.2) имеет порядок 2N.

В(IV.30) К и М — матрицы следующего вида

Решение алгебраической обобщенной проблемы собственных значений удобно и целесообразно выполнять следующим образом. Вначале ме­ тодом квадратных корней строится треугольное разложение положи­

тельно определенной матрицы М = LLT, которое затем используется для приведения задачи (IV.30) к виду

где

С — L~lKL~T, у = LTи.

Собственные числа задачи (IV.31) находят в результате выполнения следующих двух вычислительных процессов: приведения матрицы С

к трехдиагональному виду посредством подобных элементарных пре­ образований с помощью матриц отражения [106]; вычисления методом бисекций [106] искомых собственных чисел полученной трехдиагональ­ ной матрицы.

Отыскание трех первых приближенных собственных чисел задачи (IV.23), (IV .29) (посредством дискретной задачи (IV .30)) осуществля­ лось на ЭВМ МИР-2 при разрядности 12. Полученные результаты пред­ ставлены в табл. 11, где использованы следующие обозначения: N — число элементов, на которое разбит отрезок [0, 1], т — число урав­

нений алгебраической (дискретной) задачи, Jif — вычисленное зна­ чение i-го приближенного собственного числа задачи (IV.23), (IV .29) (дано семь значащих цифр), 6/ (% ) — относительная погрешность в процентах приближенного собственного числа, определяемая по фор­ муле

пользовании в качестве допустимых функций кусочно-кубических по­ линомов Эрмита (элемент «/ 3— 2»).

Для построения матриц К и М алгебраической обобщенной задачи (IV .30) в этом случае использовались элементарные матрицы жесткос­ ти и масс, выписанные вп. 3 параграфа II.2. (для постоянных коэффи­ циентов); при этом для упрощения алгебраической системы естествен­

Следует подчеркнуть, что при использовании кубических полино­ мов Эрмита среди вычисленных собственных чисел обобщенной задачи (IV .30) наряду с действительно приближенными собственными числа­ ми исходной дифференциальной задачи существуют и такие, которые не приближают никакое собственное число дифференциальной задачи. Приближенных собственных чисел приемлемой точности будет не боль­ ше общего количества узловых параметров, являющихся искомыми значениями допустимой функции (в случае задачи (IV .23), (IV.29) — не больше N). Надежно выделить эти, «истинно» приближенные, соб­ ственные числа можно лишь по асимптотике их поведения в резуль­ тате расчетов на нескольких сетках.

Отметим вместе с тем, что и при использовании лагранжевых по­ линомов, где среди узловых параметров нет значений производных ис­ комой функции, не все вычисленные собственные числа будут хорошо приближать искомые, а только несколько первых. Измельчение сетки позволяет повышать точность первых и увеличивать количество соб­ ственных чисел, имеющих приемлемую точность. Эти замечания хо­

лаем несколько замечаний о дискретизации задач на собственные зна­ чения для дифференциальных уравнений четвертого порядка. Для просторы, нб без Потери общности рассуждений, возьмем одну из прос­

и £ На,

и соответственно функция, доставляющая этот минимум.

Поскольку в данном случае На состоит из функций, принадлежа­ щих Wl (0, 1), то для построения приближенных решений методом ко­ нечных элементов в качестве допустимых следует выбирать кусочно­ полиномиальные функции, непрерывные на [0, 1] вместе со своими пер­ выми производными. Это могут быть, в частности, кусочные полиномы Эрмита не ниже третьей степени.

При использовании полиномов третьей степени (элемент вида «/ 2— 3») по описанным ранее алгоритмам получим соответствующую диск­ ретную задачу вида (IV.30), где при q = 0 и равномерной сетке с шагом

При дискретизации задач на собственные значения для уравне­ ния четвертого порядка можно применять также элементы d 4— 3» вида

Вычисления выполнялись на ЭВМ МИР-2 при разрядности 12. Ал­ гебраическая обобщенная задача на собственные значения решалась описанным ранее способом. Точные значения собственных чисел зада­ чи (IV.32), (IV.33) есть X = k4, где k — корни уравнения cos£ch& +

IV.3. Оценки погрешности для собственных чисел и собственных функций

Изложение данного вопроса ведется в соответствии с работой [101]. Остановимся подробно на случае задачи

Аи = Хи,

где положительно определенный в Н оператор А удовлетворяет усло­

ной точкой на бесконечности и соответствующие им ортонормирован-

на подпространстве На~1) пространства На, ортогональном в метрике

ределяются по методу конечных элементов путем минимизации отно­

Эта оценка показывает, что точность приближенных собственных чи­ сел с большим номером существенно ниже, чем первых чисел. И это по­ ложение хорошо подтверждается практическими вычислениями.

Приведем теперь результаты о точности приближенных собствен­

ных функций Uk. При этом будут использоваться следующие два тож­ дества [101]:

гласно (IV.44) найдется такая постоянная р, что для малых значений h будем иметь

< k h2tn+l- m)\\ub.n+u

где постоянная k не зависит от h.

Таким образом, приведенные выше рассмотрения доказывают

справедливость следующего утверждения.

Теорема IV,2, Если выполняются условия теоремы IVЛ и %k — изолированное некратноесобственное число, то при малых значениях h

для приближенных по Ритцу собственных функций и% положительно определенного оператора А, порождаемого дифференциальным уравне­ нием 2т-го порядка, оценки погрешности имеют вид

IЩ — Uk IK Chn+l, Iм* — Uk ft < C1/i2(fl+1_m),

где C, Cj — постоянные, не зависящие от h.

Вновь отметим, что оценки, полученные в работе [101], отражают зависимость точности приближенных собственных функций от номера

Как утверждается в работе [1011, для случая кратных собственных чисел справедливы аналогичные оценки. Этот случай подробно рас­ сматривается и в работе [67]. Аналогично исследуются приближенные решения и обобщенной задачи на собственные значения Аи — ХВи = *= 0.