Основы метода конечных элементов
..pdfтреугольное разложение В = LLT, сформировать С = L lALT и по
ложить х = LTv. Матрица С и в этом случае будет симметричной, если симметрична матрица А. Последний способ реализован в [81, 149] для решения обобщенной задачи на собственные значения с плотными сим метричными матрицами А, В, где В — положительно определенная матрица. Отметим, что ленточная и профильная структуры матрицы В наследуются матрицей L.
В работе [130] предложен алгоритм, позволяющий обобщенную за дачу на собственные значения для ленточных Л и S привести к обыч ной задаче без использования дополнительной памяти. (Возможны также некоторые способы преобразования.)
При дискретизации задач на колебания и устойчивость методом конечных элементов возникает обобщенная проблема собственных зна чений с прсфильно-разреженными структурами матриц А и В высокого порядка, в которых требуется вычислить несколько минимальных собственных чисел и принадлежащих им собственных векторов. В по следнее время для решения таких задач получили применение метод итерирования подпространств и метод Ланцоша. Программы, реализу ющие эти алгоритмы, имеются в пакете программ СПАН. Программа метода итерирования подпространств имеется в работе [5], а [131] содержит набор программ решения задач линейной алгебры методом Ланцоша.
Одной из наиболее трудоемких операций как в методе итерирова ния подпространств, так и в методе Ланцоша является факторизация симметричных разреженных матриц. В ряде случаев для решения этой задачи можно применять процедуру переупорядочения матриц посред ством перестановки строк и столбцов с тем, чтобы уменьшить вычисли тельные затраты при факторизации [91].
Когда треугольное разложение матриц затруднительно (например, в случае очень высоких порядков А и Б), то для специального класса задач иногда могут быть полезными метод обратных итераций [86], метод последовательной верхней релаксации [155], градиентные мето ды [33, 88, 93].
Для ускорения сходимости итерационных методов градиентного типа используются приемы преобусловливания, или, что то же, регу ляризации (см. например, [33, 47, 88, 89, 93]).
Представляет определенный интерес решение обобщенной пробле мы собственных значений итерационными методами, реализуемыми на последовательности сеток [100, 115].
VII. 3. Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения
Эффективное и надежное получение решений систем нелинейных ал гебраических уравнений с приближенными исходными данными тре бует, как и в случае линейных систем (параграф VII. 1), рассмотрения вопросов о корректной постановке задачи, об обусловленности систе мы, о способах оценки достоверности вычисленных решений и т. п. В данном случае эти вопросы еще более трудны и недостаточно изучены.
Для иллюстрации некоторых ситуаций, возникающих на практике, рассмотрим следующий простой пример.
Найти принадлежащие отрезку [0, 5] корни уравнения
f(x) = x2 — 2x + с = 0, 0 < * < 5 , |
(VII.23) |
если заданы приближенное значение свободного члена с = 0,84 и оцен ка погрешности
| с - с | < 6 . |
(VII.24) |
Легко проверить, что приближенное уравнение |
|
/(* ) = *2— 2х-\-с = 0, с = 0,84, |
(VII.25) |
имеет на отрезке [0, 5] два корня: |
|
хх = 0,6, * 2 = 1 ,4 . |
(VII.26) |
Но как эти значения связаны с корнями точного уравнения (VII.23)
при условии (VII.24)? Допустим, что б = 0,2. Тогда с может прини мать любое значение из отрезка [0,64; 1,04]. При этом в пределах точ ности исходных данных возможны следующие ситуации: уравнение
(VII.23) — имеет на указанном отрезке два корня, если с < 1;— имеет
один двукратный |
корень, если с = 1; — не имеет ни одного действи |
||
тельного |
корня, |
если |
с > 1 . Очевидно, поставленную задачу (V II.24), |
(VI 1.25) |
при б = |
0,2 нельзя считать корректно поставленной. Пред |
|
положим |
теперь, |
что |
б = 0,09, т. е. значение с находится в пре |
делах отрезка [0,75; 0,93]. В этом случае |
при любом значении с урав |
нение (VII.23) имеет два корня — **, **: |
|
0,5 < х; < 1 — v 0Д)7 « 0,74, |
1,26 < х\ < 1,5. |
Они достаточно хорошо приближаются корнями (VI 1.26):
|*i — х\ |^ 0,14, |х2— х* |^ 0,14.
Таким образом, в данном случае можно говорить о корректной поста новке задачи (VII.24), (VII.25) с приближенными исходными данными. Поскольку исследование упомянутых выше вопросов еще далеко от завершения, в данном параграфе будут затронуты лишь некоторые из них.
1. Погрешность машинной реализации вычислительных алгорит мов. Пусть задана система нелинейных уравнений
Р(х) = х — Ф(х) = 0, |
x£D, |
(VII.27) |
|
где |
|
|
|
F ( * ) = l h ( х ) , f 2( * ) , |
f n ( * ) f , |
* = [ * 1 , * 2, |
, X n f , |
D — область /г-мерного евклидова пространства. Отображение Ф на зывается сжимающим на множестве D0 a D, если существует такое
значение 0 < а < 1, что |Ф (х) — Ф (</) |< |
а |* — у Ц при любых |
|
*> У € D0. |
если отображение Ф (х) — |
|
Как известно (см., например, [6, 85]), |
||
сжимающее на замкнутом множестве D 0 C |
D H значение Ф (х) £ D0 при |
|
х £ D0, то система (VI 1.27) имеет в D0 единственное решение х* |
||
Пусть для вычисления этого решения используется метод простой |
||
итерации, реализуемый по формуле |
|
|
хк = Ф(х1:~\ £ = 1 , 2 , |
(VII.28) |
|
где х° — некоторое начальное приближение. Доказано (см., например, [6, 51]), что при выполнении указанных выше условий (обеспечиваю щих существование единственного х*) последовательность х1, х2, сходится при любом х° 6 £>о к решению х*, а скорость сходимости ха рактеризуется неравенствами
II** — **||<a*||x° — **|, |
(VII.29) |
ИЛИ |
|
||/— * i < - r~ -| | * ° — ф(*°)||, £ = 1 , 2 , |
|
Однако при построении приближений (VII.28) на ЭВМ неизбежно возникают погрешности и за счет применения вычислений по прибли женным формулам, например для значений элементарных функций, и за счет ошибок округления. При этом вместо (VI 1.28) выполняются равенства
/ = ф ( / - ' ) + д ъ |
£ = 1 , 2 , |
|
||||
где Дд, — погрешность на fe-й |
итерации, для |
которой |
известна оценка |
|||
И * К |
6, |
£ = 1 , 2 , |
|
|
|
|
В результате, как показано |
в работе |
[51], вместо |
(V II.29) имеем |
|||
| | /-**| | < a*| | *°-**!| |
+ |
T - ^ r , |
|
|||
откуда следует, что при k |
оо приближенные решения хк уже могут |
|||||
не сходиться к точному решению я* системы |
(VI 1.27). |
|
||||
Проиллюстрируем сказанное |
решением уравнения |
|
||||
fix) = 0,001 — 100е-(10+*/5) = |
0, |
|
10, |
|||
корень которого |
|
|
|
|
|
|
л; = 5(5 In 10— 10)^7,565.
Приближения к искомому корню строим по формуле = 1»
Xk+i = x k — 0,001 + 100g_(lo+^ 5), £ = 0, 1,
В данном примере функция
ф (х) = X — 0,001 + 1OOe_<10+*/5)
является сжимающей, так как |
|
|ф'(х)| = |1 — 20e_(l0+*/5)|= а < 1 , |
0 < х < 10, |
и для нее справедливо соотношение |
|
|<р (*) — <р (у) К а |х — у |, 0 < |
х, у < 10. |
Задача решалась на ЭВМ МИР-2 при разрядности 4. После выполне-
ния условий |
|
« |
/ |
I |
*k| ^ |
\ |
при |
||
окончания итерации |
^а именно — ~ j ^ |
|
|
||||||
значении е = |
10-2 |
было получено |
машинное решение х = |
5,005, |
при |
||||
в = |
10-3 тоже х = |
5,005. Увеличение длины машинного |
слова |
до |
|||||
восьми десятичных |
разрядов по той же программе на той же ЭВМ поз |
||||||||
волило получить х-%= 7,518 856 5 за k = |
219 54 |
итераций |
(при г = |
||||||
- |
Ю-2) и xj = 7,559 634 1 за k = |
33237 |
итераций (при |
е = |
10_3). |
||||
|
Для решения этой задачи использован метод Ньютона, |
реализуе |
|||||||
мый по формуле х0 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
хА+, = xk — 0,00005e(10+**/5) + 5, |
k = 0, |
1, 2, |
|
|
|
|||
со своим условием окончания итераций (см. [79]). При длине машинного
слова в четыре десятичных знака |
для е = 10-2 за четыре итерации |
было получено х4 = 7,518, а для е = |
10-3 за пять итераций х5 = 7,579. |
Использование в расчетах восьми десятичных цифр при реализации той
же программы метода Ньютона для г = |
10“ 2 за четыре итерации поз |
|
волило получить |
х4 = 7,564 40 56 и для |
е = 10” 3 за пять итераций |
*б = 7,564 628 4. |
|
|
Из этих примеров видно, что для одних методов длина машинного слова в четыре десятичных разряда оказалась недостаточной, а для других ее вполне хватило, чтобы получить хорошее приближение к искомому решению.
Подводя итоги по вопросам машинной реализации алгоритмов ре шения нелинейных уравнений, важно сделать следующие выводы: решение задачи может быть с достоверностью получено, если выбран ный метод решения, длина машинного слова и критерии окончания счета будут соответствовать свойствам задачи.
2. Характеристика некоторых методов и программ решения систем нелинейных уравнений. Численное решение систем нелинейных алге браических или трансцендентных уравнений представляет собой слож ную и до конца не исследованную проблему вычислительной матема тики. Для решения систем нелинейных уравнений можно использовать метод простой итерации, метод секущих, метод Ньютона, квазиньютоновские методы и другие, описание которых можно найти, например, в работах [6, 79, 85]. Простая итерация обладает линейной скоростью сходимости, метод Ньютона — квадратичной (при выполнении соот ветствующих условий), а квазиньютоновские методы — сверхлиней ной скоростью сходимости. Несмотря на то что квазиньютоновские методы обладают более медленной по сравнению с методом Ньютона
теоретической скоростью сходимости, они требуют при своей реализа ции меньшего числа машинных операций по сравнению с методом Нью тона. Однако все эти методы обладают локальной сходимостью, т. е. сходимостью лишь при хорошем начальном приближении.
Отметим, что решение системы нелинейных уравнений может быть сведено к задаче минимизации функций.
Для получения хорошего начального приближения при решении систем нелинейных уравнений используют те или иные соображения о начальном приближении, учитывающие физику процесса, а если та ковых не имеется, то применяют те или иные методы спуска и комбини руют их с методами, обладающими более высокой скоростью сходи мости.
В настоящее время разрабатываются методы решения систем нели нейных уравнений, обладающих глобальной сходимостью (см., на пример, [8]). К этим же методам принадлежит метод продолжения по параметру (см., например, [120, 143]).
кСреди часто используемых программ решения систем нелинейных уравнений с матрицами Якоби произвольного вида можно отметить программы, реализующие методы Брента и Брауна [125, 151].
В настоящее время разработаны и некоторые алгоритмы квазиньютоновского типа, специально ориентированные на решение систем не линейных алгебраических уравнений, возникающих в рамках исполь зования метода конечных элементов. Среди алгоритмов этой группы на до прежде всего отметить алгоритм BFGS [148], предназначенный для решения нелинейных систем как с симметричной положительно оп ределенной матрицей Якоби, так и с несимметричной. Данный алго ритм сохраняет структуру матрицы Якоби и ее свойства.
VII.4. Задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Постановка задач, некоторые определения. Правильно поставлен ная прикладная задача всегда имеет решение. При рассмотрении при кладных задач вводят те или иные упрощающие гипотезы и исследуе мую задачу сводят к некоторым физическим моделям. Решение физи ческой модели условно назовем физическим решением задачи. При описании физических моделей с помощью математического аппарата возникают математические модели, в частности задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных урав нений получают и в результате применения метода Бубнова — Галеркина к задачам с начально-краевыми условиями. Так, если решаются уравнения параболического типа, то получают следующую задачу:
M -^ - = — Ku + F, Ми (0) = Ф.
Как следует из рассмотрений гл. III, компоненты вектора правых час тей F имеют вид Fk = f / (х, t) <pft (х) dx. Применяя те или иные фор мулы численного интегрирования, мы вносим некоторую погрешность.
Кроме того, вносим погрешность и при вычислении вектора начальных условий. Возникает вопрос о влиянии этих погрешностей на точность решения исходной задачи. Для выяснения этого вопроса рассмотрим задачу Коши для одного уравнения:
J jL = f{u ,x ), |
х € [х 0, X], |
(VII.30) |
и(х0) = |
и„. |
(VII.31) |
Пусть в замкнутом прямоугольнике D плоскости (х, и), определяемом неравенствами |х — х0 |^ а, \и — и0 |^ Ь, где а, b — некоторые положительные постоянные, функция f (х, и) непрерывна и удовлет воряет условию Липшица по и:
|f(x, щ) — !{х, U^ K L I UJ — ы2|, L — const.
Как известно, при этих предположениях гарантируются существо вание и единственность решения задачи (VII.30), (VII.31) в некотором промежутке х0— Хг < х < х0 + Xt. В дальнейшем всегда предпола гается, что точное решение задачи Коши существует на всем заданном промежутке [х0, X].
Пусть наряду с задачей (VII.30), (VII.31) имеется возмущенная
задача |
|
|
= / (х, у) + б(х), |
х £ [х0, X], |
(VII.30') |
у(х0) = и0 + |
80, |
(VII. ЗГ) |
где б (х), б0 предполагаются достаточно малыми.
Однако даже малые погрешности в задании исходных данных могут существенно исказить решение. Действительно, точное решение за
дачи |
Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
« — х, |
0 < х < 1 |
0 0 , и (0) = |
1 |
|
||
имеет вид и (х) = 1 + |
х, |
следовательно, |
и (100) = |
101. Задача |
Коши |
|||
с возмущенным начальным условием |
|
|
|
|
||||
|
- g - = t/ - x , |
0 < х < 1 0 0 |
, |
у(0 ) = 1 |
+ 1(Гб |
|
||
имеет |
точное решение |
у (х) = |
1 + х + |
10- б е* и у (100) « 2,7 |
1087. |
|||
Таким образом, небольшое изменение исходных данных сильно изменило решение. В связи с этим весьма существенным является во прос об отыскании условий, при которых достаточно малые изменения начальных данных вызывают малые изменения в решении задачи Ко ши. Если х изменяется на конечном отрезке [х0, X], то ответ на постав ленный вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (см., например, [1191). Если же х может прини мать сколь угодно большие значения, то эти вопросы относятся к тео рии устойчивости [21, 58].
Пусть выполняются сформулированные выше условия для функции f (х, и). Тогда для решения у (х) возмущенной задачи (VII.30'), (VII.ЗГ)
можно получить следующую оценку:
шах |ы(*)- ■ < /W K - f ((£+l)etx- l ) ,
х0^х^Х
где е = шах (| б0 1, max I 6 (х) |).
Аналогичные оценки могут быть получены и для систем обыкно венных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим задачу Коши для линейной системы п обыкновен ных дифференциальных уравнений
*L = AU |
£/(0) = |
t/„, |
* € [0 , X], |
(VII.32) |
|
dx |
A U ’ |
|
|
|
|
где U (x) = [«1 (x), |
ы2 (x) ....... un(x)]r , |
A — |
вещественная |
матрица с |
|
простыми собственными числами. Тогда существует такая невырож денная матрица С, что
С~'АС = А,
где
~К |
0 |
0 |
- |
Л = 0 |
К |
0 |
|
_ 0 |
0 |
|
|
Х\— i-e собственное число матрицы А. Если ввести замену
ных |
|
|
|
и (х) = CZ (х), |
Z (х) = [zx (х), |
г2 (х), |
WJ7. |
то система (VII.32) преобразуется в систему |
|
||
= |
* = |
1 ,2 ........... |
я. |
перемен
(VII.33)
Таким образом, исследовать поведение решения системы (VI 1.32) мож но с помощью системы (VI 1.33). Более того, устойчивость решения си стемы дифференциальных уравнений (VII.33) можно изучать на уравне нии
du = Xu, |
(VII.34) |
dx |
|
которое называют тестовым [147]. Будем |
предполагать, что X = а + |
+ ф принадлежит полю комплексных |
чисел. Решение уравнения |
{V II.34) называется асимптотически устойчивым, если a = ReX<.
<0, устойчивым, если a = 0, и неустойчивым, если а = Re Х > 0. Несколько слов о постановке и исследовании задачи Коши для
системы п обыкновенных дифференциальных уравнений
■%T = F(x, U), U(*о) = U„ |
х g [х0, X], |
(VII.35) |
|
где |
|
|
|
U(x) = [ui(x), |
и2(х), |
, ип(х)]т, |
|
F (х, U) = [/, (х, U), |
ft (х, U), |
f„ (х, U)f. |
|
Пусть в замкнутом параллелепипеде D |
|
|дс — х01^ а, |и{— то | b, |
i = 1, 2, . . . , п, |
функции ft (х, U) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица
по переменным ик:
П ^
Ifi{x, т...........«„) — ft{x, ................ \“k — Uk\> k=\
i == 1 > 2, •••| tty
L — константа Липшица.
Выполнение этих условий гарантирует существование и един ственность решения задачи (VII.35).
Заметим, что условие Липшица часто записывают в виде
IIF (х, 0) — F(x, t /)| < L | £ /_ £ /| f
где I |— некоторая норма в конечномерном пространстве.
Если функция F (х, U) — непрерывно дифференцируема по U> то качественное исследование системы дифференциальных уравнений
(VI 1.35) вблизи некоторого частного решения |
U* (х) можно провести |
||||
следующим образом. Разложим F (х, U) в окрестности |
U* (х) в ряд |
||||
Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
F (х, U) = F (Ху U*) + |
J(Ху U*) (U— U*) + |
|
||
где |
J(х, U*) — матрица Якоби, |
J(x, U*) = |-^-J |у=уф, i, j — 1 , 2 , . . . |
|||
... п. |
Тогда согласно (V II.35) |
имеем |
|
|
|
|
■ЪГ »■ т |
+ |
J (х, U*) (U- |
U*). |
(VII .36) |
Если изменение элементов матрицы J (х, U*) на некотором интервале изменения х достаточно мало, то J (х, U*) можно заменить локально постоянной матрицей А и свести исследование устойчивости решения системы (VI 1.35) к исследованию устойчивости решения линейной си стемы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим теперь задачу Коши для обыкновенного дифференциаль ного уравнения
- З Г » ? ( « - Р ( * ) ) + -2 Г , иф) = и0, |
(VII.37) |
где q = const. Решение этой задачи, как нетрудно убедиться,
и(х) = (и0 — р (0)) е** + р (х).
Если q — большое положительное число, то решение задачи (VI 1.37) неустойчиво; если q — малое положительное число, то решение зада чи устойчиво на некотором конечном интервале. В случае, когда q большое по модулю отрицательное число, каким бы ни было выбрано значение и0, через достаточно малый промежуток [0, x j, называемый
переходным участком (или пограничным слоем), кривая решения и (х) становится как угодно близкой к кривой частного решения и* (х) = = р (х) уравнения (VII.37). Эта сверхустойчивость решения дифферен циальной задачи является идеальной в смысле распространения на следств 'иной ошибки в дифференциальном уравнении, но она создала ряд трудностей численного решения задач на ЭВМ. Одна из них со стоит в том, что хотя решение за пределами переходного участка ве дет себя как р (х) и практически не зависит от q (при q < 0), тем не менее из условия устойчивости шаг численного интегрирования прихо дится выбирать зависящим от q (см. работу [90]). Чем большее значе ние |q |, тем меньший шаг интегрирования (жесткие ограничения на шаг интегрирования). Такие задачи получили название жестких. Аналогично может быть рассмотрена задача Коши для систем обыкно венных дифференциальных уравнений.
Для выяснения вопроса, является ли задача Коши (VII.35) жест кой, необходимо исследовать поведение решений системы уравнений (VI 1.35) в окрестности некоторого частного решения U* (х) этой систе мы. Будем предполагать, что система локально устойчива, т. е. все ло кальные собственные числа Хс (х) матрицы Якоби J (х) = J (х, U* (х)) различны и Re ^ < 0, i = 1, 2, .... л. При этих предположениях в работе [147] находим следующее определение жесткой задачи Коши.
Задача Коши (VI 1.35) называется жесткой на некотором интервале
J с : [х0, X], если для |
всех х £ / выполняются условия |
|
||||
R e Xi< 0 , |
t = 1, 2, |
. . . . п, s(x) = |
maxRe(— X,)/minRe(— А<)> 1, |
|||
где |
— собственные |
числа матрицы |
Якоби J (х) = J (х, U*). Вели |
|||
чину s (х) |
называют |
локальным |
коэффициентом жесткости |
задачи. |
||
Если |
s (х) |
есть величина О (10), |
то |
задачу можно считать |
жесткой. |
|
В ряде прикладных задач коэффициент жесткости достигает величины
О ( 10е).
Отметим, что с нашей точки зрения это определение полезно до полнить еще условием: большие по модулю собственные числа имеют большую по модулю отрицательную вещественную часть.
Приведем еще одно определение жесткой системы [90]. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (VI 1.35) называется жест кой на отрезке lc, d], принадлежащем интервалу существования ее
решений, если при любом векторе начальных значений |
U0 — U (х0) |
|||||||||
и на любом отрезке |
[х0, х0 + |] с [с, |
d] найдутся |
такие числа т, L, |
|||||||
N, удовлетворяющие соотношениям |
|
|
|
|
||||||
0 < |
т 4 £ d - c , |
0 < 1 < р ( У ( х , t /))< | 7 (x , £/)В, |
{х, U)£D, |
N ^ 1 , |
||||||
что |
справедливы |
неравенства |
|
|
|
|
||||
|
|
| -^ М |
|
< -^ -m a x| u ft(x)|, |
k = \ , 2 , . . . , n , |
(VII.38) |
||||
|
|
| “* |
|
'v |
*€Д, |
|
|
|
|
|
где |
Аг — [х0 + |
т, |
х0 + £], |
Д2 = [х0, х0 + £]. |
|
обозначения: |
||||
|
В |
данном |
определении |
использовались следующие |
||||||
р (J (х, U)) — максимальный модуль собственных чисел матрицы Яко |
||||||||||
би, |
| |
|— принятая |
норма матрицы. |
Отметим, |
что |
для |
жестких |
|||
дифференциальных уравнений «почти всегда» существуют участки ре шения (переходные участки и стационарные участки) с существенно различным характером его поведения, причем продолжительность пе реходных участков т значительно меньше стационарных.
Решение одного жесткого дифференциального уравнения быстро стремится к такому решению, которое не зависит от начальных усло вий. Однако при малых отклонениях решений производные их резко отличаются. Отметим, что жесткость зависит от самого дифференциаль ного уравнения, а не от поведения решения. Следует учитывать, что дифференциальное уравнение может быть жестким на некоторых участ ках интервала интегрирования и нежестким на друг1х.
Определенный условиями (VI 1.38) класс жестких систем обыкно венных дифференциальных уравнений может быть расширен за счет уравнений, у которых на переходных участках и вне их сильно разли чаются по величине производные не первого, а более высокого порядка. В этом случае к числу жестких относят такие системы, для которых вне пограничного слоя вместо неравенства (VI 1.38) выполняется условие
/ > 1.
2. Погрешность и устойчивость машинных алгоритмов численного интегрирования. Численные методы являются основным средством ре шения возникающих на практике задач с начальными условиями. При построении численных методов решения задачи Коши исходную диф ференциальную задачу заменяют (аппроксимируют) дискретной за дачей, в которую входит параметр дискретизации; разрабатывают вычислительную схему решения дискретной задачи, удобную для реа лизации на ЭВМ; рассматривают вопрос численной устойчивости и доказывают сходимость решения дискретной задачи к решению ис ходной дифференциальной задачи.
Рассмотрим основные проблемы, возникающие при численном ре шении задачи Коши для одного уравнения:
du |
0 < х < Х , |
(VII.39) |
— = f(x,u), |
||
и(0) = |
и0. |
(VII.40) |
Предполагаем, что существует достаточно гладкое решение этой зада чи, а функция f (х, и) удовлетворяет по и условию Липшица
I f (xt ч±) f {х* |
I ^ L I Ui ^2 1* |
Для численного решения задачи (VII.39), (VII.40) область непре рывного изменения аргумента [0, X] заменяют сеткой
Здесь N — число узлов сетки, h — шаг сетки.